第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用

第09講函數(shù)模型及其應(yīng)用三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax一．用函數(shù)圖像刻畫變化過程例1．（1）面對突如其來的新冠病毒疫情，中國人民在中國共產(chǎn)黨的領(lǐng)導(dǎo)下，上下同心、眾志成城抗擊疫情的行動和成效，向世界展現(xiàn)了中國力量、中國精神．下面幾個函數(shù)模型中，能比較近似地反映出圖中時間與治愈率關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合圖象以及函數(shù)的單調(diào)性確定正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)圖象可知，治愈率先減后增，B選項(xiàng)符合.ACD選項(xiàng)都是單調(diào)函數(shù)，不符合.故選：B（2）如圖所示，已知正方形ABCD的邊長為4，動點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動．設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖像是(

)A．B．C．D．【答案】D【分析】數(shù)形結(jié)合，分P點(diǎn)在BC、CD、DA三種情況，依次求出S＝f(x)的解析式，根據(jù)解析式即可作出圖像﹒【詳解】由題意：P點(diǎn)在BC上時，0≤x＜4，S＝＝2x；P點(diǎn)在CD上時，4≤x≤8，S＝＝8；P點(diǎn)在DA上時，8＜x≤12，S＝24－2x．故選：D﹒（3）今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】選代入四個選項(xiàng)的解析式中選取所得的最接近的解析式即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：當(dāng)時，，與相差較多，故選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B：當(dāng)時，，與相差較多，故選項(xiàng)B不正確；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時，，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：當(dāng)時，，與相差較多，故選項(xiàng)D不正確；故選：C.（4）植物研究者在研究某種植物15年內(nèi)的植株高度時，將得到的數(shù)據(jù)用下圖直觀表示.現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)用一個函數(shù)模型來描述這種植物在15年內(nèi)的生長規(guī)律，下列函數(shù)模型中符合要求的是（）A．(且)B．(，且)C．D．【答案】B【解析】由散點(diǎn)圖直接選擇即可.【詳解】解：由散點(diǎn)圖可知，植物高度增長越來越緩慢，故選擇對數(shù)模型，即B符合.故選：B.（5）某條公共汽車線路收支差額與乘客量的函數(shù)關(guān)系如下圖所示（收支差額＝車票收入－支出費(fèi)用），由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（1）不改變車票價格，減少支出費(fèi)用；建議（2）不改變支出費(fèi)用，提高車票價格.下面給出的四個圖形中，實(shí)線和虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（

）A．①反映建議（2），③反映建議（1） B．①反映建議（1），③反映建議（2）C．②反映建議（1），④反映建議（2） D．④反映建議（1），②反映建議（2）【答案】B【分析】根據(jù)收支差額的計(jì)算公式可得正確的判斷.【詳解】對于建議（1），因?yàn)椴桓淖冘嚻眱r格，減少支出費(fèi)用，故建議后的圖象與目前的圖象傾斜方向相同，且縱截距變大，故①反映建議（1）；對于建議（2），因?yàn)椴桓淖冎С鲑M(fèi)用，提高車票價格，故建議后的圖象比目前的圖象的傾斜角大，故③反映建議（2）.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像在實(shí)際問題中的應(yīng)用，注意根據(jù)給出的建議結(jié)合題設(shè)中的計(jì)算公式分析出圖象變化的規(guī)律，此題為基礎(chǔ)題.（6）中國茶文化博大精深.茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產(chǎn)生最佳口感.為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時間，某研究人員每隔測量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點(diǎn)圖.觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列哪個函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度隨時間變化的規(guī)律（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的變化可直接判斷.【詳解】由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的判斷，屬于基礎(chǔ)題.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象．(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．二．已知函數(shù)模型的實(shí)際問題例2．（1）我國的煙花名目繁多，其中“菊花”煙花是最壯觀的煙花之一．制造時一般是期望在它達(dá)到最高點(diǎn)時爆裂．如果煙花距地面的高度h（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關(guān)系為，那么煙花沖出后在爆裂的最佳時刻距地面高度約為（

）A．26米 B．28米 C．31米 D．33米【答案】C【分析】計(jì)算二次函數(shù)的最值即可.【詳解】，.故選：C（2）牛頓冷卻定律描述一個事物在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過一定時間后的溫度滿足，其中是環(huán)境溫度，稱為半衰期，現(xiàn)有一杯80℃的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現(xiàn)在55℃．經(jīng)測量室溫為25℃，茶水降至75℃大約用時1分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等待（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．4分鐘 B．5分鐘 C．6分鐘 D．7分鐘【答案】C【分析】根據(jù)已知條件代入公式計(jì)算得到，再把該值代入，利用對數(shù)的運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，，即設(shè)茶水從降至大約用時t分鐘，則，即，即兩邊同時取對數(shù)：解得，所以從泡茶開始大約需要等待分鐘故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算公式，考查學(xué)生的審題分析能力與運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.（3）岡珀茨模型是由岡珀茨（Gompertzt年后的種群數(shù)量y近似滿足岡珀茨模型：（當(dāng)時，表示2020年初的種群數(shù)量），若年后，該物種的種群數(shù)量將不足2020年初種群數(shù)量的一半，則m的最小值為_________.【答案】6【分析】依題意得通過計(jì)算化簡得，則問題可解．【詳解】令由題意知，，所以得，則所以，解得，所以m的最小值為6故答案為：6【點(diǎn)睛】本題通過實(shí)際問題考查指對數(shù)不等式，關(guān)鍵要掌握指對數(shù)不等式求解法則．