三明會(huì)議的講稿-高等代數(shù)課件

廣義行列式及其應(yīng)用

譚宜家（福州大學(xué)）廈門，集美，2013.11福建省《高等代數(shù)》與《線性代數(shù)》課程建設(shè)第十五次研討會(huì)

廣義行列式及其應(yīng)用

譚宜家廈門，集美，2013.11福1一、引言對(duì)于數(shù)域上一個(gè)給定的n階方陣，

的行列式是

其中是集合中所有置換組成的集合。表示置換的逆序數(shù)。矩陣的行列式在線性代數(shù)中起著重要的作用，它有很多有趣的性質(zhì)。

一、引言其中是集合中2實(shí)際上，行列式、矩陣和線性方程組的解是緊密地聯(lián)系在一起的;利用行列式，可直接找到可逆矩陣的逆矩陣的計(jì)算公式。Cramer法則是利用行列式解線性方程組。我們說，以上事實(shí)對(duì)于交換環(huán)上矩陣的行列式都是成立的，不同的是數(shù)域上的一個(gè)方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式不等于0，而交換環(huán)上矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式在環(huán)中可逆（參看[10]）。實(shí)際上，行列式、矩陣和線性方程組的解是緊密地聯(lián)系在一起3矩陣的積和式類似于矩陣的行列式。對(duì)于數(shù)域上一個(gè)給定的n階矩陣，的積和式是

其中是集合中所有置換組成的集合。由于矩陣積和式不涉及到負(fù)號(hào)，所以矩陣積和式在一般交換半環(huán)上也可以定義。

矩陣的積和式類似于矩陣的行列式。對(duì)于數(shù)域上一個(gè)給定的4矩陣積和式的概念首先由Binet[1]和Cauchy[3]引入。自那以后，出版了大量關(guān)于積和式理論的研究工作。1978年,H.Minc[11]給出了關(guān)于積和式理論和應(yīng)用的一些論述。自1980年以來，許多數(shù)學(xué)工作者研究了一些特殊半環(huán)上矩陣的積和式(例如，參看[5,7,8,9,13,16,18]).這些特殊半環(huán)包括了模糊代數(shù)，分配格和坡代數(shù)。矩陣積和式的概念首先由Binet[1]和5由上述可以看出，矩陣的行列式只能在交換環(huán)上定義，而積和式可以在一般交換半環(huán)上定義。那么，是否有一個(gè)方法可以將行列式與積和式統(tǒng)一起來呢？本文將引入一般交換半環(huán)上矩陣的行列式（或稱廣義行列式），并討論它的一些基本性質(zhì)。同時(shí)利用行列式給出半環(huán)上矩陣的可逆條件，并在半環(huán)上建立Cramer法則．所得的主要結(jié)論推廣了交換環(huán)上矩陣的行列式[10]（特別是數(shù)域上矩陣的行列式），模糊矩陣的積和式[9,13],格矩陣的積和式[18]以及坡矩陣的積和式[8]中相應(yīng)的結(jié)果。由上述可以看出，矩陣的行列式只能在交換環(huán)上定義，而積和式6二、基本概念與記號(hào)

定義1[6].一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)稱為一個(gè)半環(huán)。如果是一個(gè)交換幺半群（其恒等元為0），是另一個(gè)幺半群（其恒等元為1）；同時(shí),均有,并且.

設(shè)是一個(gè)半環(huán)。稱為交換的，如果,均有；

二、基本概念與記號(hào)設(shè)是一個(gè)半環(huán)。7稱為一個(gè)零和自由半環(huán)[6]，如果,由可推出.零和自由半環(huán)又稱為反環(huán)[14，17]。

一個(gè)半環(huán)稱為加法冪,均有任何加法冪等半環(huán)是零和自由半環(huán)。等的[6]，如果。顯然，

半環(huán)的例子是相當(dāng)豐富的。例如，任何帶有單位元的環(huán)都是半環(huán)，它不是零和自由的。特別地，我們所熟知的整數(shù)環(huán)，有理數(shù)域，實(shí)數(shù)域與復(fù)數(shù)域都是半環(huán)（實(shí)際上，它們都是特殊的環(huán)）。

稱為一個(gè)零和自由半環(huán)[6]，如果8又如，每一個(gè)布爾代數(shù)，模糊代數(shù)，每一個(gè)有界分配格以及任何坡代數(shù)都是半環(huán)[2]（實(shí)際上，它們均為加法冪等半環(huán)，但它們不是環(huán)）。再如，max-plus代數(shù)和min-plus代數(shù)都是交換半環(huán)，它們均為加法冪等半環(huán)[4,19]，但它們不是環(huán)。另外，所有非負(fù)實(shí)數(shù)組成之集對(duì)于普通的加法與乘法構(gòu)成一個(gè)半環(huán)稱為非負(fù)實(shí)數(shù)半環(huán)。顯然，非負(fù)實(shí)數(shù)半環(huán)既不是加法冪等半環(huán)也不是環(huán)。

又如，每一個(gè)布爾代數(shù)，模糊代9設(shè)是一個(gè)半環(huán)，。稱為加法可逆的，如果存在，使得，稱為的負(fù)元。加法可逆元構(gòu)成的集合。設(shè)表示半環(huán)中所有僅當(dāng)是零和自由半環(huán)，而當(dāng)且僅當(dāng)是一個(gè)環(huán)。顯然，當(dāng)且設(shè)是一個(gè)交換半環(huán)，表示上所有矩陣組成之集。

對(duì)于任意用表示中處的元素，

并記

的

設(shè)是一個(gè)半環(huán)，。10轉(zhuǎn)置為.

