2023屆高考數(shù)學二輪復習導數(shù)專講第08講整體代換研究函數(shù)隱零點含解析

Page1第8講整體代換研究函數(shù)隱零點知識與方法導數(shù)中隱零點問題是近年來高考中的常見題型，很多函數(shù)求導后出現(xiàn)超越方程，無法求解，或者方程中含有參數(shù)，這給解題帶來困難，需要不同的思路和方法加以解決．隱零點問題的處理方法通常包括以下幾種：直接觀察、虛設零點結合零點代換、分類討論、拆分或構造函數(shù)、巧妙放縮、參變轉換等等．典型例題【例1】已知恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【分析】此題為不等式恒成立問題，只需要分離參數(shù)，轉化為求解函數(shù)的最小值即可．【解析】由題意得恒成立，令，則，可發(fā)現(xiàn)是個超越方程，觀察得當時，．當時，；當時，，所以，所以．【點睛】不含參數(shù)的超越方程的根，往往通過觀察即可獲得，并進一步獲取函數(shù)的單調性及最值．【例2】已知函數(shù)．（1）設是的極值點，求實數(shù)的值，并討論的單調性；（2）當時，證明：．【分析】（1）函數(shù)的極值與單調性問題，（2）因為導函數(shù)求解很不方便，故采用隱零點（虛設零點）的方法求解．【解析】（1），由得（經檢驗，符合），所以，，所以．因為在上單調遞增，且，所以當時，；當時，．故在上單調遞減，在上單調遞增．（2）因為，，所以為增函數(shù)，而，當時，，故在上有唯一的根，當時，，當時，，所以當時，有最小值，因為，所以，當時取等號，故．【點睛】本題是一個典型的函數(shù)最值問題的求解，通過二階導數(shù)分析一階導數(shù)的符號，進而獲得原函數(shù)的單調性和最值，從而獲得不等式的證明．亦可用切線不等式進行放縮獲得最值：且取等條件不成立．【例3】已知函數(shù)，當時，，求整數(shù)的最大值．【分析】分離參數(shù)，最大整數(shù)問題往往可以通過零點存在定理估算所在范圍，再加以嚴格的證明，從虛設零點入手．【解析】當時，，令，則．令，則，所以在上遞增．又，，所以，，，且當時，，當時，，所以，所以整數(shù)的最大值為2．【點睛】虛設零點，注意指數(shù)代換以及零點存在定理的應用．此題也可直接放縮，詳細如下：由知，只需確定，當時，，成立；當時，，則，所以整數(shù)的最大值為2．【例4】設函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)在上的最大值．【分析】利用求導求解函數(shù)的單調區(qū)間，通過二次求導研究一階導數(shù)，回歸到原函數(shù)的最值．【解析】（1）當時，，，由解得，，所以的單調增區(qū)間為和，單調減區(qū)間為．（2）因為，所以．由解得，，易證，當且僅當時取等號．因為，所以，，即，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以當時，．令，則．令，則，所以在上單調遞減．因為，，所以存在，，，，且在上單調遞減，在上單調遞增，所以，．注：，若令，，則無需隱零點，具體如下：，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以．又，，所以，所以在上單調遞減，所以，所以，即．【點睛】利用二階導數(shù)研究原函數(shù)的規(guī)律時，必須弄明白目標和方向，原則是二階導數(shù)的符號反映一階導數(shù)的單調性，進而得出一階導數(shù)的符號規(guī)律，再獲得原函數(shù)的單調性和最值，當零點不能直接看出或解出時，虛設零點是一種常規(guī)操作．【例5】已知函數(shù)，其中．（1）若對一切，恒成立，求的取值集合；（2）在函數(shù)的圖象上取兩點，，記直線的斜率為，問：是否存在，使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．【分析】（1）討論求解函數(shù)最值問題，（2）構造，利用函數(shù)單調性，結合零點存在定理，此題的難點是取點的過程．【解析】（1）方法一若，則對一切，，這與題設矛盾，又，故．而，令，得．當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故當時，取最小值．于是對一切，恒成立，當且僅當①．令，則，．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．故當時，取最大值．因此，當且僅當即時，①式成立．綜上所述，的取值集合為．方法二（如果發(fā)現(xiàn)，則可以方便求解）因為恒成立，所以為的最小值，所以，解得，故，檢驗當時，成立，所以的取值集合為．（2）由題意知，．令，則，．令，則，．當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．故當，，即．從而，．又，，所以，．因為函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使，，單調遞增，故這樣的是唯一的，且．故當且僅當時，．綜上所述，存在使成立，且的取值范圍為．【點睛】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)單調性、最值、不等式恒成立等問題，以及分類討論、函數(shù)與方程，轉化與化歸等數(shù)學思想方法．第（1）問利用導函數(shù)法求出的最小值，對一切，恒成立轉化為，從而得出的取值集合；第（2）問在假設存在的情況下進行推理，通過構造函數(shù)，研究這個函數(shù)的單調性及最值來進行分析判斷．【例6】已知，函數(shù)．（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）記，（其中為在上的兩個零點，證明：．【分析】（1）不等式恒成立的典型問題，（2）零點的深入探究問題，利用函數(shù)單調性證明自變量的大小關系，以及化多元為一元證明函數(shù)不等式．【解析】（1）當時，，，不符合題意；當時，，符合題意，當時，，易得當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，所以，解得，綜上可得．（2）由（1）知必有，且，所以．因為，所以．又因為，所以，所以，因此，所以要證，只要證，只需證，只要證設，