人教B版數(shù)學課件3-1-2第1課時函數(shù)的單調性

第1課時函數(shù)的單調性第三章2021內容索引0102課前篇自主預習課堂篇探究學習課標闡釋1.理解函數(shù)的單調性的概念.(邏輯推理)2.會用函數(shù)單調性的定義判斷和證明一些簡單函數(shù)的單調性.(邏輯推理)3.能從給定的函數(shù)圖像上直觀得出函數(shù)的單調性及單調區(qū)間.(直觀想象)4.掌握函數(shù)單調性的一些簡單應用.(數(shù)學抽象)5.理解函數(shù)的平均變化率.(邏輯推理)思維脈絡課前篇自主預習【激趣誘思】德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯,對人類的記憶牢固程度進行了有關研究.他經(jīng)過測試,得到了以下一些數(shù)據(jù):時間間隔t剛記憶完畢20分鐘后60分鐘后8~9小時后1天后2天后6天后一個月后記憶量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數(shù)據(jù)表明,記憶量y是時間間隔t的函數(shù),艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”,如圖.問題:(1)當時間間隔t逐漸增大時,你能看出對應的函數(shù)值y有什么變化趨勢?通過這個試驗,你打算以后如何對待剛學過的知識?(2)“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的,對此,我們如何用數(shù)學觀點進行解釋?【知識點撥】

知識點一、函數(shù)單調性的概念一般地,設函數(shù)y=f(x)的定義域為D,且I?D.(1)如果對任意x1,x2∈I,當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),則稱y=f(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調遞增),如圖1所示.(2)如果對任意x1,x2∈I,當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),則稱y=f(x)在I上是減函數(shù)(也稱在I上單調遞減),如圖2所示.圖1

圖2

兩種情況下,都稱函數(shù)在I上具有單調性(當I為區(qū)間時,稱I為函數(shù)的單調區(qū)間,也可分別稱為單調遞增區(qū)間或單調遞減區(qū)間).名師點析

1.函數(shù)的單調性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質,這個區(qū)間可以是整個定義域,也可以是定義域的一部分,也就是單調區(qū)間是定義域的某個子集.2.對于單獨一點,由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù),沒有增減變化,所以不存在單調性問題,因此在書寫單調區(qū)間時,可以包括端點,也可以不包括端點,但在某些點無意義時,單調區(qū)間不能包括這些點.微練習(1)已知四個函數(shù)的圖像如圖所示,其中在定義域內具有單調性的函數(shù)是(

)答案

B(2)如果(a,b),(c,d)都是函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,則f(x1)與f(x2)的大小關系是(

)A.f(x1)<f(x2)

B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2) D.不能確定答案

D解析

根據(jù)函數(shù)單調性的定義可知,所取的兩個自變量的值必須在同一單調區(qū)間內才能由函數(shù)的單調性比較其函數(shù)值的大小,故選D.知識點二、函數(shù)的平均變化率一般地,當x1≠x2時,稱

為函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[x1,x2](x1<x2時)或[x2,x1](x1>x2時)上的平均變化率.微思考

給定平面直角坐標系中任意兩點A(x1,y1),B(x2,y2),如何確定直線AB的斜率?提示

當x1≠x2時,直線AB的斜率為

;當x1=x2時,直線AB的斜率不存在.知識點三、判斷函數(shù)單調性的步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間I上的單調性的一般步驟:(1)任取x1,x2∈I,且Δx=x2-x1>0;(2)作差:Δy=f(x2)-f(x1);(3)變形(通常所用的方法有:因式分解、配方、分子有理化、分母有理化、通分等);(4)定號(即判斷Δy的正負);(5)下結論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間I上的單調性).微練習求證:函數(shù)f(x)=在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù).課堂篇探究學習探究一用定義法證明(判斷)函數(shù)的單調性例1利用單調性的定義證明函數(shù)f(x)=在(-∞,0)內是增函數(shù).分析解題的關鍵是對Δy=f(x2)-f(x1)合理變形,最終要變?yōu)閹讉€最簡單因式乘積或相除的形式,以便于判號.反思感悟

