不等式及其性質(zhì)

TOC\o"13"\h\z\u題型1用不等式(組)表示不等關(guān)系 2題型2實(shí)數(shù)的大小比較 6◆類(lèi)型1作差法 6◆類(lèi)型2作商法 9題型3不等式的性質(zhì)及應(yīng)用 12題型4代數(shù)式的取值范圍問(wèn)題 15◆類(lèi)型1直接法 15◆類(lèi)型2待定系數(shù)法 18題型5證明題 21知識(shí)點(diǎn)一.基本事實(shí)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，其大小關(guān)系有三種可能，即a>b，a＝b，a<b.依據(jù)如果a>b?a－b>0.如果a＝b?a－b＝0.如果a<b?a－b<0.結(jié)論要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小知識(shí)點(diǎn)二.不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對(duì)稱(chēng)性a>b?b<a?2傳遞性a>b，b>c?a>c不可逆3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd同向7可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正題型1用不等式(組)表示不等關(guān)系【例題1】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）（1）限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車(chē)的速度v不超過(guò)40km/h，用不等式如何表示？（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%，如何用不等式組表示上述關(guān)系？【答案】（1）v≤40；（2）f≥2.5【分析】由不等式的表示方法解決.【詳解】（1）由題意，直接用不等式表示可得v≤40.（2）由題意，直接用不等式表示可得f≥2.5%【變式11】1.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）用不等式表示下列關(guān)系.(1)x為實(shí)數(shù)，而且大于1不大于6；(2)x與y的平方和不小于2且不大于10.【答案】(1)1<x≤6(2)2≤【分析】（1）不大于即小于等于，用符號(hào)可表示為≤，即1<x≤6；（2）不小于即大于等于，平方和可表示為x2+y【詳解】（1）x為實(shí)數(shù)且大于1可表示為x>1，不大于6可表示為x≤6，所以用不等式可表示為1<x≤6；（2）x與y的平方和不小于2可表示為x2+y所以用不等式可表示為2≤x【變式11】2.（2023·全國(guó)·高一課堂例題）糖水在日常生活中經(jīng)常見(jiàn)到，可以說(shuō)大部分人都喝過(guò)糖水.下列關(guān)于糖水濃度的問(wèn)題，能提煉出一個(gè)怎樣的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加點(diǎn)糖，糖水變甜了；(2)把原來(lái)的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡.【答案】(1)若b>a>0，m>0，則ab(2)若b1>a1>0，b【分析】（1）設(shè)糖水b克，含糖a克，得到糖水濃度為ab，加入m克糖后的糖水濃度為a+m（2）設(shè)淡糖水b1克，含糖a1克，得到淡糖水濃度為a1b1，設(shè)濃糖水b2克，含糖【詳解】（1）解：設(shè)糖水b克，含糖a克，易知糖水濃度為ab加入m克糖后的糖水濃度為a+mb+m則提煉出的不等式為：若b>a>0，m>0，則ab（2）設(shè)淡糖水b1克，含糖a1克，易知淡糖水濃度為設(shè)濃糖水b2克，含糖a2克，易知濃糖水濃度為則混合后的糖水濃度為a1所提煉出的不等式為：若b1>a1>0，b【變式11】3.（多選）（2023秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）某工藝廠用A、B兩種型號(hào)不銹鋼薄板制作矩形、菱形、圓3種圖形模板，每個(gè)圖形模板需要A、B不銹鋼薄板及該廠2種薄板張數(shù)見(jiàn)下表矩形菱形圓總數(shù)A531055B12613125該廠簽購(gòu)制作矩形、菱形、圓3種模板分別為x，y，z（x,y,z∈NA．5x+3y+10z≥55 B．5x+3y+10z≤55C．12x+6y+13z≤125 D．12x+6y+13z≥125【答案】BC【分析】根據(jù)題意直接列不等式即可求解.