第2章 正弦交流電路

第二章正弦交流電路第一節(jié)

正弦量第二節(jié)

交流電的有效值第三節(jié)正弦量的相量表示法第四節(jié)電阻元件的交流電路第五節(jié)電感元件的交流電路第六節(jié)電容元件的交流電路返回主目錄第七節(jié)相量形式的基爾霍夫定律第八節(jié)

RLC串聯(lián)電路的相量分析第一節(jié)正弦量在正弦交流電路中，由于電流或電壓的大小和方向都隨時(shí)間按正弦規(guī)律發(fā)生變化，因此，在所標(biāo)參考方向下的值也在正負(fù)交替。圖2-1a所示電路，交流電路的參考方向已經(jīng)標(biāo)出，其電流波形如圖2-1b所示。

圖2-1一、正弦量的三要素

1.振幅值（最大值）正弦量在任一時(shí)刻的值稱為瞬時(shí)值，用小寫字母表示，如、

,分別表示電流及電壓的瞬時(shí)值。正弦量瞬時(shí)值中的最大值稱為振幅值也叫最大值或峰值，用大寫字母加下標(biāo)m表示，如Im、Um,分別表示電流、電壓的振幅值。圖2-2所示波形分別表示兩個(gè)振幅不同的正弦交流電壓。圖2-22.角頻率

角頻率是描述正弦量變化快慢的物理量。正弦量在單位時(shí)間內(nèi)所經(jīng)歷的電角度，稱為角頻率，用字母ω表示，即

式中，ω的單位為弧度/秒（）

正弦量完成一次周期性變化所需要的時(shí)間，稱為正弦量的周期，用T表示，其單位是秒（S）。正弦量在1秒鐘內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)，稱為正弦量的頻率，用f

表示。其單位是赫茲，（HZ）。（2-1）根據(jù)定義，周期和頻率的關(guān)系應(yīng)互為倒數(shù)，即3.初相在正弦量的解析式中，角度（）稱為正弦量的相位角，簡稱相位，它是一個(gè)隨時(shí)間變化的量，不僅確定正弦量的瞬時(shí)值的大小和方向，而且還能描述正弦量變化的趨勢。

初相是指t=0時(shí)的相位,用ψ符號(hào)表示。正弦量的初相確定了正弦量在計(jì)時(shí)起點(diǎn)的瞬時(shí)值。計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同，正弦量的初相不同，因此初相與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)。我們規(guī)定初相|ψ|不超過π弧度，即-π≤ψ≤π。圖2-3所示是不同初相時(shí)的幾種正弦電流的波形圖。圖2-3在選定參考方向下，已知正弦量的解析式為。試求正弦量的振幅、頻率、周期、角頻率和初相。例2-1解已知一正弦電壓，頻率為工頻，試求時(shí)的瞬時(shí)值。當(dāng)時(shí)，角頻率當(dāng)時(shí)，

由于例2-2解二、相位差兩個(gè)同頻率正弦量的相位之差，稱為相位差，用

表示。例如則兩個(gè)正弦量的相位差為：上式表明，同頻率正弦量的相位差等于它們的初相之差，不隨時(shí)間改變，是個(gè)常量，與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇無關(guān)。如圖2-4所示，相位差就是相鄰兩個(gè)零點(diǎn)（或正峰值）之間所間隔的電角度。規(guī)定其絕對值不超過圖2-4當(dāng)即兩個(gè)同頻率正弦量的相位差為，稱這兩個(gè)正弦量反相，波形如圖2-5b所示。當(dāng)即兩個(gè)同頻率正弦量的相位差為零，這兩個(gè)正弦量為同相，波形如圖2-5a所示。當(dāng)圖2-5兩個(gè)同頻率正弦交流電流的波形如圖2-6所示，試寫出它們的解析式，并計(jì)算二者之間的相位差

解析式

相位差比超前，或滯后。圖2-6例2-3解第二節(jié)交流電的有效值

把一個(gè)交流電i與直流電I分別通過兩個(gè)相同的電阻，如果在相同的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的熱量相等，則這個(gè)直流電I的數(shù)值就叫做交流電i的有效值。直流電流通過電阻在交流一個(gè)周期的時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為

交流電流通過電阻，在一個(gè)周期內(nèi)所產(chǎn)生的熱量為

熱量相等，所以

一、有效值的定義若交流電流為正弦交流則

這表明振幅為1A的正弦電流，在能量轉(zhuǎn)換方面與0.707A的直流電流的實(shí)際效果相同。同理，正弦電壓的有效值為人們常說的交流電壓220V，380V指的就是有效值。二、正弦量的有效值有一電容器，耐壓為250V，問能否接在民用電電壓為220V的電源上。

