理科數(shù)學(xué)全國通用版一輪復(fù)習(xí)課時(shí)跟蹤檢測(cè)第12章第2節(jié)直接證明與間接證明

第十二章推理與證明、算法、復(fù)數(shù)第二節(jié)直接證明與間接證明A級(jí)·基礎(chǔ)過關(guān)|固根基|1.(2019屆淮南二中模擬)用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A．三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)鈍角B．三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角C．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角D．三個(gè)內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個(gè)鈍角解析：選B由于命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”的否定為“三角形的內(nèi)角至少有兩個(gè)鈍角”，故用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“三個(gè)內(nèi)角中至少有兩個(gè)鈍角”．故選B．2．欲證eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)，只需證()A．(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2<(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)－eq\r(3))2<(eq\r(6)－eq\r(7))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2<(－eq\r(7))2解析：選A欲證eq\r(2)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(7)，只需證eq\r(2)＋eq\r(7)<eq\r(3)＋eq\r(6)，只需證(eq\r(2)＋eq\r(7))2<(eq\r(3)＋eq\r(6))2，故選A．3．(2019屆玉溪模擬)已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,n＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋4)＋…＋\f(1,2n)))時(shí)，若已假設(shè)n＝k(k≥2，且為偶數(shù))時(shí)等式成立，則還需要用歸納假設(shè)再證()A．n＝k＋1時(shí)等式成立B．n＝k＋2時(shí)等式成立C．n＝2k＋2時(shí)等式成立D．n＝2(k＋2)時(shí)等式成立解析：選B由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知，若已假設(shè)n＝k(k≥2，且為偶數(shù))時(shí)等式成立，則還需要用歸納假設(shè)再證n＝k＋2時(shí)等式成立．故選B．4．若用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋…＋n3＝eq\f(n6＋n3,2)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上()A．k3＋1B．(k＋1)3C．eq\f(（k＋1）6＋（k＋1）3,2)D．(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3解析：選D∵當(dāng)n＝k時(shí)，等式左端＝1＋2＋…＋k3，∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左端＝1＋2＋…＋k3＋(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3，增加了(k3＋1)＋(k3＋2)＋(k3＋3)＋…＋(k＋1)3.故選D．5．(2019屆阜新調(diào)研)設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個(gè)數(shù)()A．至少有一個(gè)不大于2 B．都小于2C．至少有一個(gè)不小于2 D．都大于2解析：選C假設(shè)a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6，而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,y)＋y＋eq\f(1,z)＋z＋eq\f(1,x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(1,z)))≥2＋2＋2＝6，與a＋b＋c<6矛盾，∴假設(shè)a，b，c都小于2錯(cuò)誤．∴a，b，cC．6．設(shè)a，b，c>0，證明：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c.證明：∵a，b，c>0，根據(jù)基本不等式，有eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c.三式相加得，eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)．7．已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z＝1，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,z)－1))>8.證明：因?yàn)閤，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z＝1，所以eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)＝eq\f(y＋z,x)>eq\f(2\r(yz),x)， ①eq\f(1,y)－1＝eq\f(1－y,y)＝eq\f(x＋z,y)>eq\f(2\r(xz),y)， ②eq\f(1,z)－1＝eq\f(1－z,z)＝eq\f(x＋y,z)>eq\f(2\r(xy),z)， ③又x，y，z為正數(shù)，由①×②×③，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,z)－1))>8.8．若實(shí)數(shù)x，y，m滿足|x－m|>|y－m|，則稱x比y遠(yuǎn)離m.(1)若x2－1比1遠(yuǎn)離0，求x的取值范圍；(2)對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a，b，證明：a3＋b3比a2b＋ab2遠(yuǎn)離2abeq\r(ab).解：(1)由題意知，|x2－1|>1，即x2－1>1或x2－1<－1，解得x>eq\r(2)或x<－eq\r(2)，所以x∈(－∞，－eq\r(2))∪(eq\r(2)，＋∞)．(2)證明：對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)a，b，有a3＋b3>2ab·eq\r(ab)，a2b＋ab2>2abeq\r(ab).因?yàn)閨a3＋b3－2abeq\r(ab)|－|a2b＋ab2－2abeq\r(ab)|＝(a＋b)(a－b)2>0，所以|a3＋b3－2abeq\r(ab)|>|a2b＋ab2－2abeq\r(ab)|，即a3＋b3比a2b＋ab2遠(yuǎn)離2abeq\r(ab).B級(jí)·素養(yǎng)提升|練能力|a≥b>0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.證明：要證明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，只需證2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，從而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.10．設(shè)實(shí)數(shù)c>0，整數(shù)p>1，證明：當(dāng)x>－1且x≠0時(shí)，(1＋x)p>1＋px.證明：①當(dāng)p＝2時(shí)，(1＋x)2＝1＋2x＋x2>1＋2x，原不等式成立．②假設(shè)當(dāng)p＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)，不等式(1＋x)k>1＋kx成立，則當(dāng)p＝k＋1時(shí)，(1＋x)k＋1＝(1＋x)(1＋x)k>(1＋x)·(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.所以當(dāng)p＝k＋1時(shí)，原不等式也成立．綜合①②可得，當(dāng)x>－1，x≠0時(shí)，對(duì)一切整數(shù)p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝a>2，an＝eq\r(an－1＋2)(n≥2，n∈N*)．(1)求證：對(duì)任意n∈N*，an>2恒成立；(2)判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性，并說明你的理由．解：(1)證明：①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝a>2，結(jié)論成立；②假設(shè)n＝k(k≥1)時(shí)結(jié)論成立，即ak>2，則n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝eq\r(ak＋2)>eq\r(2＋2)＝2，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立．故由①②及數(shù)學(xué)歸納法原理，