【詳解】因?yàn)槊總€(gè)矩形模板需要5張A薄板，每個(gè)菱形模板需要3張A薄板，每個(gè)圓模板需要10張A薄板，且共有55張A薄板，所以5x+3y+10z≤55，因?yàn)槊總€(gè)矩形模板需要12張B薄板，每個(gè)菱形模板需要6張B薄板，每個(gè)圓模板需要13張B薄板，且共有125張B薄板，所以12x+6y+13z≤125.故選：BC.【變式11】4.（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列關(guān)于糖水濃度的問(wèn)題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢？(1)如果向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；(2)把原來(lái)的糖水（淡）與加糖后的糖水（濃）混合到一起，得到的糖水一定比淡的濃、比濃的淡；(3)如果向一杯糖水里加水，糖水變淡了.【答案】(1)a+mb+m>a(2)ab<a+c(3)ab>a【分析】由題意建立不等式，利用作差法比較大小即可得證.【詳解】（1）設(shè)糖水b克，含糖a克，糖水濃度為ab，加入m克糖，即證明不等式a+m不妨用作差比較法，證明如下：a+mb+m-ab=∵a，b，m為正實(shí)數(shù)，且a<b，∴b+m>0,b-a>0，∴mb-abb+m（2）設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為ab；另一份糖水d克，含糖c克，糖水濃度為cd，且ab<c證明：∵a∴ad<bc，即bc-ad>0，ab即abcd即a+c（3）設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為ab，加入m克水，求證：a證明：a題型2實(shí)數(shù)的大小比較【方法總結(jié)】比較不等式的大小時(shí)，一般可采用以下幾個(gè)方法：（1）作差比較法；若a-b≥0，則a≥b；a>0，b>0，且ab≥1時(shí)，◆類(lèi)型1作差法【例題21】（2022秋·湖北十堰·高一?？计谥校┮阎猘=-xA．b<a<c B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<b<a【答案】A【分析】作差法比較出a>b，c>a，從而得到b<a<c.【詳解】a-b=-x2-2x-c-a=5-1--綜上：b<a<c故選：A【變式21】1.（2023·全國(guó)·高一課堂例題）已知M=10+12A．M>N B．M=N C．M<N D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合作差比較法，即可求解.【詳解】因?yàn)镸=10+12則M-N=10又因?yàn)?<10，所以3<10，所以3-10<0，可得3-故選：C【變式21】2.（2021秋·江蘇鹽城·高一校聯(lián)考期中）甲、乙兩人同時(shí)于上周和本周到同一加油站給汽車(chē)加油兩次，甲每次加油20升，乙每次加油200元，若上周與本周油價(jià)不同，則在這兩次加油中，平均價(jià)格較低的是（

）A．甲 B．乙 C．一樣低 D．不能確定【答案】B【分析】根據(jù)題意，分別求得甲乙兩次加油的平均價(jià)格，結(jié)合作差比較，即可得到答案.【詳解】設(shè)兩次加油時(shí)的單價(jià)分別為x元和y元，且x≠y，則甲每次加油20升，兩次加油中，平均價(jià)格為20(x+y)40乙每次加油200元，兩次加油中，平均價(jià)格為400200可得x+y2故選：B.【變式21】3.（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·高三周南中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）設(shè)互不相等的三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+A．b>a>c B．b>c>aC．c>a>b D．c>b>a【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，用a表示b，再利用作差法比較大小作答.【詳解】由b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+于是b-a=1-a+a2=而c-b=(2-a)2≥0，且三個(gè)實(shí)數(shù)a,b,c所以a,b,c的大小關(guān)系是c>b>a.故選：D【變式21】4.（2022秋·天津?yàn)I海新·高一?？计谥校┮阎猘>0,b>0，M=a+bA．M>N B．M<N C．M≥N D．M≤N【答案】A【分析】平方后比較大小即可【詳解】由題意得M2=a+b+2ab，N2=a+b故選：A【變式21】5.（2022秋·四川瀘州·高一?？茧A段練習(xí)）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究數(shù)問(wèn)題）成為了后世數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)．