設(shè)，.定義設(shè)是一個(gè)交換半環(huán)，，表示中所有偶置換構(gòu)成的集合，表示中所有奇置換構(gòu)成的集合。

定義的正行列式和負(fù)行列式如下轉(zhuǎn)置為.設(shè)，.定義設(shè)是一個(gè)交換半環(huán)，，表11顯然。

當(dāng)是一個(gè)交換環(huán)時(shí)，

設(shè)是一個(gè)半環(huán)，上的一個(gè)映射稱為上的一個(gè)-函數(shù)如果對(duì)于任意

均有

顯然

顯然。當(dāng)是12注1：任何半環(huán)至少有一個(gè)-函數(shù)，因?yàn)樯系暮愕扔成洌菏巧系囊粋€(gè)-函數(shù)。如果是一個(gè)交換環(huán)，那么映射：是上的一個(gè)-函數(shù)。定義2.設(shè)是一個(gè)交換半環(huán)，是一個(gè)-函數(shù)，。

上的定義的-行列式如下其中是集合中所有置換組成的集合，

表示置換的逆序數(shù)。

注1：任何半環(huán)至少有一個(gè)-函數(shù)，因?yàn)?3定義為

是正整數(shù)。

因?yàn)椋宰?：如果是一個(gè)交換環(huán)，那么映射：是上的一個(gè)-函數(shù)。此時(shí)注3：對(duì)于任何交換半環(huán)

，恒等映射：是R上的一個(gè)-函數(shù)。此時(shí)定義為是正整數(shù)。因?yàn)椋宰?：如果是一個(gè)交14三、基本結(jié)論

1.定理1：對(duì)于任何，我們有(1)如果矩陣B是由A的某一行（或一列）乘以中的一個(gè)元素而得到，那么

(2)如果A的第i行（或第i列）是矩陣B的第i行（或第i列）與矩陣C的第i行（或第i列）的和，而它們其他的行（或列）都相同，那么三、基本結(jié)論(2)如果A的第i行（或第i列）是矩陣B的第15(3)(4)如果矩陣B是由A交換兩行（或兩列）而得到，那么(5)如果A的某兩行（或兩列）相同，那么(6)如果矩陣B是由A的第i行乘以一個(gè)元素加到A的第j行而得到，那么中的其中表示由A的第i行代替A的第j行而得到的矩陣。(3)(6)如果矩陣B是由A的第i行乘以一個(gè)元素加到162.定理2：設(shè)，那么對(duì)于任何

這里表示A中劃去第i行第j行所得到的階矩陣。3.定理3：對(duì)于任何，存在使得2.定理2：設(shè)，那么對(duì)于任何174.定理4：設(shè)是一個(gè)交換半環(huán)，是上的一個(gè)-函數(shù)，,那么對(duì)于任何當(dāng)且僅當(dāng)交換環(huán)并且對(duì)于任何

是一個(gè)均有

設(shè)是一個(gè)交換半環(huán)，是上的一個(gè)-函數(shù)，

定義的-伴隨矩陣如下4.定理4：設(shè)是一個(gè)交換半環(huán)，是上的185.定理5：對(duì)于任何，我們有（1）（2）6.定理6:對(duì)于任何，存在，使得這里如果是一個(gè)交換環(huán)，那么映射：是上的一個(gè)-函數(shù)。此時(shí)由定理6,我們有