（4）《濕地公約》第十四屆締約方大會部級高級別會議11月6日在湖北武漢閉幕，會議正式通過“武漢宣言”，呼吁各方采取行動，遏制和扭轉(zhuǎn)全球濕地退化引發(fā)的系統(tǒng)性風(fēng)險.武漢市某企業(yè)生產(chǎn)某種環(huán)保型產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本（萬元）.經(jīng)計(jì)算若年產(chǎn)量x千件低于100千件，則這x千件產(chǎn)品成本；若年產(chǎn)量x千件不低于100千件時，則這x千件產(chǎn)品成本.每千件產(chǎn)品售價為100萬元，設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.=1\*GB3①寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；=2\*GB3②當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時，企業(yè)所獲得利潤最大？最大利潤是多少？【答案】=1\*GB3①；=2\*GB3②年產(chǎn)量為105千件，最大利潤是1000萬元.【分析】=1\*GB3①年利潤為銷售收入減去生產(chǎn)成本，分情況討論計(jì)算即可.=2\*GB3②當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性求最大值；當(dāng)時，根據(jù)基本不等式求最大值，繼而求出最大值.【詳解】=1\*GB3①當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以.=2\*GB3②當(dāng)時，，當(dāng)時，取得最大值950，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，而，所以當(dāng)該企業(yè)年產(chǎn)量為105千件時，所獲得利潤最大，最大利潤是1000萬元.【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．三．構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題命題點(diǎn)1構(gòu)造二次函數(shù)模型例3某居民小區(qū)要建一座休閑場所，如圖，它的主體造型平面圖是一個長為4，寬為2的矩形．居民小區(qū)計(jì)劃在上建一座花壇(圖中陰影部分)，在和上建兩個沙坑．若，記花壇的面積為，兩個沙坑的總面積為(點(diǎn)與正方體的頂點(diǎn)不重合)．(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出自變量的取值范圍．(2)當(dāng)為何值時，的值最大？并求出這個最大值．【答案】(1)關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，自變量的取值范圍是(2)當(dāng)時，取得最大值，最大值為7【分析】（1）由題及圖可知將已知條件代入化簡即可（2）由（1）將代入，由題知，化簡表達(dá)式利用二次函數(shù)求解即可【詳解】（1）由題意得：．（2）則關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為，自變量的取值范圍是．（2），當(dāng)時，取得最大值，最大值為7．命題點(diǎn)2構(gòu)造指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型例4一片森林原來面積為a，計(jì)劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？(3)今后最多還能砍伐多少年？【詳解】(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1)，則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－.(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即＝，即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年為止，該森林已砍伐了5年．(3)設(shè)從今年開始，以后砍了n年，則n年后剩余面積為eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，≥，即eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年．命題點(diǎn)3構(gòu)造分段函數(shù)模型例5如圖，病人服下一粒某種退燒藥后，每毫升血液中含藥量(微克)與時間(小時)之間的關(guān)系滿足：前5個小時按函數(shù)遞增，后5個小時隨著時間變化的圖像是一條線段．(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知每毫升血液中含藥量不低于3微克時有治療效果，含藥量低于3微克時無治療效果，試問病人服下一粒該退燒藥后有治療效果的時間為多少小時？【答案】(1)；(2)小時【分析】(1)根據(jù)圖像中特殊點(diǎn),求出函數(shù)的解析式即可.(2)根據(jù)題意構(gòu)造不等式,分段求解即可.【詳解】（1）由圖可得,函數(shù)過點(diǎn),可得，得．當(dāng)時，設(shè)，由圖可得得所以．故（2）由題意得或得或，即．故病人服下一粒該退燒藥后有治療效果的時間為小時．【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】：(1)在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問題時需注意以下四個步驟：①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型．②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的函數(shù)模型．③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論．④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問題．(2)通過對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題，用數(shù)學(xué)知識和方法構(gòu)建函數(shù)模型解決問題，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)．1．下列四個圖象中，與所給三個事件吻合最好的順序?yàn)椋?/p>

）①我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作業(yè)本再上學(xué)；②我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；③我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進(jìn)，后來為了趕時間開始加速.其中y表示離開家的距離，t表示所用時間.A．④①② B．③①② C．②①④ D．③②①【答案】A【分析】根據(jù)三個事件的特征，分析離家距離的變化情況，選出符合事件的圖像.【詳解】對于事件①，中途返回家，離家距離為0，故圖像④符合；對于事件②，堵車中途耽擱了一些時間，中間有段時間離家距離不變，故圖像①符合；對于事件③，前面速度慢，后面趕時間加快速度，故圖像②符合；故選：A.2．某農(nóng)科院學(xué)生為研究某花卉種子的發(fā)芽率和溫度（單位:）的關(guān)系，在個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖.由此散點(diǎn)圖，在至之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】觀察散點(diǎn)圖的圖像，只有對數(shù)型函數(shù)圖像最適宜作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型，故選C.