通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明．如圖所示的圖形中，在AB上取一點(diǎn)C，使得AC=a,BC=(1)請(qǐng)用a，b分別表示出CD，DE；(2)寫(xiě)出CD與DE的大小關(guān)系，并證明．【答案】(1)CD=ab(2)CD≥【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求解；（2）利用作差法判斷大小.【詳解】（1）連接BD，則AD⊥BD，∵CD⊥AB∴∠CBD=∴CBCD=CDCA由題意可得：OA同理可證：△CDE～∴DE（2）CD證明如下：∵CD-DE=ab-∴CD◆類(lèi)型2作商法【例題22】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）已知a≥1，試比較M=a+1-a【答案】M<N【分析】方法1：采用作商比較法，結(jié)合分母有理化即可求解；方法2：先計(jì)算1M=a+1【詳解】（方法1）因?yàn)閍≥1，所以M=a+1所以MN因?yàn)閍+1+a>a+（方法2）所以M=a+1又1M所以1M>1【變式22】1.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)a>b>0，比較a2-b【答案】a【分析】先判斷兩個(gè)式子的符號(hào)，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.【詳解】∵a>b>0?a+b>0,a-b>0，∴a∴a∴a【變式22】2.（2023秋·全國(guó)·高一隨堂練習(xí)）若a>b>0，求證：aa【答案】證明見(jiàn)解析【分析】作商法證明不等式.【詳解】證明：∵a>b>0，∴ab>1，且∴作商得：aa∴aa【變式22】3.（2021·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）P=a2+a+1,Q=1a【答案】≥【分析】用作商法比較P,Q的大小關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镻=a2+a+1=a+1由PQ所以P≥Q故答案為：≥【變式22】4.（2021·高一課時(shí)練習(xí)）若a＝1816，b＝1618，則a與b的大小關(guān)系為．【答案】a<b【分析】先求出ab=(【詳解】ab∵982∈(0,1)∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，即a<b.故答案為：a<b【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)大小的比較，考查指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.題型3不等式的性質(zhì)及應(yīng)用【方法總結(jié)】在高考中，不等式性質(zhì)的判斷題常有出現(xiàn)，一般我們判斷此類(lèi)問(wèn)題主要采用兩種方法：其一：按照性質(zhì)進(jìn)行判斷，此種方法要求我們對(duì)不等式性質(zhì)有一個(gè)全面熟練的掌握。其二：采用賦值法/特殊值法進(jìn)行判斷，此種方法對(duì)于證明假命題非常適用；不等式的性質(zhì)（1）如果a>b，那么b<a，該性質(zhì)稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)性；（2）如果a>b,b>c，那么a>c，該性質(zhì)稱(chēng)為傳遞性；（3）如果a>b，則a+c>b+c，反之也成立，該性質(zhì)稱(chēng)為可加性；（4）如果a>b,c>0，則ac>bc；如果a>b,c<0，則ac<bc；（5）如果a>b,c>d，則a+c>b+d；（6）如果a>b>0,c>d>0，則ac>bd；（7）如果a>b>0，n≥2，則an>b【例題3】（2023秋·安徽滁州·高一?？计谀┤绻鸻，A．若a>b，則1a<1bC．若a>b,ab≠0，則1ab2>【答案】C【分析】舉例說(shuō)明ABD是錯(cuò)誤的，用作差法證明C是正確的．【詳解】取a=1，b=-1，則取c=0，則ac由于a>b，所以1ab2取a=2，b=-1，c=0，故選：C．【變式31】1.（2023春·廣東汕尾·高二汕尾市城區(qū)汕尾中學(xué)?？计谥校┮阎猘,b∈R，則下列命題正確的是（

