十年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題一試(解析幾何含解析)

來源：網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)載來源：網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)載來源：網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)載來源：網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)載十年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題解析幾何圓錐曲線部分解答題o已知 和北+22=i>>。試問：當且僅當 滿足什么0 1a2b2條件時，對上任意一點，均存在以為項點與外切與內(nèi)接的平行四邊TOC\o"1-5"\h\z形？并證明你1的結(jié)論。 0 1.已知點，和拋物線 +上兩點B，使得X,求點的縱坐標的取值范圍.給定整數(shù)n>2，設(shè)M(x,y)是拋物線y2=nx-1與直線y=x的一個交點0 0 0試證明對于任意正整數(shù)m,必存在整數(shù)k>2，使(xm,ym)為拋物線y2=kx-10 0與直線y=x的一個交點.如圖，P是拋物線y2=2x上的動點，描。在y軸上，圓(x-1)2+y2=1內(nèi)切于寸BC，求APBC面積的最小值.答案：所求條件為—+1a2b2證明：必要性：易知，圓外切平行四邊形一定是菱形，圓心即菱形中心假設(shè)論成立則對點 有 為項點的菱形與內(nèi)接與外切的相對頂點為 由于菱形的對角線互相垂直平分另外兩個頂點必在軸上為和菱形一條邊的方程為ab即 由于菱形與外切故必有a 整理得x_L 必要性得證aa2+b a2b22充分性設(shè)_1+L 是上任意一點過、作的弦，再過作與 垂a2b2直的弦，則為與 內(nèi)接菱形設(shè) 則點的坐標為0 0點的坐標為0 0點的坐標為°(20- 代入橢圓方程得2TOC\o"1-5"\h\zQ”0>卜2cos0+芻］2卜2sg打a2 b2 a2 b2cos2(0+一)sin2(0+—)1 111 cos20 sm20 ' 2 ' 2一是 + + 二 二OP2 OQ2 R2R2a2b2 a2 b21211 a2b2

又在t中，設(shè)點到的距離為，則1-1 -故得hOP2OQ2同理，點到RS 的距離也為1故菱形與外切充分性得證0注對于給出a2+b2=a2b2,,a 等條件者，應(yīng)同樣給分aa2+b2TOC\o"1-5"\h\z? ?由?一1得 一1.?????△ — —三，???W,三.當時，得一3一,當時，得，一)滿足要求，故點的縱坐標的取值范圍是一8, ],8.過拋物線y=x2上的一點()作拋物線的切線，分別交x軸于，交j軸AE于點在拋物線上，點在線段 上，滿足AE八點在線段上，滿足EC1BF絲八，且入+入=1,線段與交于點當點在拋物線上移動時，求點FC2 1 2的軌跡方程解一：過拋物線上點的切線斜率為：j'=2xI=2,.??切線 的方程為x=1j=2x-1.?B、D的坐標為B(0,-1),D(1,0),.D是線段 的中點 2分AE設(shè)P(x,j)、C(x,x2)、E(x,j)、F(x,j),則由——=X知，0 0 1 1 2 2 EC11+Xx

x= -j1 1+1+Xx

x= -j1 1+X11-1+Xx2 0-.1+X2 1；——=X,得x=20,j1+XFC2 21+X212所在直線方程為:1+入X所在直線方程為:1+入X2V ^-0y1+入 1—01+九 1 -1+入X2 1+入X2 2-0-- 1_0_1+入1+入21 1 入X1+入X—2-0-- 1_01+入1+入21化簡得[(九一九)X-(1+九)]y=[(九一九)X2-3]X+1+X-九X2.…① 分2 1 0 2 2 1 0 0 20當Xw-時，

0 當Xw-時，

0 2直線的方程為:2X2X-X2 cy--0 0-…②2X-1

0聯(lián)立①、②解得x+1X=—0——3,消去x0，得點軌跡方程為：y-3(3x-1)2.43—-y2分方程為:也在點軌跡上因與不能重合，，Xw1,「0CD——,t=CP43—-y2分方程為:也在點軌跡上因與不能重合，，Xw1,「0CD——,t=CP1CACECBCF=1+入,則t+1=3.因為

2 1 2為AABC的中線，CE-CFttCA-CB12SACEFSACABS—ACEP+2SACADS1/1 1、—ACFP——(——+ )-2S 2tytyACBD 1 23-——，「?y211y121. 31 1入-3)x+-——九,CD方程為：x=2???所求軌跡方程為y=1(3x-1)2(xw|).*'是的中點解二：由解一知，的方程為y=2x-1,B(0,-1),D(1,0),故是的中點P是AABC的重心 設(shè)P(X,y),C(X,X2),因點異于，則Xw1,故重心 的坐標為00 00+1+X1+X2 —1+1+X2X2 1/C八X― ― 0,(Xw-),y= —i,消去X,得y- (3X-1)2.3 3 3 3 3 0 312故所求軌跡方程為y=3（3x-1）2（x中3【證明】因為y2=nx-1與y=x的交點為x=y00n土<n2—41顯然有x+ =n?！ǚ郑?x0若（xm,ym）為拋物線y2=kx-1與直線y=x的一個交點oo1則k=xm+—0xm0…（分）則k=k(x+—)-k=nk-k，

m+1m0x m-1 mm-10(m>2).一一…… 1 1 ,一 由于k=n是整數(shù)，k=x2+—=（x+-）2-2=n2-2也是整數(shù)，所以根據(jù)數(shù)學(xué)歸1 2 0x2 0x0 0 1 納法，通過（ ）式可證明對于一切正整數(shù)m,k=xm+—是正整數(shù)現(xiàn)在對m0xm:.... ... 01于任意正整數(shù)m，取k=xm+——，使得y2=kx-1與y=x的交點為0xm0（分）解設(shè)P(x,y),B(0,b),C(0,c)，不妨設(shè)b〉c.0 0直線PB的方程y-b=Jx，

x0化簡得(y-b)x-

0又圓心(1,0)到PB的距離為|y一b+xb?0 0?=1，1,/(y-b)2+x2’0 0故(y-b)2+x2-(y-b)2+2xb(y-b)+x2b2，0易知X〉2，0上式化簡得（-2）b2+2yb-同理有(％-2)c2+2y0所以b+c-二24，x—20…10分(b-c)2bc-3，貝Ux—204x2+4y2-8x——0 0 0-?(x-2)20因P(x,y)是拋物線上的點,0 04x2