【詳解】根據(jù)圖中散點(diǎn)圖可知，散點(diǎn)大致分布在某一條對數(shù)型函數(shù)曲線周圍，A選項(xiàng)是直線型，B選項(xiàng)是拋物線型，D選項(xiàng)是指數(shù)型，只有C選項(xiàng)是對數(shù)型.故選：C.3．水以恒速注入下圖所示容器中，則水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】考查容器的形狀來確定水的高度的變換規(guī)律，選擇圖形即可.【詳解】容器由下到上口徑越來越大，水以恒速注入，則容器中水的高度增加的速度逐漸變慢，A符合；B選項(xiàng)容器中水的高度增加的速度逐漸變快；C選項(xiàng)容器中水的高度是勻速增加；D選項(xiàng)容器中水的高度增加的速度先增加較慢，后增加較快.故選：A4．在用計(jì)算機(jī)處理灰度圖像（即俗稱的黑白照片）時，將灰度分為256個等級，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中間的灰度根據(jù)其明暗漸變程度用0至255之間對應(yīng)的數(shù)表示，這樣可以給圖像上的每個像素賦予一個“灰度值”.在處理有些較黑的圖像時，為了增強(qiáng)較黑部分的對比度，可對圖像上每個像素的灰度值進(jìn)行轉(zhuǎn)換，擴(kuò)展低灰度級，壓縮高灰度級，實(shí)現(xiàn)如下圖所示的效果：則下列可以實(shí)現(xiàn)該功能的一種函數(shù)圖象是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】結(jié)合函數(shù)圖象以及題意逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)圖片處理過程中圖像上每個像素的灰度值轉(zhuǎn)換的規(guī)則可知，相對于原圖的灰度值，處理后的圖像上每個像素的灰度值增加,所以圖象在y=x上方，結(jié)合選項(xiàng)只有A選項(xiàng)能夠較好的達(dá)到目的，故選：A.5．在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，某同學(xué)運(yùn)用圖形計(jì)算器集到如下一組數(shù)據(jù)：123458在四個函數(shù)模型（a，b為待定系數(shù)）中，最能反映x，y函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)選項(xiàng)中函數(shù)的遞增特征進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)數(shù)據(jù)可以知道：當(dāng)自變量每增加1時，y的增加是不相同的，所以不是線性增加，排除A；當(dāng)自變量增加到8時，y的增加也不是很多，所以不符合指數(shù)的增加特征，排除B；當(dāng)x增加時，y是緩慢增加，并沒有靠近一常數(shù)的特征，所以排除D.故選：C6．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游記》第五十回“道高一尺魔高丈，性亂情昏錯認(rèn)家，可恨法身無坐位，當(dāng)時行動念頭差，”用來比喻取得一定成就后遇到的障礙會更大或正義終將戰(zhàn)勝邪惡，若用下列函數(shù)中的一個來表示這句話的含義，則最合適的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】根據(jù)一丈等于十尺，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橐徽傻扔谑?，所以“道高一尺魔高一丈”更適合用，來表示；故選：A.7．某校擬用一種噴霧劑對宿舍進(jìn)行消毒，需對噴霧完畢后，空氣中每立方米藥物殘留量（單位：毫克）與時間與的關(guān)系，則應(yīng)選用的函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】利用散點(diǎn)圖的分布結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可選擇合適的選項(xiàng).【詳解】由散點(diǎn)圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且散點(diǎn)分布在在一條曲線附近，函數(shù)的圖象為一條直線，不合乎題意；函數(shù)的圖象為一條曲線，且當(dāng)時，該函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合乎題意；由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合乎題意.故選：B.8．某大型超市為了滿足顧客對商品的購物需求，對超市的商品種類做了一定的調(diào)整，結(jié)果調(diào)整初期利潤增長迅速，隨著時間的推移，增長速度越來越慢，如果建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該超市調(diào)整后利潤y與售出商品的數(shù)量x的關(guān)系，則可選用（

）A．一次函數(shù) B．二次函數(shù)C．指數(shù)型函數(shù) D．對數(shù)型函數(shù)【答案】D【分析】細(xì)讀題目，可知初期增長迅速，后來增長越來越慢，只有對數(shù)函數(shù)最符合題意.【詳解】由題目信息可得：初期增長迅速，后來增長越來越慢，故可用對數(shù)型函數(shù)模型來反映y與x的關(guān)系.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查邏輯思維能力，考查學(xué)生對實(shí)際問題的分析和解決能力，屬于?？碱}.9．假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案每天的回報如圖所示．橫軸為投資時間，縱軸為每天的回報，根據(jù)以上信息，若使回報最多，下列說法錯誤的是（

）A．投資3天以內(nèi)（含3天），采用方案一B．投資4天，不采用方案三C．投資6天，采用方案一D．投資12天，采用方案二【答案】D【分析】結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可得方案一的回報最多，A正確；投資4天，分別計(jì)算出方案一和二的回報,結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可得B正確；投資6天，分別計(jì)算出方案一和二的回報,結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可得C正確；投資12天，根據(jù)圖象的變化可知D不對，得出選項(xiàng)．【詳解】由圖可知，投資3天（含3天）內(nèi)的，結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可得方案一的回報最多，所以A正確；投資4天，方案一的回報約為（元，方案二的回報約為（元，結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可知方案一，方案二都比方案三高，所以B正確；投資6天，方案一的回報約為（元，方案二的回報約為（元，結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可知方案一比方案二方案三高，所以C正確；投資12天：根據(jù)圖象的變化可知，方案三高很多，所以采用方案三，所以D不對；故選:D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．10．學(xué)校宿舍與辦公室相距，某同學(xué)有重要材料要送給老師，從宿舍出發(fā)先勻速跑步3分鐘來到辦公室，停留2分鐘，然后勻速步行10分鐘返回宿舍.在這個過程中，這位同學(xué)行走的路程是時間的函數(shù)，則這個函數(shù)圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得開始路程是遞增，停留時路程不發(fā)生變化，再勻速時總路程也是增加的，即可判斷.【詳解】由題意可得先勻速跑步3分鐘來到辦公室，路程是遞增，停留2分鐘，路程不發(fā)生變化，再勻速步行10分鐘返回宿舍，總路程也是增加的，只有A符合,故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的識別，考查了函數(shù)圖象在實(shí)際中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題．11．已知甲?乙兩個城市相距120千米，小王開汽車以100千米/時勻速從甲城市駛往乙城市，到達(dá)乙城市后停留1小時，再以80千米/時勻速返回甲城市．汽車從甲城市出發(fā)時，時間x（小時）記為0，在這輛汽車從甲城市出發(fā)至返回到甲城市的這段時間內(nèi)，該汽車離甲城市的距離y（千米）表示成時間x（小時）的函數(shù)為（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】結(jié)合題干分析求解分段函數(shù)解析式即可．【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上：故選：D．12．在某種金屬材料的耐高溫實(shí)驗(yàn)中，溫度y(℃)隨著時間t(min)變化的情況由計(jì)算機(jī)記錄后顯示的圖象如圖所示，現(xiàn)給出下列說法：①前5min溫度增加越來越快；

