專題3.4乘法公式（學(xué)生版）

專題3.4乘法公式1、學(xué)會利用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行運算；2、掌握完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用；3、掌握整式的混合運算；知識點01運用平方差公式進(jìn)行運算【知識點】平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 特別說明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如【典型例題】例1．（2022秋·福建福州·八年級?？计谥校┤绻粋€正整數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差，那么稱該正整數(shù)為“和諧數(shù)”如，，即8，16均為“和諧數(shù)”），在不超過100的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為（

）A．614 B．624 C．634 D．642例2．（2023春·七年級課時練習(xí)）若，則m=______，n=______．例3．（2023秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖①，從邊長為的大正方形中剪掉一個邊長為的小正方形，將陰影部分沿線剪開，如圖所示，拼成圖②的長方形．(1)【探究】①請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積__________；__________；②比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：____________________（用字母表示）；(2)【應(yīng)用】請應(yīng)用這個公式完成計算：．【即學(xué)即練】1．（2022秋·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習(xí)）計算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．2．（2021春·江蘇泰州·七年級?？计谥校┤绻粋€數(shù)等于兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差，那么我們稱這個數(shù)為“和融數(shù)”，如：因為，所以稱20為“和融數(shù)”，下面4個數(shù)中為“和融數(shù)”的是（

）．A．2018 B．2019 C．2020 D．20213．（2023秋·新疆烏魯木齊·八年級?？计谀┬←愒谟嬎銜r，把3寫成后，發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運用平方差公式進(jìn)行計算．用類似的方法計算：___________．4．（2021春·浙江寧波·七年級?？计谥校┯嬎悖篲_____．5．（2022秋·福建泉州·八年級?？茧A段練習(xí)）（1）比較左、右兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式______．（用式子表達(dá)）（2）運用你所得到的公式，計算下列各題：①②知識點02運用完全平方公式進(jìn)行運算【知識點】完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.特別說明：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號.特別說明：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.補充公式；；；.【典型例題】例1．（2023秋·山西朔州·八年級統(tǒng)考期末）下列各式計算正確的是（

）A． B．C． D．例2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┮阎?，則__________．例3．（2023秋·廣東韶關(guān)·八年級統(tǒng)考期末）計算：．【即學(xué)即練】1．（重慶市綦江區(qū)20222023學(xué)年八年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022春·廣西·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）若實數(shù)，滿足，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·福建寧德·八年級校考階段練習(xí)）已知，，則_______．4．（2022秋·廣西南寧·九年級三美學(xué)校校考開學(xué)考試）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法．例如“已知，求代數(shù)式的值．”可以這樣解：．根據(jù)閱讀材料，解決問題：若是關(guān)于的一元一次方程的解，則代數(shù)式的值是_____．5．（2022春·江蘇常州·七年級常州市清潭中學(xué)?？计谥校┪覀冎溃瑢τ谝粋€圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式，例：如圖①可以得到．請解答下列問題：(1)寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)等式；(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，求的值；(3)小明同學(xué)又用張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張邊長為的長方形紙片拼出了一個面積為的長方形，求的值．知識點03完全平方公式在幾何圖形中應(yīng)用【典型例題】例1．（2022春·浙江寧波·七年級校聯(lián)考期中）如圖，在一塊邊長為的正方形花圃中，兩縱兩橫的4條寬度為的人行道把花圃分成9塊，下面是四個計算種花土地總面積的代數(shù)式：（1）；（2）；（3）；（4），其中正確的有（

）A．（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（4）例2．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖1，是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，則每個小長方形的寬為______，然后用四個小長方形拼成如圖2所示的正方形，則圖中陰影正方形的面積為______．例3．（2021春·四川成都·七年級?？计谥校┌褞讉€圖形拼成一個新的圖形，再通過兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個等式，也可以求出一些圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：．(1)如圖2，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為的正方形，試用不同的形式表示這個大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？，請用等式表示出來．(2)利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值．【即學(xué)即練】1．（2021春·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期中）如圖，將四個長為a，寬為b的小長方形紙片拼成一個大正方形，用兩種不同的方法表示這個大正方形的面積，則可以得出一個等式為（

）A． B．C． D．2．（2022秋·河南鄭州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，麥麥用9張A類正方形卡片、1張B類正方形卡片和6張C類長方形卡片，拼成了一個大正方形，拼成的大正方形的邊長是（

）A． B． C． D．3．（2021春·遼寧沈陽·七年級統(tǒng)考期末）如圖（1）是一個長為2a，寬為2b的長方形，用剪刀沿圖中虛線剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個正方形，中間空余部分的面積是16，若a＝b，則原長方形的周長為_____．4．（2022秋·河北保定·九年級保定市第十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）4張長為a、寬為b（）的長方形紙片，按如圖的方式拼成一個邊長為（）的正方形，圖中空白部分的面積為，陰影部分的面積為．（1）若，，則__________．（2）若，求a與b滿足關(guān)系：_________．5．（2022春·江蘇宿遷·七年級統(tǒng)考期中）圖（1）是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形．然后按圖（2）的形狀拼成一個正方形．(1)你認(rèn)為圖（2）中陰影部分的正方形的邊長是________（用、表示）；(2)請用兩種不同的方法表示出圖（2）中陰影部分的面積：①：________，②：________；(3)觀察圖（2），請寫出、、之間的一個等量關(guān)系________；(4)根據(jù)（3）中的等量關(guān)系，解決如下問題：若，，求的值．知識點04整式的混合運算【知識點】整式的混合運算，也是遵循四則運算法則的，記得結(jié)果要化簡；【典型例題】例1．（2023秋·湖南長沙·八年級統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．例2．（2023秋·安徽宣城·八年級統(tǒng)考期末）若?，則?___________．例3．（2022秋·廣西南寧·九年級三美學(xué)校?？奸_學(xué)考試）先化簡，再求值：，其中，．【即學(xué)即練】1．（2022秋·河南信陽·七年級統(tǒng)考期中）小明化簡的過程如下：解:…①…②…③…④在化簡過程中，他是從第（