5.定理5：對(duì)于任何19推論1：如果是一個(gè)交換環(huán)，那么對(duì)于任何,均有7.定理7：對(duì)于任何，我們有（1）

其中表示由A的第i列代替A的第j列而得到的矩陣。（2）存在，使得推論1：如果是一個(gè)交換環(huán)，那么對(duì)于任何20由定理7，我們有

推論2：如果是一個(gè)交換環(huán)，那么對(duì)于任何，均有（1）（2）由定理7，我們有21四、兩個(gè)應(yīng)用

1.交換半環(huán)上可逆矩陣的一個(gè)等價(jià)刻畫。設(shè)是一個(gè)半環(huán)，。稱為可逆的，果存在，使得。稱為的逆元，記為

設(shè)，稱為可逆的，如果存在，使得。稱為的逆矩陣，記為。

四、兩個(gè)應(yīng)用1.交換半環(huán)上可逆矩陣的一個(gè)等價(jià)刻畫。設(shè)22

定理8：設(shè)是一個(gè)交換半環(huán)，是上的一個(gè)-函數(shù)滿足對(duì)于任意，均有，那么，對(duì)于任何（1）可逆當(dāng)且僅當(dāng)在中可逆并且對(duì)于任何，均有在中加法可逆。（2）可逆當(dāng)且僅當(dāng)在中可逆并且對(duì)于任何，均有在中加法可逆。如果可逆，那么定理8：設(shè)是一個(gè)交換半環(huán)，是23由定理8，我們有推論3：如果是一個(gè)交換環(huán)，那么對(duì)于任何，可逆當(dāng)且僅當(dāng)在中可逆,特別地,當(dāng)是一個(gè)域(數(shù)域)時(shí),可逆當(dāng)且僅當(dāng)。如果可逆，那么由定理8，我們有242.交換半環(huán)上的Cramer法則

定理9：設(shè)是一個(gè)交換半環(huán)，是上的一個(gè)-函數(shù)滿足對(duì)于任意，均有，，是上的維列向量。如果可逆，那么矩陣方程有唯一解其中，，是由中第列用向量代替所得到的矩陣。2.交換半環(huán)上的Cramer法則定理9：設(shè)是一25由定理9，我們有

推論4：設(shè)是一個(gè)交換環(huán)，，是上的維列向量。如果可逆，那么矩陣方程有唯一解其中，，是由中第列用向量代替所得到的矩陣。由定理9，我們有26

五、意義與價(jià)值1.理論意義：統(tǒng)一了行列式與積和式，方法需要?jiǎng)?chuàng)新。2.應(yīng)用價(jià)值：在許多應(yīng)用學(xué)科領(lǐng)域（例如：并行計(jì)算機(jī)系統(tǒng)、形式語(yǔ)言理論、最優(yōu)化理論、自動(dòng)化理論、離散動(dòng)力系統(tǒng)、流程圖模式分析以及開關(guān)電路分析等）涉及到的代數(shù)系統(tǒng)除了環(huán)（或域）之外，還涉及大量的其他類型的半環(huán)，如布爾代數(shù)，模糊代數(shù)，分配格，坡代數(shù)格，max-plus代數(shù)和min-plus代數(shù)以及非負(fù)實(shí)數(shù)半環(huán)等。五、意義與價(jià)值273.教學(xué)參考：對(duì)于本科生，研究生論文的選題具有一定的參考價(jià)值。六、參考文獻(xiàn)[1]J.P.M.Binet,Memoiresurunsystμemedeformulesanalytiques,etleurapplicationμadesconsiderationsgeometriques,J.Ec.Polyt.9(1812)280-302[2]Z.Q.Cao,K.H.Kim,F.W.Roush,InclineAlgebraandApplications,JohnWiley,NewYork,1984

3.教學(xué)參考：對(duì)于本科生，研究生論文的選題具有一定的參考價(jià)值28[3]A.L.Cauchy,Memoiresurlesfonctionsquinepeuventobtenirquedeuxvaleursegalesetdesignescontrairesparsuitedestraspositionsopereesentrelesvariablesqu'ellesrenferment,J.Ec.Polyt.10(1812)29-11220[4]R.A.Cuninghame-Green,Minimaxalgebra,LectureNotesinEconomicsandMathematicalSystems166,Springer-Verlag,Berlin,1979[5]J.S.Duan,Thetransitiveclosure,convergenceofpowersandadjointofgeneralizedfuzzymatrices.FuzzySetsandSystems145(2004)301-311[3]A.L.Cauchy,Memoiresur29[6]J.S.Golan,SemiringsandTheirApplications,KluwerAcademicPublishers,1999[7]S.C.Han,H.X.Li,InvertibleinclinematricesandCramer'sruleoverinclines,LinearAlgebraanditsApplications389(2004)121-138[8]Y.Huang,Y.J.Tan,Aproblemoninclinematrices,J.ofFuzhouUniversity37(2009)12-18(inChinese)[9]J.B.Kim,A.Baartmans,N.S.Sahadin,Determinanttheoryforfuzzymatrices,FuzzySetsandSystems29(1989)349-356.[6]J.S.Golan,Semiringsand30[10]B.R.Mcdonald,LinearAlgebraoverCommutativeRings,MarcelDekker,INC.NewYork,1984.[11]H.Minc,Permanents,Addison-WesleyPublishingCompany,Massachusetts,U.S.A.1978.[12]P.L.Poplin,R.E.Hartwig,Determinantalidentitiesovercommutativesemirings,LinearAlgebraanditsApplications387(2004)99-132[13]M.Z.Ragab,E.G.Emam,Thedeterminantandadjointofasquarefuzzymatrix,FuzzySetsandSystems61(1994)297-307[10]B.R.Mcdonald,LinearAl31[14]Y.J.Tan,Oninvertiblematrices