因?yàn)槊裼秒娛钦医涣麟姡妷旱淖畲笾颠@個(gè)電壓超過了電容器的耐壓，可能擊穿電容器，所以不能接在220V的電源上。例2-4解

一、復(fù)數(shù)

1.復(fù)數(shù)的表示電工中常用j代表虛單位，即(1)代數(shù)式

(2)極坐標(biāo)式

a

——實(shí)部，b——虛部。r——模，θ——幅角。由代數(shù)式可知，復(fù)數(shù)可在復(fù)平面上用一個(gè)點(diǎn)來表示，還可用該點(diǎn)對應(yīng)的矢量來表示。圖2-8復(fù)數(shù)的表示第三節(jié)正弦量的相量表示法

(3)三角函數(shù)式

復(fù)數(shù)的代數(shù)式、三角函數(shù)式和極坐標(biāo)式可以按以下公式相互轉(zhuǎn)換。換算公式寫出復(fù)數(shù)5－j8的極坐標(biāo)式寫出復(fù)數(shù)18∠108.6o的極坐標(biāo)式，，則解解例2-5例2-6則

(2)乘除運(yùn)算例如則

2.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

(1)加減運(yùn)算例如已知復(fù)數(shù)A=6∠68.5o

，B=11∠-130o

，求A+B和A-B。解例2-7已知復(fù)數(shù)，求AB和A/B。解例2-8圖2-9復(fù)數(shù)加減運(yùn)算矢量圖a)復(fù)數(shù)加運(yùn)算矢量圖;b)復(fù)數(shù)減運(yùn)算矢量圖

復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的作圖法

旋轉(zhuǎn)因子由于復(fù)數(shù)對應(yīng)的矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角。故復(fù)數(shù)稱為旋轉(zhuǎn)因子。乘以

因此復(fù)數(shù)后，反映到復(fù)平面上，就是將兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件：實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等，或模與模相等、幅角與幅角相等。

特殊復(fù)數(shù)

一個(gè)正弦量可以表示為根據(jù)此正弦量的三要素，可以作一個(gè)復(fù)數(shù)讓它的模為，幅角為，即

上式j(luò)=,為虛單位，這一復(fù)數(shù)的虛部為一正弦時(shí)間函數(shù)，正好是已知的正弦量，所以一個(gè)正弦量給定后，總可以作出一個(gè)復(fù)數(shù)使其虛部等于這個(gè)正弦量。因此我們就可以用一個(gè)復(fù)數(shù)表示一個(gè)正弦量，其意義在于把正弦量之間的三角函數(shù)運(yùn)算變成了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，使正弦交流電路的計(jì)算問題簡化。二、正弦量的相量表示法由于正弦交流電路中的電壓，電流都是同頻率的正弦量，故角頻率這一共同擁有的要素在分析計(jì)算過程中可以略去，只在結(jié)果中補(bǔ)上即可。這樣在分析計(jì)算過程中，只需考慮最大值和初相兩個(gè)要素，故表示正弦量的復(fù)數(shù)可簡化成上式為正弦量的極坐標(biāo)式，我們就把這一復(fù)數(shù)稱為相量，以“”表示，并習(xí)慣上把最大值換成有效值，即（2-12）

在表示相量的大寫字母上打點(diǎn)“”是為了與一般的復(fù)數(shù)相區(qū)別，這就是正弦量的相量表示法。需要強(qiáng)調(diào)的是，相量只表示正弦量，并不等于正弦量；只有同頻率的正弦量其相量才能相互運(yùn)算，才能畫在同一個(gè)復(fù)平面上。畫在同一個(gè)復(fù)平面上表示相量的圖稱為相量圖。

對應(yīng)關(guān)系不相等??！相量與正弦量的關(guān)系已知正弦電壓、電流為，寫出和對應(yīng)的相量，并畫出相量圖。的相量為

的相量為相量圖如圖2-10所示。圖2-10例2-9解

寫出下列相量對應(yīng)的正弦量。

（1）

（2）

（1）（2）解例2-10已知

試用相量計(jì)算，并畫相量圖。

正弦量和對應(yīng)的相量分別為它們的相量和為對應(yīng)的解析式為相量圖如圖2-11所示。

例2-11解圖2-11如圖2-12為一個(gè)電阻元件的交流電路，在關(guān)聯(lián)參考方向下，根據(jù)歐姆定律，電壓和電流的關(guān)系為若則得或兩正弦量對應(yīng)的相量為第四節(jié)電阻元件的交流電路圖2-12一、電阻元件上電壓和電流的相量關(guān)系兩相量的關(guān)系為即此式就是電阻元件上電壓與電流的相量關(guān)系式。（2-13）