證明函數(shù)的單調性的步驟1.取值:設x1,x2為給定區(qū)間內任意的兩個值,且x1<x2(在證明函數(shù)的單調性時,由于x1,x2的取值具有任意性,它代表區(qū)間內的每一個數(shù),所以在證明時,不能用特殊值來代替它們);2.作差變形:作差Δy=f(x2)-f(x1),并將差向有利于判斷差值的符號的方向變形(作差后,盡量把差化成幾個簡單因式的乘積或幾個完全平方式的和的形式,這是值得學習的解題技巧,在判斷因式的正負號時,經(jīng)常采用這種變形方法);3.定號:判斷符號的依據(jù)是自變量的取值范圍、假定的大小關系及符號的運算法則;4.判斷:根據(jù)定義作出結論(若Δx=x2-x1與Δy=f(x2)-f(x1)同號,則函數(shù)在給定區(qū)間是增函數(shù);異號,則是減函數(shù)).探究二利用圖像求函數(shù)的單調區(qū)間例2已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖像,并結合圖像寫出函數(shù)的單調區(qū)間.分析首先分類討論,去掉絕對值號,將函數(shù)化為分段函數(shù),然后畫出圖像求解即可.由圖像可知,函數(shù)的單調遞增區(qū)間為(-∞,1],[2,+∞);單調遞減區(qū)間為[1,2].變式訓練

2寫出y=|x2-2x-3|的單調區(qū)間.所以y=|x2-2x-3|的單調遞減區(qū)間為(-∞,-1],[1,3];單調遞增區(qū)間為[-1,1],[3,+∞).探究三函數(shù)單調性的簡單應用例3已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b.(1)若函數(shù)f(x)的圖像過點(1,4)和(2,5),求f(x)的解析式;(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,2]上不單調,求實數(shù)a的取值范圍.解

(1)∵f(x)=x2+ax+b過點(1,4)和(2,5),∴f(x)=x2-2x+5.(2)由f(x)在區(qū)間[1,2]上不單調可知1<-<2,即-4<a<-2,a的取值范圍為(-4,-2).反思感悟

函數(shù)單調性的應用(1)函數(shù)單調性定義的“雙向性”:利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調性,反過來,若已知函數(shù)的單調性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.(2)若一個函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是單調的,則此函數(shù)在這一單調區(qū)間內的任意子集上也是單調的.延伸探究把本例(2)條件“不單調”改為“單調”,求實數(shù)a的取值范圍.解

由f(x)在區(qū)間[1,2]上單調可知

,即a≤-4或a≥-2.a的取值范圍為(-∞,-4]∪[-2,+∞).

素養(yǎng)形成分類討論思想在函數(shù)單調性中的應用分析要討論函數(shù)的單調性,只需要用定義判定,由于函數(shù)中含有參數(shù),因此要注意分類討論思想的應用.解

設x1,x2是(-1,1)內的任意兩個自變量,且x1<x2.∴當a>0時,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此時f(x)在(-1,1)內是減函數(shù);當a<0時,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),此時f(x)在(-1,1)內是增函數(shù).綜上所述,當a>0時,函數(shù)f(x)在(-1,1)內是減函數(shù);當a<0時,函數(shù)f(x)在(-1,1)內是增函數(shù).方法點睛

1.討論一個含參數(shù)的函數(shù)的單調性與證明一個函數(shù)的單調性的方法類似,都是利用定義,通過運算,判斷f(x1)-f(x2)的正負,從而得出結論,若所含參數(shù)符號不確定,必須分類討論.2.本題的規(guī)范解答中每一個環(huán)節(jié)都不能省略,既有開頭和結尾形式上的要求,也有對f(x1)-f(x2)的正負判定進行實質性說明.

當堂檢測1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上不是增函數(shù)的是(

)A.y=2x+1 B.y=3x2+1C.y=

D.y=|x|答案

C解析

由一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)及y=|x|的圖像與性質知,只有選項C中的函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上不是增函數(shù).故選C.2.下列命題正確的是(

)A.定義在(a,b)內的函數(shù)f(x),若存在x1<x2,使得f(x1)<f(x2),則f(x)在(a,b)內為增函數(shù)B.定義在(a,b)內的函數(shù)f(x),若有無數(shù)多對x1,x2∈(a,b),使得當x1<x2時有f(x1)<f(x2),則f(x)在(a,b)內為增函數(shù)C.若f(x)在區(qū)間I1上為增函數(shù),在區(qū)間I2上也為增函數(shù),則f(x)在I1∪I2上為增函