湖南省湘陰縣知源高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題含答案

湘陰縣知源高級(jí)中學(xué)2023屆高三第二次月考數(shù)學(xué)科試卷滿分：150分考試時(shí)量：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合A={x|x>?1}，B={x|x<2}，則A∪(?RB)=A.{x|x>?1} B.{x|x≥?1}

C.{x|x<?1} D.{x|?1<x?2}2．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，“a>b”是“ac2>bc2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．三個(gè)數(shù)50.6，0.65，log0A.0.65<log0.654．若實(shí)數(shù)x,y滿足：x,y>0,3xy?x?y?1=0，則xy的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．45．函數(shù)fx=2xx2A. B.

C. D.

6．設(shè)函數(shù)f(x)=?x2A．?∞,32 B．2,527．當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=alnx+bxA．2ln3+2 B．?163 C．8．已知函數(shù)fx=log3xA．0,1 B．0,1 C．1,+∞ D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9．下列求導(dǎo)錯(cuò)誤的是(

)A.(e3x)′=3ex B.x210．已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為(?∞,?2)∪(3,+∞)A.a>0

B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<?6}

C.a+b+c>0

D.不等式cx211．牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是θ0（單位：oC），環(huán)境溫度是θ1（單位：oC），其中θ0>θ1則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度θ將滿足θ=ft=A．若f3=B．若k=110，則紅茶下降到C．若f′3=?5D．紅茶溫度從80°C下降到60°C所需的時(shí)間比從12．函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，且f(x)是奇函數(shù)，設(shè)g(x)=fA．函數(shù)g(x?2)的圖象關(guān)于直線x=?2對(duì)稱B．若g(x)的導(dǎo)函數(shù)為g′(x)，定義域?yàn)镽C．?(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4,4)中心對(duì)稱D．設(shè)an為等差數(shù)列，若a1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若函數(shù)fx=2m?114．求值：2log2115．已知點(diǎn)P為曲線y=lnx上的動(dòng)點(diǎn)，則P到直線16．設(shè)定義域?yàn)?0,+∞)的單調(diào)函數(shù)f(x)，對(duì)任意的x∈(0,+∞)，都有ff(x)?log3x=4四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知函數(shù)f(x)=sin(1)求f(π(2)在△ABC中，若f(A2)=118．（本小題滿分12分）已知在數(shù)列an中，a1=3(1)證明：數(shù)列an(2)求an的前n項(xiàng)和S（本小題滿分12分）如圖，已知長方形ABCD中，AB=22，AD=2，M為DC的中點(diǎn)，將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM

(1)求證：AD⊥BM

(2)若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，二面角E?AM?D的余弦值為5520．（本小題滿分12分）某學(xué)習(xí)小組在暑期社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中，通過對(duì)某商店一種商品銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）的日銷售價(jià)格Px（元）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足Px=1+kx（kx/天10202530Qx110120125120已知第10天該商品的日銷售收入為121元．(1)求k的值；(2)給出以下四種函數(shù)模型：①Q(mào)x=ax+b，②Qx=ax?25請(qǐng)你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來描述該商品的日銷售量Qx與時(shí)間x(3)求該商品的日銷售收入fx21．（本小題滿分12分）已知函數(shù)fx=log(1)求a的值；(2)當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，fx(3)若關(guān)于x的方程fx=log1422．（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e(1)設(shè)x=1是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，求m的值并討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)m?2時(shí)，證明：f(x)>ln

湘陰縣知源高級(jí)中學(xué)2023屆高三第二次月考數(shù)學(xué)科試卷（答案）一、單選題1．【答案】A【詳解】已知集合A={x|x>?1}，B={x|x<2}，則?RB={x|x≥2}，因此A∪(?2．【答案】B【詳解】當(dāng)a>b時(shí)，不能推出ac2>bc2，當(dāng)ac2>bc2，可推出3．【答案】C【詳解】∵50.6>1，1>0.654．【答案】A【詳解】因?yàn)?xy?x?y?1=0，所以3xy?1=x+y，由基本不等式可得3xy?1=x+y≥2xy故3xy?2xy?1≥0，解得xy≥1或當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)等號(hào)成立，故xy的最小值為1，故選：A.5．【答案】A【詳解】函數(shù)fx=2xx2?1，定義域?yàn)閧x|x≠±1}，

由f(?x)=?f(x)，故f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B，D；

當(dāng)0<x<1時(shí)，6．【答案】D【詳解】函數(shù)fx由圖可知：函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增，因?yàn)閒所以f2x?1<2等價(jià)于f2x?1<f(4)，故【答案】C【詳解】因?yàn)閒x=aln又當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)fx所以f1=2，f′1=0，即b+3=2所以fx=2ln所以fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,+所以f38．【答案】A【詳解】畫出函數(shù)的大致圖象，如下圖所示：∵函數(shù)gx=fx2?m+2fx+2m恰好有5個(gè)不同的零點(diǎn)，∴方程fx2?m+2fx+2m=0有5個(gè)根，設(shè)t=f(x)，則方程化為t二、多選題9．【答案】AB【詳解】e3x′=3e3x，故A錯(cuò)誤；(x22x+1)′=2x2x+1?2x22x+1210．【答案】ABD【詳解】由題意可知，?2和3是方程ax2+bx+c=0的兩根，且a>0，