②前5min溫度增加越來越慢；③5min后溫度保持勻速增加；④5min后溫度保持不變．其中說法正確的是（）A．①④B．②④C．②③D．①③【答案】C【分析】本題首先可以觀察題目所給出的圖，得出圖像中的曲線是怎么變化的，然后對比題目所給選項(xiàng)，即可得出結(jié)果．【詳解】由圖可知，前溫度增加越來越慢，后溫度保持勻速增加，故②③是正確的，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像，主要考查函數(shù)圖像的變化趨勢，考查學(xué)生的觀察能力，考查推理能力，是簡單題．13．年至年北京市電影放映場次（單位：萬次）的情況如圖所示，將年份作為自變量，當(dāng)年電影放映場次作為函數(shù)值，下列函數(shù)模型中，最不適合近似描述這年間電影放映場次逐年變化規(guī)律的函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)在第一象限內(nèi)是增函數(shù)進(jìn)行判斷．【詳解】由圖象可知在第一象限內(nèi)，是關(guān)于的增函數(shù)，A、B、C均合題意當(dāng)時，在第一象限內(nèi)是減函數(shù)，當(dāng)時，在第一象限內(nèi)沒有圖象，故不適合．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用及函數(shù)的單調(diào)性判斷，熟記基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)是關(guān)鍵，屬于中檔題．14．甲、乙兩人同時從A地趕往B地，甲先騎自行車到中點(diǎn)改為跑步，而乙則是先跑步，到中點(diǎn)后改為騎自行車，最后兩人同時到達(dá)B地．已知甲騎自行車比乙騎自行車快．若每人離開甲地的距離與所用時間的函數(shù)用圖象表示，則甲、乙對應(yīng)的圖象分別是（）A．甲是(1)，乙是(2) B．甲是(1)，乙是(4)C．甲是(3)，乙是(2) D．甲是(3)，乙是(4)【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)甲乙的出行方式判斷甲乙對應(yīng)圖象中直線斜率的大小關(guān)系，即可確定甲、乙對應(yīng)的圖象.【詳解】由甲先騎自行車后跑步，故圖象斜率先大后小，則甲圖象為(1)或(3)，由乙先跑步后騎自行車，故圖象斜率先小后大，則乙圖象為(2)或(4)，又甲騎車比乙騎車快，即甲前一半路程圖象的中隨的變化比乙后一半路程隨的變化要快，所以甲為(1)，乙為(4)．故選：B．15．如圖，陰影部分的面積S是h(0≤h≤H)的函數(shù)，則該函數(shù)的圖像是圖中的()A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題可知，是，是減函數(shù)，故A、B錯；由圖形陰影面積的變化趨勢來看，函數(shù)減小的趨勢是變慢的，故選C．點(diǎn)睛：觀察函數(shù)的單調(diào)性和變化趨勢來解決問題，本題觀察陰影部分的變化情況，首先可知是減函數(shù)，再根據(jù)等長遞減觀察，可知遞減的趨勢是由快變慢的，故得到圖象為C選項(xiàng)．16．據(jù)統(tǒng)計(jì)某地區(qū)1月、2月、3月的用工人數(shù)分別為0.2萬，0.4萬和0.76萬，則該地區(qū)這三個月的用工人數(shù)y(萬人)關(guān)于月數(shù)x的函數(shù)關(guān)系近似地是() B．y＝(x2＋2x)C．y＝ D．y＝0.2＋log16x【答案】C【詳解】當(dāng)x＝1時，否定B；當(dāng)x＝2時，否定D；當(dāng)x＝3時，否定A，故選C.17．生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為（其中為常數(shù)），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．若2021年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的，則可推斷該文物屬于（

）參考數(shù)據(jù)：參考時間軸：A．宋 B．唐 C．漢 D．戰(zhàn)國【答案】D【分析】根據(jù)給定條件可得函數(shù)關(guān)系，取即可計(jì)算得解.【詳解】依題意，當(dāng)時，，而與死亡年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式為，則有，解得，于是得，當(dāng)時，，于是得：，解得，由得，對應(yīng)朝代為戰(zhàn)國，所以可推斷該文物屬于戰(zhàn)國.故選：D18．牛頓冷卻定律描述物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體的初始溫度為，則經(jīng)過一定時間t分鐘后的溫度T滿足，h稱為半衰期，其中是環(huán)境溫度．若℃，現(xiàn)有一杯80℃的熱水降至75℃大約用時1分鐘，那么水溫從75℃降至45℃，大約還需要（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．9分鐘 B．10分鐘C．11分鐘 D．12分鐘【答案】B【分析】根據(jù)已知條件代入公式計(jì)算可得，再把該值代入，利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式即可求解.【詳解】解：由題意，℃，由一杯80℃的熱水降至75℃大約用時1分鐘，可得，所以，又水溫從75℃降至45℃，所以，即，所以，所以，所以水溫從75℃降至45℃，大約還需要10分鐘.故選：B.19．某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量(單位：)與時間(單位：)間的關(guān)系式為，其中的過濾過程中污染物被消除了那么污染物減少到最初含量的還需要經(jīng)過多長時間？(結(jié)果四舍五入取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由已知條件建立方程求得，再代入模型中求得時間得選項(xiàng).【詳解】由已知得，方程兩邊取自然對數(shù)得，所以，設(shè)污染物減少到最初含量的需要經(jīng)過t小時，則，兩邊取自然對數(shù)得，解得，所以還需要經(jīng)過個小時的時間使污染物減少到最初含量的，故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解決函數(shù)的模型的問題時，需注意生活中的量在模型中的含義，建立方程求解.20．為踐行"綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，全國各地對生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識持續(xù)增強(qiáng)，某化工企業(yè)在生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣需要通過過濾使廢氣中的污染物含量減少到不高于最初的20%才達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn)．已知在過濾過程中，廢氣中污染物含量y（單位：mg/L，）與時間t（單位：h）的關(guān)系式為（，k為正常數(shù)，表示污染物的初始含量），實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)廢氣經(jīng)過5h的過濾，其中的污染物被消除了40%．則該企業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要達(dá)標(biāo)排放需要經(jīng)過的過濾時間至少約為（