）A．若a>b，則a2≠b2C．若a>b，則a2>b2【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)a=-b時(shí)，如a=2，b=-2時(shí)a2對(duì)于B，當(dāng)a=1,b=2，顯然a2≠b對(duì)于C，當(dāng)a=2,b=-3時(shí)，顯然a>b，但a2對(duì)于D，a>|b|，則a2故選：D．【變式31】2.（2023春·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學(xué)?？计谀┤鬭、b為實(shí)數(shù)，則“0<ab<1”是“a<1b或A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用不等式的基本性質(zhì)、特殊值法結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】若0<ab<1，若b>0，則a>0，此時(shí)有0<a<1若a<0，則b<0，此時(shí)有1a所以，若0<ab<1，則“0<a<1b或即“0<ab<1”?“a<1b或若“a<1b或b>1a”，若a<1b，不妨取若b>1a，不妨取b=2，a=1，則所以，“0<ab<1”?“a<1b或因此，“0<ab<1”是“a<1b或故選：A.【變式31】3.（2022秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）已知命題p:x>1且y>2，命題q:x+y>3，則p是q的（

）A．充要條件 B．充分且不必要條件C．必要且不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)x>1且y>2時(shí)，由不等式的基本性質(zhì)可得x+y>3，即p?q，若x+y>3，取x=0，y=4，命題q成立，但命題p不成立，即p?因此，p是q的充分且不必要條件，故選：B.【變式31】4.（2022秋·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期中）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“=”作為等號(hào)使用．后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若a,A．若ab≠0且a<b，則1a>1bC．若a>b>0，c>d，則ac>bd D．若a<b<0，則a【答案】D【分析】特殊值法判斷A、B、C，由不等式性質(zhì)判斷D.【詳解】A：a=-1,b=1時(shí)，1aB：a=12時(shí)，C：當(dāng)a=2,b=1,c=-1,d=-2時(shí)，ac=bd，錯(cuò)；D：a<b<0，則|a|>|b|>0，故a2故選：D題型4代數(shù)式的取值范圍問(wèn)題【方法總結(jié)】方法一.由不等式的同向可加性和同向同正可乘性直接求解方法二.由待定系數(shù)法確定其系數(shù)，進(jìn)行不等式范圍的求解◆類(lèi)型1直接法【例題41】（2023春·黑龍江大慶·高一大慶中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知1≤a≤4，-1≤b≤2，則3a-b的取值范圍是（

）A．-13≤3a-b≤1 B．-1≤3a-b≤8C．-1≤3a-b≤13 D．1≤3a-b≤13【答案】D【分析】由不等式的性質(zhì)求出-b，3a的范圍，兩式相加即可得出答案．【詳解】因?yàn)?≤a≤4，-1≤b≤2，所以-2≤-b≤1，3≤3a≤12，所以1≤3a-b≤13．故選：D.【變式41】1.（2022秋·廣東東莞·高三校考階段練習(xí)）若1<α<3，-2<β<4，則α-βA．-3,1 B．-3,3C．0,3 D．-3,5【答案】B【分析】由β范圍求得|β|的范圍，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?4<β<2，則0≤β所以-4<-β又因?yàn)?<α<3，所以-3<α-β故選：B.【變式41】2.．（2022秋·遼寧營(yíng)口·高一?？茧A段練習(xí)）（1）已知12<a<60,15<b<36，求a-b與ab（2）已知-π2≤α<β≤【答案】（1）(-24,45)，13,4【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】（1）由于12<a<60,15<b<36，∴-36<-b<-15，∴12-36<a-b<60-15，即-24<a-b<45；又∵1∴∴1∴a-b的取值范圍是(-24,45)，ab的取值范圍是1(2)∵-π∴-π∴-π∴-又∵α<β，∴a-β2<0【變式41】3.（多選）（2023春·浙江嘉興·高二?？计谥校┮阎獙?shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足1<x<6，2<y<3，則（