）步開始出錯的？A．① B．② C．③ D．④2．（2022春·甘肅蘭州·七年級統(tǒng)考期末）為了求的值，可令，則，因此，所以．仿照以上推理計算出的值是（

）A． B． C． D．3．（2023春·七年級單元測試）如圖，兩個正方形邊長分別為、，且滿足，，圖中陰影部分的面積為______．4．（2022春·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）已知，則代數(shù)式______．5．（2023秋·廣東湛江·八年級校考期末）已知的展開式中不含x項，常數(shù)項是．(1)求m、n的值：(2)當(dāng)m、n取第（1）小題的值時，先化簡，再求值：．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022秋·江西南昌·八年級統(tǒng)考期末）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）已知是完全平方式，則常數(shù)可以取（

）A．1 B．1 C． D．23．（2023秋·河北唐山·八年級?？计谀┤?，則（

）A． B．14 C．7 D．4．（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）為了運用平方差公式計算，下列變形正確的是（）A． B．C． D．5．（2023秋·江西宜春·八年級統(tǒng)考期末）已知多項式是完全平方式，則_________．6．（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期末）若，，則＝_____．7．（2021秋·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級校考階段練習(xí)）請你觀察圖形，不再添加輔助線，依據(jù)圖形面積之間的關(guān)系，便可得到一個非常熟悉的公式，寫出這個公式______．8．（2023秋·河北保定·八年級?？计谀┈F(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的長方形紙片（邊長如圖）．（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為_____________；（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片9塊，還需取丙紙片___塊．9．（2021秋·四川資陽·八年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：，其中，．10．（2022秋·上海·七年級上海市建平中學(xué)西校?？计谥校┯贸朔ü胶啽阌嬎悖侯}組B能力提升練1．（2022秋·河北邯鄲·八年級校考階段練習(xí)）計算的結(jié)果為（

）A． B．1 C．11 D．40272．（2022秋·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，，則的值為（

）A．5 B．25 C．37 D．63．（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為的正方形中挖掉一個邊長為的小正方形，把余下的部分剪成一個長方形，通過計算兩個圖形（陰影部分、從左圖到右圖）的面積，驗證的公式為（

）A． B．C． D．4．（2023春·七年級課時練習(xí)）若，，在下列判斷結(jié)果正確是（

）．A． B． C． D．無法判斷5．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谥校┮阎?，則___________．6．（2022秋·河南南陽·八年級校考階段練習(xí)）如圖，兩個正方形邊長分別為a、b，如果，則陰影部分的面積為____．7．（2023秋·四川內(nèi)江·八年級統(tǒng)考期末）我們經(jīng)常利用完全平方公式以及變形公式進(jìn)行代數(shù)式變形．已知關(guān)于a的代數(shù)式，請結(jié)合你所學(xué)知識，判斷下列說法：①當(dāng)時，；②無論a取任何實數(shù)，不等式恒成立；③若，則；正確的有______．8．（2022秋·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》（1261年）一書中，用圖的三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，我們稱這個三角形為“楊輝三角”．這個三角形給出了的展開式（按的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．根據(jù)上面的規(guī)律，請寫出的第三項：___________．9．（2023秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）計算：(1)；(2)．10．（2023秋·廣東汕頭·八年級統(tǒng)考期末）請認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：(1)根據(jù)圖中條件，用兩種方法表示陰影圖形的面積的和（只需表示，不必化簡）①________________②________________；(2)由（1）你能得到怎樣的等量關(guān)系？請用式子表示：________________(3)如果圖中的滿足.求：①的值②的值題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末），為實數(shù)，整式的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期末）現(xiàn)有甲，乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為______．（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片9塊，還需取丙紙片______塊．A．和6 B．和5 C．和4 D．和33．（2023秋·福建三明·七年級統(tǒng)考期末）若，，，……，是2022個由1和組成的數(shù)，且滿足，則的值為（

）A．2122 B．2422 C．3844 D．42444．（2022秋·重慶江津·九年級?？计谥校┰O(shè)a，b是有理數(shù)，定義運算，例如：，，．下列結(jié)論：①；②；③m，n為有理數(shù)，當(dāng)時，則；④x，y為有理數(shù)，當(dāng)時，則；⑤設(shè)，，則．其中所有正確的結(jié)論有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個5．（2023秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）已知：，則__________．6．（2021秋·浙江·九年級自主招生）若是完全平方式，與的乘積中不含x的一次項，則的值為__________．7．（2022秋·天津濱海新·八年級?？计谀┮阎?，則______．8．（2022春·福建三明·七年級?？茧A段練習(xí)）若A＝（2＋1）（22＋1）（24＋1）（28＋1）(216＋1)＋1，則A－2022的末位數(shù)字是________．9．（2