）（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)）A．12h B．16h C．26h D．33h【答案】B【分析】利用函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合條件可求出常數(shù)k的值，然后結(jié)合排放標(biāo)準(zhǔn)即可求出結(jié)論．【詳解】由題意，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)廢氣經(jīng)過5h的過濾，其中的污染物被消除了40%，∵，∴，∴，即，∴，當(dāng)時，，即，∴,即該企業(yè)生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢氣要達(dá)標(biāo)排放需要經(jīng)過的過濾時間至少約為16h.故選：B.21．從盛滿20L純酒精的容器里倒出1L酒精，然后用水填滿，這樣繼續(xù)下去，若倒第k次時共倒出純酒精xL，倒第次時共倒出純酒精L，則的表達(dá)式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】每次倒出的純酒精應(yīng)為混合溶液體積乘以酒精濃度，根據(jù)題意可建立x與的關(guān)系式，進(jìn)而得解．【詳解】每次倒出的純酒精應(yīng)為混合溶液體積乘以酒精濃度，第次倒時，容器里還剩L純酒精，所以酒精的濃度為，而又倒出1L混合溶液，故倒出的純酒精為L，則，則．故選：B．22．已知某種食品的保鮮時間（單位：小時）與儲藏溫度（單位：）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)），且在時的保鮮時間是192小時，在時的保鮮時間是48小時，則這種食品在時的保鮮時間是（

）A．12小時 B．18小時 C．24小時 D．36小時【答案】C【分析】根據(jù)題意建立方程組，進(jìn)而解出，然后將33代入即可求得答案.【詳解】由題意，得，即，所以該食品在的保鮮時間是.故選：C.23．在“3820”戰(zhàn)略工程思想精髓的指導(dǎo)下，福州經(jīng)濟(jì)持續(xù)增長．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2011年至2021年十年間，福州GDP增幅達(dá)，位列全國過去十年主要城市GDP增幅第2名．假設(shè)從2011年起福州GDP保持相同的年增長率，要增長到原來的y倍，需經(jīng)過x年，則函數(shù)的圖像大致為（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】設(shè)2011年的GDP為1，年增長率為，根據(jù)題意有，求得，然后建立函數(shù)關(guān)系式，即可判斷函數(shù)圖像.【詳解】不妨設(shè)2011年的GDP為1，年增長率為，則，所以，即因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)為增函數(shù)，且時，，所以函數(shù)的圖像大致為C項(xiàng)中的圖.故選:C.24．當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約經(jīng)過N年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q，該生物體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合半衰期的定義，建立指數(shù)函數(shù)模型，從而得到函數(shù)關(guān)系式.【詳解】設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量的年衰減率為，將剛死亡生物體內(nèi)碳14含量看成1個單位，根據(jù)經(jīng)過N年衰減為原來的一半，則，即，且生物體內(nèi)碳14原有初始質(zhì)量為Q所以生物體內(nèi)碳14所剩質(zhì)量y與死亡年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為即故選:D.25．某公司一年購買某種貨物噸，每次購買噸，運(yùn)費(fèi)為萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則的值是________．【答案】【分析】將費(fèi)用之和表示為關(guān)于的函數(shù)的形式，根據(jù)基本不等式取等條件可確定結(jié)果.【詳解】設(shè)一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和為，則；（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則的值為.故答案為：.26．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中為非零常數(shù)；已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，則釋放信息素4秒后，距釋放處的___________米的位置，信息素濃度為.【答案】4【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式將已知數(shù)據(jù)代入求解即可.【詳解】因?yàn)獒尫?秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m，所以，所以，即當(dāng)時，，整理得即，所以，因?yàn)?，所?故答案為:4.27．如果光線每通過一塊玻璃其強(qiáng)度要減少10%，那么至少需要將____________塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度低于原來的0.5倍．（參考數(shù)據(jù)：．）【答案】【分析】構(gòu)造不等式，利用對數(shù)運(yùn)算法則解不等式可求得結(jié)果.【詳解】假設(shè)需要塊這樣的玻璃，則，，，至少需要7塊這樣的玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強(qiáng)度低于原來的.故答案為：.28．某商場為了實(shí)現(xiàn)100萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制訂一個激勵銷售人員的獎勵方案：在利潤達(dá)到5萬元后，獎金（單位：萬元）隨利潤（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過3萬元，同時獎金不超過利潤的20%，現(xiàn)有三個獎勵模型：①，②，③，則該符合該商場要求的模型為______（填序號）.【答案】②【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)三個函數(shù)圖象是否在直線和的下方判斷即可.【詳解】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象如圖所示.觀察圖象可知，在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)，的圖象都有一部分在直線的上方，只有函數(shù)的圖象始終在直線和的下方，所以按模型進(jìn)行獎勵符合商場的要求.故答案為：②29．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，后物體的溫度可由公式求得，其中是一個隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正的常數(shù)．