）A．3<x+y<9 B．-1<x-y<3 C．2<xy<18 D．1【答案】ACD【分析】利用不等式的性質(zhì)求解.【詳解】實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足1<x<6，2<y<3，由不等式的同向可加性和同向同正可乘性，有3<x+y<9，2<xy<18，AC選項(xiàng)正確；由-3<-y<-2，得-2<x-y<4，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由13<1故選：ACD【變式41】4.（2023春·河北石家莊·高一?？茧A段練習(xí)）已知1<a<4,2<b<8，分別求：(1)2a+3b的取值范圍；(2)a-b的取值范圍；(3)ab【答案】(1)(8,32)(2)(-7,2)(3)(【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可求所給式子的范圍.【詳解】（1）由題可知，2<2a<8，6<3b<24，所以8<2a+3b<32，則2a+3b的取值范圍為8,32；（2）由題可知，1<a<4，-8<-b<-2，所以-7<a-b<2，則a-b的取值范圍為-7,2；（3）由題可知，1<a<4，18<1則ab的取值范圍為1◆類(lèi)型2待定系數(shù)法【例題42】（2022秋·遼寧大連·高一大連市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5.則9a-c的取值范圍（）A．-7,26 B．-7,26C．-1,20 D．-1,20【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】設(shè)9a-c=xa-c即x+4y=9-x-y=-1，解得x=-由-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5，得53≤-5所以-1≤9a-c≤20.故選：D【變式42】1.（2022秋·寧夏中衛(wèi)·高二中寧一中校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x﹐y滿(mǎn)足1≤x-y≤2，2≤x+y≤4，則4x-2y的取值范圍是（

）A．3,12 B．5,10C．6,12 D．3,10【答案】B【分析】設(shè)4x-2y=λx-y+μx+y=λ+μ【詳解】設(shè)4x-2y=λx-y則λ+μ=4-λ+μ=-2，解得λ=3因?yàn)?≤x-y≤2，2≤x+y≤4，所以3≤3x-y所以5≤3x-y+x+y故選：B【變式42】2.（2023春·河北保定·高二校聯(lián)考期末）已知-3<m+n<3,1<m-n<5，則n-3m的取值范圍是（

）A．-13,1 B．-16,4 C．-11,-1 D．-7,-5【答案】A【分析】設(shè)n-3m=xm+n【詳解】設(shè)n-3m=xm+n+ym-n，則x+y=-3x-y=1，所以所以-3<-m+n<3．因?yàn)?<m-n<5，所以故-13<n-3m<1．故選：A【變式42】3.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍？【答案】-【分析】由不等式的基本性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），則m+n=3m-n=2，所以m=52又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴-52<∴-32<∴3x＋2y的取值范圍為-3【變式42】4.（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足-1≤x+y≤1，1≤x+2y≤3，則x+3y的取值范圍是？【答案】1,7【分析】根據(jù)題意以x+y,x+2y整體，結(jié)合不等式的性質(zhì)分析運(yùn)算.【詳解】設(shè)x+3y=m(x+y)+n(x+2y)=m+n由題意可得m+n=1m+2n=3，解得m=-1所以x+3y=-(x+y)+2(x+2y)，由-1≤x+y≤11≤x+2y≤3，可得-1≤-(x+y)≤1所以1≤-(x+y)+2(x+2y)≤7，即1≤x+3y≤7，故x+3y的取值范圍是1,7.題型5證明題【例題5】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知a>b,e>f,c>0，求證：f-ac<e-bc；（2）若bc-ad≥0,bd>0.求證：a+bb【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】由不等式的性質(zhì)證明即可.【詳解】（1）∵a>b,c>0，∴ac>bc，∴-ac<-bc，而e>f，即f<e，∴f-ac<e-bc.（2）∵bc-ad≥0,bd>0，∴bc-adbd=∴ab+1≤【變式51】1.（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）（1）若a,b∈1,+∞，證明：（2）已知x∈R，a=x2+1【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用分析法進(jìn)行證明；（2）利用反證法進(jìn)行證明，先假設(shè)a，b，c均小于1，推出a+b+c≥3，矛盾，假設(shè)不成立，從而得到證