∴?2+3=?ba，(?2)×3=ca，∴b=?a，c=?6a，a>0，即選項(xiàng)A正確；

不等式bx+c>0等價(jià)于a(x+6)<0，∴x<?6，即選項(xiàng)B正確；

∵不等式ax2+bx+c>0的解集為(?∞,?2)∪(3,+∞)，

∴當(dāng)x=1時(shí)，有a+b+c<0，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

不等式cx2?bx+a<0等價(jià)于11．【答案】ABC【詳解】由題知θ=ftA：若f3=50°C，即50=20+60B：若k=110，則20+60?e兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得?110t=所以紅茶下降到50°C：f′3表示t=3處的函數(shù)值的變化情況，若f′3=?5<0D:ft為指數(shù)型函數(shù)，如圖，可得紅茶溫度從80°C下降到60°C所需的時(shí)間t2?故選：ABC．12．【答案】BCD【詳解】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及fx的對(duì)稱性，fx在x和?x處的切線也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其斜率總相等，故gx=g?x由gx的對(duì)稱性，gx在x和?x處的切線關(guān)于縱軸對(duì)稱，其斜率互為相反數(shù)，故g′?x=fx?4+x?4+4，由fx為奇函數(shù)知ux=f由C選項(xiàng)知，當(dāng)x1+x由等差數(shù)列性質(zhì)a1故選：BCD三、填空題13．【答案】1【詳解】因?yàn)閒x=2m?1xm故答案為：114．【答案】?3【詳解】2log214?15．【答案】5【詳解】解：設(shè)y=x+mm≠4與y=lnx相切與點(diǎn)則y′=1x0，令y代入y=x+mm≠4，得m=?1，即直線方程為y=x?1所以與直線y=x+4間的距離為d=4+1即為P到直線y=x+4的最小距離，故答案為：516．【答案】2【詳解】對(duì)任意的x∈(0,+∞)，都有ff(x)?log3x=4，且f(x)是(0,+∞)即t+log3t=4，而函數(shù)?(t)=t+log3t在從而fx=log3x+3依題意，x0是函數(shù)g(x)=log3x?2且g(2)=log32?1ln又x0∈(a,a+1),a∈N故答案為：2四、解答題17．【答案】(1)∵f(x)=sinπ?4+xsinπ?4?x+3sin?xcos?x

=sinπ4+xsinπ2?π4+x+3sinxcosx=sinπ4+xcosπ4+x+18．【答案】（1）因?yàn)閍n+a又a13?34=1（2）由（1）可知an3nS=1【答案】(Ⅰ)證明：∵長方形ABCD中，AB=22，AD=2，M為DC的中點(diǎn)，

∴AM=BM=2，可得AM2+BM2=AB2，

∴BM⊥AM．

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM，

∴BM⊥平面ADM，∵AD?平面ADM，∴AD⊥BM.

(Ⅱ)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則A(1,0,0)，B(?1,2,0)，D(0,0,1)，ME=MD+λDB=(1?λ,2λ,1?λ)，AM=(?2,0,0)，

設(shè)平面AME的一個(gè)法向量為m=(x,y,z)，則m·AM=?2x=0m·ME=1?λx+2λy+1?λz=0,

取y=1，得20．【答案】（1）由題意得P10?Q10（2）由題表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，該商品的日銷售量有增有減，并不單調(diào)，而①，③，④中的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故只能選②，即Qx由題表可得Q10=110，即15a+b=110,5a+b=120,解得a=?1,b=125,故（3）由（2）知Q∴f當(dāng)1≤x<25時(shí)，y=x+100x在區(qū)間1,10上單調(diào)遞減，在區(qū)間∴當(dāng)x=10時(shí)，fx取得最小值，且f當(dāng)25≤x≤30時(shí)，y=150∴當(dāng)x=30時(shí)，fx取得最小值，且f綜上所述，當(dāng)x=10時(shí)，fx取得最小值，且f故該商品的日銷售收入fx21．【答案】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)fx所以fx+f?x所以log141?ax即1?a2x2=1?解得a=±1又a=1時(shí)，fx=log（2）因?yàn)閤∈1,+∞時(shí)，所以log1所以log14x+1<m在所以當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，log1所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是?1,+∞（3）因?yàn)閒x=log141+xx?1=log141+2所以f2≤g解得?1≤k≤1，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是?1,1．22．【答案】（1）∵f(x)=e∴x>0，f′(x)