由復(fù)數(shù)知識(shí)可知，式（2-13）包含著電壓與電流的有效值關(guān)系和相位關(guān)系，即

通過以上分析可知，在電阻元件的交流電路中1）電壓與電流是兩個(gè)同頻率的正弦量。2）電壓與電流的有效值關(guān)系為。3）在關(guān)聯(lián)參考方向下，電阻上的電壓與電流同相位圖2-13a、b所示分別是電阻元件上電壓與電流的波形圖和相量圖。圖2-13二、電阻元件上的功率

在交流電路中，電壓與電流瞬時(shí)值的乘積叫做瞬時(shí)功率，用小寫的字母表示，在關(guān)聯(lián)參考方向下

從式中可以看出≥0，表明電阻元件總是消耗能量，是一個(gè)耗能元件。電阻元件上瞬時(shí)功率隨時(shí)間變化的波形如圖2-14所示。

正弦交流電路中電阻元件的瞬時(shí)功率圖2-14通常所說的功率并不是瞬時(shí)功率，而是瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，稱為平均功率，簡稱功率，用大寫字母表示，則正弦交流電路中電阻元件的平均功率為即（2-15）

上式與直流電路功率的計(jì)算公式在形式上完全一樣，但這里的U和I是有效值，是平均功率。例2-8一電阻（2）電阻消耗的功率（3）作相量圖

一電阻，兩端電壓

求:（1）

通過電阻的電流

和所以（1）電壓相量，則

（2）或（3）相量圖如圖2-15所示例2-12解圖2-15額定電壓為100V，功率分別為100W和40W的電烙鐵，其電阻各是多少歐姆？

100W電烙鐵的電阻40W電烙鐵的電阻可見，電壓一定時(shí)，功率越大電阻越小，功率越小電阻越大。解例2-13第五節(jié)電感元件的交流電路設(shè)電流,由上式得式中，

兩正弦量對應(yīng)的相量分別為

圖2-16所示電路是一個(gè)純電感的交流電路，選擇電壓與電流為關(guān)聯(lián)參考方向，則電壓與電流的關(guān)系為圖2-16一、電壓與電流的相量關(guān)系兩相量的關(guān)系：即

（2-16）

上式就是電感元件上電壓與電流的相量關(guān)系式。

由復(fù)數(shù)知識(shí)可知，它包含著電壓與電流的有效值關(guān)系和相位關(guān)系，即通過以上分析可知，在電感元件的交流電路中：1）電壓與電流是兩個(gè)同頻率的正弦量。2）電壓與電流的有效值關(guān)系為。3）在關(guān)聯(lián)參考方向下，電壓的相位上超前電流

圖2-17a、b分別為電感元件上電壓、電流的波形圖和相量圖圖2-17

把有效值關(guān)系式與歐姆定律相比較，可以看出，具有電阻的單位歐姆，也同樣具有阻礙電流的物理特性，故稱為感抗。

（2-17）

當(dāng)電感兩端的電壓及電感一定時(shí)，通過的電流及感抗隨頻率變化的關(guān)系曲線如圖2-18所示。

圖2-18二、電感元件的功率

在電壓與電流參考方向一致時(shí)，電感元件的瞬時(shí)功率為

上式說明，電感元件的瞬時(shí)功率也是隨時(shí)間變化的正弦函數(shù)，其頻率為電源頻率的兩倍，振幅為,波形圖如圖2-19所示

圖2-19電感元件的平均功率為

上式表明：電感是儲(chǔ)能元件,它在吸收和釋放能量的過程中并不消耗能量。

為了描述電感于外電路之間能量交換的規(guī)模,引入瞬時(shí)功率的最大值,并稱之為無功功率,用表示,即

（2-18）

也具有功率的單位,但為了和有功功率區(qū)別,把無功功率的單位定義為乏（）應(yīng)該注意:

無功功率反映了電感與外電路之間能量交換的規(guī)模,“無功”不能理解為“無用”,這里“無功”二字的實(shí)際含義是交換而不消耗.以后學(xué)習(xí)變壓器,電動(dòng)機(jī)的工作原理時(shí)就會(huì)知道,沒有無功功率,它們無法工作。