若將的物體，放在的空氣中冷卻，可測得以后物體的溫度是由此可求出的值約為．現(xiàn)將的物體，放在的空氣中冷卻，則開始冷卻______分鐘（精確0.01）后物體的溫度是．（參考數(shù)據(jù)：）【分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)代入方程即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，，，代入方程得即，兩邊取對數(shù)得，由參考數(shù)據(jù)可知，所以，30．秋冬季是流感的高發(fā)季節(jié)，為了預(yù)防流感，某學(xué)校決定用藥熏消毒法對所有教室進(jìn)行消毒.如圖所示，已知藥物釋放過程中，室內(nèi)空氣中的含藥量（）與時間（）（）成正比；藥物釋放完畢后，與t的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)，），據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到（）以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室，則學(xué)校應(yīng)安排工作人員至少提前__________小時進(jìn)行消毒工作.【答案】1【分析】根據(jù)題意求出參數(shù)a，當(dāng)時,令，解不等式即可.【詳解】由圖中一次函數(shù)圖象可得，圖象中線段所在直線的方程為，又點(diǎn)在曲線上，所以，解得，因此含藥量與時間之間的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時，令，即，即，解得故答案為：1.31．某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量（毫克/毫升）隨時間（小時）變化的規(guī)律近似滿足表達(dá)式《酒后駕車與醉酒駕車的標(biāo)準(zhǔn)及相應(yīng)處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不得超過毫克/毫升此駕駛員至少要過小時后才能開車___________.（精確到小時）【答案】4【分析】此駕駛員血液中酒精含量不得超過毫克/毫升時，才能開車，因此只需由，求出的值即可.【詳解】當(dāng)時，由得，解得，舍去；當(dāng)時，由得，即，解得，因?yàn)?，所以此駕駛員至少要過4小時后才能開車.故答案為：432．某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額x成正比，其關(guān)系如圖1：投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的年收益與投資額x的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2．(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元?【答案】(1)(2)當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為16萬元，風(fēng)險型產(chǎn)品的資金為4萬元時年收益最大，最大值為3萬元.【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法可得；（2）設(shè)用于投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為x，寫出年收益的解析式，利用換元法可得.【詳解】（1）由題意可設(shè)，由圖知，函數(shù)和的圖象分別過點(diǎn)和，代入解析式可得，所以（2）設(shè)用于投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為x，用于投資風(fēng)險型產(chǎn)品的資金為，年收益為y，則，令，則，當(dāng)，即時，，所以當(dāng)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為16萬元，風(fēng)險型產(chǎn)品的資金為4萬元時年收益最大，最大值為3萬元.33．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水背山就是金山銀山”的號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元．己知這種水果的市場售價大約為10元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該水果樹的單株利潤為（單位：元）．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時，該水果樹的單株利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)當(dāng)施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤為400元【分析】（1）利用，即可求解；（2）對進(jìn)行化簡，得到，然后分、討論的取值，進(jìn)而得到答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，，化簡得，；（2）由（1）得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，因?yàn)?，所以?dāng)時，，故當(dāng)施用肥料為3千克時，該水果樹的單株利潤最大，最大利潤為400元.34．中國地大物博，大興安嶺的雪花還在飛舞，長江兩岸的柳枝已經(jīng)發(fā)芽，海南島上盛開著鮮花．燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，專家發(fā)現(xiàn)，某種兩歲燕子在飛行時的耗氧量與飛行速度米秒之間滿足關(guān)系：，其中表示燕子耗氧量的單位數(shù)．(1)當(dāng)該燕子的耗氧量為個單位時，它的飛行速度大約是多少？(2)若某只兩歲燕子飛行時的耗氧量變?yōu)樵瓉淼谋?，則它的飛行速度大約增加多少？參考數(shù)據(jù)：，【答案】(1)（米/秒）(2)（米/秒）【分析】（1）由耗氧量和飛行速度的關(guān)系可將表示為對數(shù)，然后求出即可．（2）記燕子原來的耗氧量為，飛行速度為，現(xiàn)在的耗氧量為，飛行速度為，則可得，然后化為對數(shù)運(yùn)算即可．【詳解】（1）當(dāng)時，，即，所以，所以，即它的飛行速度大約是米秒．（2）記燕子原來的耗氧量為，飛行速度為，現(xiàn)在的耗氧量為，飛行速度為，則，即，所以，，所以，所以它的飛行速度大約增加米秒．35．2022年12月7日，國務(wù)院發(fā)布了精準(zhǔn)防控新冠疫情的十條最新措施，以減輕疫情防控對企業(yè)經(jīng)營和民眾生活帶來的損失．某公司為了盡快恢復(fù)經(jīng)營活動，決定對業(yè)績在50萬元到200萬元的業(yè)務(wù)員進(jìn)行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金y（單位：萬元）隨著業(yè)績值x（單位：萬元）的增加而增加，但不超過業(yè)績值的．(1)若某業(yè)務(wù)員的業(yè)績?yōu)?00萬，核定可得5萬元獎金，若該公司用函數(shù)（k為常數(shù)）作為獎勵函數(shù)模型，則業(yè)績200萬元的業(yè)務(wù)員可以得到多少獎勵？（參考數(shù)據(jù)）(2)若采用函數(shù)，求a的范圍．【答案】(1)業(yè)績200萬元的業(yè)務(wù)員可以得到7.3萬元獎勵；(2)a的取值范圍是．【分析】(1)將題中的條件代入，可以求出具體的函數(shù)解析式，即可解決.(2)根據(jù)題意列出關(guān)于的不等式，然后把問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的恒成立問題，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）對于函數(shù)模型（k為常數(shù)），當(dāng)時，，代入得，解得，即，因?yàn)楹瘮?shù)和函數(shù)在上都為增函數(shù)所以函數(shù)在上都為是增函數(shù)，當(dāng)時，，所以業(yè)績200萬元的業(yè)務(wù)員可以得到7.3萬元獎勵．（2）對于函數(shù)模型，因?yàn)楹瘮?shù)在遞增，所以，即；又由獎金不超過業(yè)績值得5%，得恒成立，即對恒成立．記，因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象開口向上且，所以函數(shù)圖象的對稱軸，所以只需，即解得．所以綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．36．2022年第24屆北京冬季奧林匹克運(yùn)動會，于2022年2月4日星期五開幕，將于2月20日星期日閉幕．該奧運(yùn)會激發(fā)了大家對冰雪運(yùn)動的熱情，與冰雪運(yùn)動有關(guān)的商品銷量持續(xù)增長．對某店鋪某款冰雪運(yùn)動裝備在過去的一個月內(nèi)（以30天計(jì)）的銷售情況進(jìn)行調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該款冰雪運(yùn)動裝備的日銷售單價（元/套）與時間x（被調(diào)查的一個月內(nèi)的第x天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（k為正常數(shù)）．該商品的日銷售量（個）與時間x（天）部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：x10202530110120125120已知第10天該商品的日銷售收入為121元．(1)求k的值；(2)給出兩種函數(shù)模型：①，②，請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來描述該商品的日銷售量與時間x的關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；(3)求該商品的日銷售收入（，）（元）的最小值．【答案】(1)(2)選擇②，，（，）(3)121元【分析】（1）根據(jù)第10天該商品的日銷售收入為121元，列式求得答案；（2）由表中數(shù)據(jù)的變化可確定描述該商品的日銷售量與時間x的關(guān)系，代入表述數(shù)據(jù)可求得其解析式；（3）討論去掉絕對值符號，分段求出函數(shù)的最小值，比較可得答案.【詳解】（1）因?yàn)榈?0天該商品的日銷售收入為121元，所以，解得；（2）由表中數(shù)據(jù)可得，當(dāng)時間變化時，該商品的日銷售量有增有減，并不單調(diào)，故只能選②:代入數(shù)據(jù)可得：，解得，，所以，（，）（3）由（2）可得，，所以，，所以當(dāng)，時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最小值，且為121；當(dāng)，時，為單調(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)時，有最小值，且為124，綜上，當(dāng)時，有最小值，且為121元，所以該商品的日銷售收入最小值為121元．37．2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產(chǎn)生活造成嚴(yán)重影響．在黨和政府強(qiáng)有力的抗疫領(lǐng)導(dǎo)下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復(fù)工復(fù)產(chǎn)，減輕經(jīng)濟(jì)下降對企業(yè)和民眾帶來的損失．為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元滿足（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是2萬件．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（此處每件產(chǎn)品年平均成本按元來計(jì)算）(1)將2020年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)(2)該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元【分析】（1）根據(jù)題意列方程即可.（2）根據(jù)基本不等式，可求出的最小值，從而可求出的最大值.【詳解】（1）由題意知，當(dāng)時，（萬件），則，解得，∴．所以每件產(chǎn)品的銷售價格為（元），∴2020年的利潤．（2）∵當(dāng)時，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立．∴，即萬元時，（萬元）．故該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時，廠家的利潤最大為29萬元．38．近日，某市環(huán)保研究所對市中心每天環(huán)境污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合污染指數(shù)與空氣污染指數(shù)的關(guān)系為：，其中空氣污染指數(shù)與時刻（小時）和的算術(shù)平均數(shù)成反比，且比例系數(shù)為，是與氣象有關(guān)的參數(shù)，．(1)求空氣污染指數(shù)的解析式和最大值；(2)若用每天環(huán)境綜合污染指數(shù)的最大值作為當(dāng)天的綜合污染指數(shù)，該市規(guī)定：每天的綜合污染指數(shù)最大值不得超過1．試問目前市中心的綜合污染指數(shù)是否超標(biāo)？請說明理由．【答案】(1)，，;(2)沒有超標(biāo)；理由見解析.【分析】（1）根據(jù)題意直接寫出函數(shù)，利用均值不等式求最值即可；（2）設(shè)，換元后原函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分類討論可得的最大值，即可求解.【詳解】（1）由題意得px=1即當(dāng)且僅當(dāng)時，．（2）由（1）得，，設(shè)，令gt=tt?k則由圖像知在和k,12上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且gk2=k所以，令k24+令k24+所以當(dāng)0<k<2?1時，當(dāng)時，，即gtmax<1所以目前市中心的綜合污染指數(shù)沒有超標(biāo).39．某企業(yè)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示.(1)分別將兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù).(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元（結(jié)果精確到0.1萬元）？【答案】(1)，；(2)當(dāng)A產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤為萬元，即4.1萬元．【分析】（1）由已知給出的函數(shù)模型設(shè)出解析式，代入已知數(shù)據(jù)即可算出結(jié)果；（2）設(shè)A產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)的利潤為萬元，則有，再利用換元法轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題即可求解．【詳解】（1）設(shè)投資額為萬元，A產(chǎn)品的利潤為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，由題設(shè)得，，由圖可知，則，又，所以，所以，；（2）設(shè)A產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)的利潤為萬元，則，，令，則，故，所以當(dāng)時，，此時，，所以當(dāng)產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤為萬元，即4.1萬元．40．某企業(yè)投資（萬元）與使用時間（年）之間滿足函數(shù)關(guān)系，此外該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是萬元.