在電壓為220V，頻率為50Hz的電源上，接入電感的線圈（電阻不計(jì)），試求：1）線圈的感抗。2）線圈中的電流。3）線圈的無功功率。4）若線圈接在的信號(hào)源上，感抗為多少？

(1)

(2)

(3)

(4)

例2-14

解第六節(jié)電容元件的交流電路

圖2-20所示為一個(gè)純電容的交流電路，選擇電壓與電流為關(guān)聯(lián)參考方向，設(shè)電容元件兩端電壓為正弦電壓則電路中的電流，根據(jù)公式

得式中，即一、電壓與電流的相量關(guān)系圖2-20上述兩正弦量對應(yīng)的相量分別為上式就是電容元件上電壓與電流的相量關(guān)系式。它們的關(guān)系為即（2-19）

由復(fù)數(shù)知識(shí)可知，它包含著電壓與電流的有效值關(guān)系和相位關(guān)系，即通過以上分析可以得出，在電容元件的交流電路中1）電壓與電流是兩個(gè)同頻率的正弦量。2）電壓與電流的有效值關(guān)系為。3）在關(guān)聯(lián)參考方向下，電壓滯后電流

圖2-21a、b所示分別為電容元件兩端電壓與電流的波形圖和相量圖。圖2-21

由有效值關(guān)系式可知，具有同電阻一樣的單位歐姆，也具有阻礙電流通過的物理特性，故稱為容抗。

（2-20）容抗與電容、頻率成反比。當(dāng)電容一定時(shí)，頻率越高，容抗越小。因此，電容對高頻電流的阻礙作用小，對低頻電流的阻礙作用大，而對直流，由于頻率，故容抗為無窮大，相當(dāng)于開路，即電容元件有隔直作用。二、電容元件的功率

在關(guān)聯(lián)參考方向下，電容元件的瞬時(shí)功率為

由上式可見，電容元件的瞬時(shí)功率也是隨時(shí)間變化的正弦函數(shù)，其頻率為電源頻率的2倍，圖2-22所示是電容元件瞬時(shí)功率的變化曲線。電容元件在一周期內(nèi)的平均功率

平均功率為零，說明電容元件不消耗能量，只與電源進(jìn)行能量的相互轉(zhuǎn)換。這種能量轉(zhuǎn)換的大小用瞬時(shí)功率的最大值來衡量，稱為無功功率，用表示，即

式中，的單位為乏

圖2-22圖2-23

有一電容，接在的電源上。試求：(1)電容的容抗。(2)電流的有效值。(3)電流的瞬時(shí)值。(4)電路的有功功率及無功功率。(5)電壓與電流的相量圖。

(1)容抗

（2）電流的有效值

（3）電流的瞬時(shí)值

電流超前電壓，即則（4）電路的有功功率

無功功率

（5）相量圖如圖2-23所示。例2-16

解第七節(jié)相量形式的基爾霍夫定律

基爾霍夫定律是電路的基本定律，不僅適用于直流電路，而且適用于交流電路。在正弦交流電路中，所有電壓、電流都是同頻率的正弦量，它們的瞬時(shí)值和對應(yīng)的相量都遵守基爾霍夫定律。

1．基爾霍夫電流定律

瞬時(shí)值形式

（2-22）相量形式（2-23）2．基爾霍夫電壓定律瞬時(shí)值形式（2-24）相量形式

（2-25）

圖2-24所示電路中，已知電流表A1、A2的讀數(shù)均是5A,試求電路中電流表A的讀數(shù)。

設(shè)兩端電壓

a圖中電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，電阻上的電流與電壓同相，故電感上的電流滯后電壓，故根據(jù)相量形式的KCL