(1)求該企業(yè)使用這套設(shè)備年的年平均垃圾處理費(fèi)用（萬元）；(2)該企業(yè)使用這套設(shè)備幾年年平均垃圾處理費(fèi)用最低？最低是多少萬元？【答案】(1).(2)10年，最低費(fèi)用（萬元）.【分析】（1）由垃圾處理費(fèi)用的構(gòu)成即可求得關(guān)于的解析式；（2）利用基本不等式即可求得最小值.【詳解】（1）由題意可知：使用年的垃圾處理費(fèi)用=投資費(fèi)用+維護(hù)費(fèi)用+運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用，使用這套設(shè)備年，維護(hù)費(fèi)用為，運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用為，投資萬元，故有.（2）由基本不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時取等號.即該企業(yè)使用這套設(shè)備10年，年平均費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為（萬元）.（單位：百千克）與肥料費(fèi)用（單位：百元）滿足關(guān)系，且投入的肥料費(fèi)用不超過6百元.另外，還需要投入其它的費(fèi)用（單位：百元）.(1)求函數(shù)的關(guān)系式，并寫出定義域；(2)當(dāng)肥料費(fèi)用為多少時，這種水果獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)，(2)肥料費(fèi)用為元時，該水果獲得的利潤最大，最大利潤是元．【分析】（1）根據(jù)收入減去成本為利潤，即可得到函數(shù)解析式，再寫出函數(shù)的定義域即可；（2）利用基本不等式求出函數(shù)的最大值，即可得解.【詳解】（1）解：依題意可得，因?yàn)?，所以，；?）解：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為元時，該水果獲得的利潤最大，最大利潤是元．42．在20世紀(jì)30年代，美國地震學(xué)家里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，就是我們常說的甲氏震級M，其計(jì)算公式為．其中A是被測地震的最大振幅，是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)振幅是為了修正測震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）．(1)假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄地震的最大振幅是，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001，求這次地震的震級；(2)級地震給人的震感已比較明顯，求級地震的最大振幅約是級地震的最大振幅的多少倍？（精確到1倍，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)級；(2)倍【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程，化簡求得震級.（2）求得級和級地震的振幅，進(jìn)而求得所求的倍數(shù).【詳解】（1）依題意，所以這次地震的震級是級.（2）依題意，其中分別表示級地震、級地震的最大振幅，兩式相減得，所以倍.所以級地震的最大振幅約是級地震的最大振幅的倍.43．學(xué)校鼓勵學(xué)生課余時間積極參加體育鍛煉，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分y與當(dāng)天鍛煉時間x（單位：分鐘）的函數(shù)關(guān)系，要求如下：（1）函數(shù)的圖象接近圖示；（2）每天運(yùn)動時間為0分鐘時，當(dāng)天得分為0分；（3）每天運(yùn)動時間為30分鐘時，當(dāng)天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有以下三個函數(shù)模型供選擇：①；②；③.(1)請你從中選擇一個合適的函數(shù)模型并說明理由；(2)根據(jù)你對（1）的判斷以及所給信息完善你的模型并給出函數(shù)的解析式；(3)已知學(xué)校要求每天的分?jǐn)?shù)不少于4.5分，求每天至少運(yùn)動多少分鐘（結(jié)果保留整數(shù)）.【答案】(1)選，理由見解析(2)答案見解析(3)55分鐘【分析】（1）根據(jù)圖像和函數(shù)性質(zhì)選擇模型，（2）將，代入求解系數(shù)即可.（3）將代入解析式即可.【詳解】（1）第一步：分析題中每個模型的特點(diǎn)對于模型一，當(dāng)時，勻速增長；對于模型二，當(dāng)時，先慢后快增長；對于模型三，當(dāng)時，先快后慢增長.第二步：根據(jù)題中材料和題圖選擇合適的函數(shù)模型從題圖看應(yīng)選擇先快后慢增長的函數(shù)模型，故選.（2）第三步把題圖中的兩點(diǎn)代入選好的模型中，得到函數(shù)解析式將，代入解析式得到，即，解得，，即.第四步：完善模型是否合適當(dāng)時，，滿足每天得分最高不超過6分的條件.所以函數(shù)的解析式為.（3）由，，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要運(yùn)動55分鐘.44．學(xué)校鼓勵學(xué)生課余時間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個課余鍛煉考核評分制度，建立一個每天得分與當(dāng)天鍛煉時間（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；（2）每天運(yùn)動時間為0分鐘時，當(dāng)天得分為0分；（3）每天運(yùn)動時間為30分鐘時，當(dāng)天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有三個函數(shù)模型①，②，③供選擇.(1)請你從中選擇一個合適的函數(shù)模型并說明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】(1)模型③，理由見解析，；(2)55分鐘【分析】（1）根據(jù)圖像和函數(shù)性質(zhì)選擇模型，再將（0，0），（30，3）代入求解系數(shù)即可.（2）將代入解析式即可.【詳解】（1）第一步：分析題中每個模型的特點(diǎn)對于模型一，當(dāng)時，勻速增長；對于模型二，當(dāng)時，先慢后快增長；對于模型三，當(dāng)時，先快后慢增長.第二步：根據(jù)題中材料和題圖選擇合適的函數(shù)模型從題圖看應(yīng)選擇先快后慢增長的函數(shù)模型，故選.第三步：把題圖中的兩點(diǎn)代入選好的模型中，得到函數(shù)解析式將（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，解得，即.第四步：驗(yàn)證模型是否合適當(dāng)時，，滿足每天得分最高不超過6分的條件.所以函數(shù)的解析式為.（2）由，得，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要運(yùn)動55分鐘.45．某地為踐行綠水青山就是金山銀山的理念，大力開展植樹造林．假設(shè)一片森林原來的面積為畝，計(jì)劃每年種植一些樹苗，且森林面積的年增長率相同，當(dāng)面積是原來的倍時，所用時間是年．(1)求森林面積的年增長率；(2)到今年為止，森林面積為原來的倍，則該地已經(jīng)植樹造林多少年？【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)出增長率，列出指數(shù)方程，求解即可；（2）根據(jù)（1）中所求，設(shè)出植樹造林的年限，列出指數(shù)方程，求解即可.【詳解】（1）設(shè)森林面積的年增長率為，根據(jù)題意可得：，即，則，故.故森林面積的年增長率為.（2）設(shè)該地已經(jīng)植樹造林年，根據(jù)題意可得：，即，則，解得.故該地已經(jīng)植樹造林年.46．有一種放射性元素，最初的質(zhì)量為，按每年衰減(1)求兩年后，這種放射性