得即電流表A的讀數(shù)為7.07A。b圖中電流與電壓為關(guān)聯(lián)參考方向，電容上的電流超前電壓，故

電感上的電流滯后電壓，故根據(jù)相量形式的KCL得即電流表A的讀數(shù)為0。例2-18

解圖2-24圖2-25

圖2-25所示電路中，已知電壓表V1、V2的讀數(shù)均為100V，試求電路中電壓表V的讀數(shù)。

設(shè)圖2-25a：根據(jù)相量形式的KVL電壓表的讀數(shù)為141.4V。

圖2-25b：根據(jù)相量形式的KVL電壓表的讀數(shù)為0。例2-19

解一．電壓與電流的相量關(guān)系

在圖2-26所示電路中，設(shè)電流，對應(yīng)的相量為

則電阻上的電壓電感上的電壓

電容上的電壓根據(jù)相量形式的KVL即（2-26）式中，稱為電抗（Ω），它反映了電感和電容共同對電流的阻礙作用。X可正、可負(fù)；稱為復(fù)阻抗（Ω）。第八節(jié)、RLC串聯(lián)電路的相量分析圖2-26圖2-27圖2-28復(fù)阻抗是關(guān)聯(lián)參考方向下，電壓相量與電流相量之比。但是復(fù)阻抗不是正弦量，因此，只用大寫字母Z表示，而不加黑點(diǎn)。Z的實(shí)部R為電路的電阻，虛部X為電路的電抗。復(fù)阻抗也可以表示成極坐標(biāo)形式。其中（2-27）|Z|是復(fù)阻抗的模，稱為阻抗，它反映了串聯(lián)電路對正弦電流的阻礙作用，阻抗的大小只與元件的參數(shù)和電源頻率有關(guān)，而與電壓、電流無關(guān)。是復(fù)阻抗的幅角，稱為阻抗角。它也是關(guān)聯(lián)參考方向下電路的端電壓與電流的相位差。即式中，二．電路的性質(zhì)

（1）感性電路（2）容性電路當(dāng)XL＜XC時(shí)，UL＜UC，如前所述作相量圖如圖2-27b所示。由圖可見，電流超前電壓，，電路呈容性，稱為容性電路。（3）阻性電路（諧振電路）當(dāng)XL=XC

，UL=UC，相量圖如圖2-27c所示，電壓與電流同相，。電路呈電阻性。我們把電路的這種特殊狀態(tài)，稱為諧振。當(dāng)XL＞XC時(shí)，UL＞UC。以電流為參考相量，分別畫出與電流同相的，超前電流的，滯后于電流的，然后合并和為，再合并和即得到總電壓。相量圖如圖2-27a所示。從相量圖中可以看出，電壓超前電流的角度為，＞0，電路呈感性，稱為感性電路。由圖2-27可以看出，電感電壓和電容電壓的相量和與電阻電壓以及總電壓構(gòu)成一個(gè)直角三角形，稱為電壓三角形。由電壓三角形可以看出，總電壓的有效值與各元件電壓的有效值的關(guān)系是相量和而不是代數(shù)和。這正體現(xiàn)了正弦交流電路的特點(diǎn)。把電壓三角形三條邊的電壓有效值同時(shí)除以電流的有效值，就得到一個(gè)和電壓三角形相似的三角形，它的三條邊分別是電阻R、電抗X和阻抗|Z|，所以稱它為阻抗三角形，如圖2-28所示。由于阻抗三角形三條邊代表的不是正弦量，所畫的三條邊是線段而不是相量。關(guān)于阻抗的一些公式都可以由阻抗三角形得出，它可以幫助我們記憶公式。在R-L串聯(lián)電路中，已知，外加電壓，求電路的電流、電阻的電壓和電感的電壓，并畫相量圖。電路的復(fù)阻抗相量圖如圖2-29所示。例2-20

解圖2-29圖2-30在電子技術(shù)中，常利用RC串聯(lián)作移相電路，如圖2-30a所示。已知輸入電壓頻率。需輸出電壓在相位上滯后輸入電壓為，求阻。即時(shí)，輸出電壓就滯后于輸入電壓。而所以例2-21

解

設(shè)以電流為參考相量，作相量圖，如圖2-30b所示。已知輸出電壓（即）滯后于輸入電壓為，則電壓與電流的相位差。

RL串聯(lián)電路和RC串聯(lián)電路均視可為RLC串聯(lián)電路的特例。在RLC串聯(lián)電路中當(dāng)時(shí)，，即RL串聯(lián)電路。當(dāng)時(shí)，，即RC串聯(lián)電路。由此推廣，R、L、C單一元件也可看成RLC串聯(lián)電路的特例。這表明，RLC串聯(lián)電路中的公式對單一元件也同樣適用。在RLC串聯(lián)電路中，已知，，。電源電壓。求此電路的電流和各元件電壓的相量，并畫出相量圖。電路的復(fù)阻抗電流相量各元件的電壓相量相量如圖2-31所示。例2-22

解圖2-31圖2-32三．功率在RLC串聯(lián)電路中，既有耗能元件，又有儲(chǔ)能元件，所以電路既有有功功率又有無功功率。電路中只有電阻元件消耗能量，所以電路的有功功率就是電阻上消耗的功率由電壓三角形可知所有上式為RLC串聯(lián)電路的有功功率公式，它也適用于其它形式的正弦交流電路，具有普遍意義。

電路中的儲(chǔ)