2022-2023學(xué)年廣東省河源市和平中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2022-2023學(xué)年廣東省河源市和平中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知則的最小值是(

)A．3

B．4

C．

D．參考答案：B略2.如圖，已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積不一定為零的是（）A．與 B．與 C．與 D．與參考答案：A【考點】空間向量的數(shù)量積運算；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)題意，若空間非零向量的數(shù)量積為0，則這兩個向量必然互相垂直．據(jù)此依次分析選項，判定所給的向量是否垂直，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于A、PC與BD不一定垂直，即向量、不一定垂直，則向量、的數(shù)量積不一定為0，對于B、根據(jù)題意，有PA⊥平面ABCD，則PA⊥AD，又由AD⊥AB，則有AD⊥平面PAB，進而有AD⊥PB，即向量、一定垂直，則向量、的數(shù)量積不一定為0，對于C、根據(jù)題意，有PA⊥平面ABCD，則PA⊥AB，又由AD⊥AB，則有AB⊥平面PAD，進而有AB⊥PD，即向量、一定垂直，則向量、的數(shù)量積不一定為0，對于D、根據(jù)題意，有PA⊥平面ABCD，則PA⊥CD，即向量、一定垂直，則向量、的數(shù)量積不一定為0，故選：A．【點評】本題考查空間向量的數(shù)量積的運算，若空間非零向量的數(shù)量積為0，則這兩個向量必然互相垂直．3.函數(shù)，則（）A．x=e為函數(shù)f（x）的極大值點 B．x=e為函數(shù)f（x）的極小值點C．為函數(shù)f（x）的極大值點 D．為函數(shù)f（x）的極小值點參考答案：A【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】求導(dǎo)，令f′（x）＞0，求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令f′（x）＜0，求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，則當(dāng)x=e時，函數(shù)有極大值．【解答】解：的定義域（0，+∞），求導(dǎo)f′（x）=，令f′（x）=＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）=＜0，解得：x＞e，∴函數(shù)在（0，e）上遞增，在（e，+∞）上遞減，∴當(dāng)x=e時，函數(shù)有極大值，故選A．4.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a，b，c，若，則cosB等于（

）.A.

B.

C.

D.參考答案：C

5.設(shè)全集U＝R，A＝{x|<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，則陰影部分表示的集合為(

)A.{x|}

B.{|<2}

C.{x|0<}

D.{x|}參考答案：B略6.直線的傾斜角是(

).

A.40°

B.50°

C.130°

D.140°參考答案：B7.動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，則動圓必經(jīng)過定點（）A．（4，0） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣2）參考答案：B【考點】直線與圓的位置關(guān)系；拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】由拋物線的解析式確定出焦點坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，根據(jù)動圓恒與直線x+2=0相切，而x+2=0為準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義可得出動圓一定過拋物線的焦點．【解答】解：由拋物線y2=8x，得到準(zhǔn)線方程為x+2=0，焦點坐標(biāo)為（2，0），∵動圓的圓心在拋物線y2=8x上，且動圓恒與直線x+2=0相切，∴動圓必經(jīng)過定點（2，0）．故選B【點評】此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及拋物線的簡單性質(zhì)，熟練掌握拋物線的簡單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．8.已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，則（）A．A?B B．B?A C．A=B D．A∩B=?參考答案：B【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】集合．【分析】先求出集合A，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系可判斷【解答】解：由題意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，∵B={x|﹣1＜x＜1}，在集合B中的元素都屬于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=∴B?A．故選B．【點評】本題主要考查了集合之間關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)試題．9.設(shè)函數(shù)f(x)在可導(dǎo)，則（

）A. B. C. D.不能確定參考答案：C【分析】根據(jù)極限的運算法則有結(jié)合導(dǎo)數(shù)的極限定義求解即可．【詳解】函數(shù)在可導(dǎo)，則故選：C【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義和極限的概念和運算，轉(zhuǎn)化為極限形式是解決本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題.10.在中，,,則

（

）

A．

B．

C．

D．1參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復(fù)數(shù)的實部等于．參考答案：﹣3【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】直接由i2=﹣1得答案．【解答】解：∵=，∴復(fù)數(shù)的實部等于﹣3．故答案為：﹣3．12.已知函數(shù)f（x）=x3+2x2﹣ax+1在區(qū)間（﹣1，1）上恰有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是． 參考答案：﹣1≤a＜7【考點】函數(shù)在某點取得極值的條件． 【專題】計算題． 【分析】首先利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系求出a的值，由于函數(shù)f（x）=x3+2x2﹣ax+1在區(qū)間（﹣1，1）上恰有一個極值點，所以f′（﹣1）f′（1）＜0，進而驗證a=﹣1與a=7時是否符合題意，即可求答案． 【解答】解：由題意，f′（x）=3x2+4x﹣a， 當(dāng)f′（﹣1）f′（1）＜0時，函數(shù)f（x）=x3+2x2﹣ax+1在區(qū)間（﹣1，1）上恰有一個極值點， 解得﹣1＜a＜7， 當(dāng)a=﹣1時，f′（x）=3x2+4x+1=0，在（﹣1，1）上恰有一根x=﹣， 當(dāng)a=7時，f′（x）=3x2+4x﹣7=0在（﹣1，1）上無實根， 則a的取值范圍是﹣1≤a＜7， 故答案為﹣1≤a＜7． 【點評】考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想方法． 13.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

1

23

456

78910

。。。。。按照以上排列的規(guī)律，第n行（）從左向右的第3個數(shù)為

參考答案：14.給出下列不等式

①；

②；

③；

④其中一定成立的是

參考答案：③正確略15.等差數(shù)列項和為=

參考答案：1016.以下三個關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個定點，K為非零常數(shù)，若|PA|﹣|PB|=K，則動點P的軌跡是雙曲線．②方程2x2﹣5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率③雙曲線﹣=1與橢圓+y2=1有相同的焦點．④已知拋物線y2=2px，以過焦點的一條弦AB為直徑作圓，則此圓與準(zhǔn)線相切其中真命題為（寫出所以真命題的序號）參考答案：②③④【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】證明題．【分析】根據(jù)雙曲線的定義，可判斷①的真假；解方程求出方程的兩根，根據(jù)橢圓和雙曲線的簡單性質(zhì)，可判斷②的真假；根據(jù)已知中雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出它們的焦點坐標(biāo)，可判斷③的真假；設(shè)P為AB中點，A、B、P在準(zhǔn)線l上射影分別為M、N、Q，根據(jù)拋物線的定義，可知AP+BP=AM+BN，從而PQ=AB，所以以AB為直徑作圓則此圓與準(zhǔn)線l相切．【解答】解：A、B為兩個定點，K為非零常數(shù)，若|PA|﹣|PB|=K，當(dāng)K=|AB|時，動點P的軌跡是兩條射線，故①錯誤；方程2x2﹣5x+2=0的兩根為和2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，故②正確；雙曲線﹣=1的焦點坐標(biāo)為（±，0），橢圓﹣y2=1的焦點坐標(biāo)為（±，0），故③正確；設(shè)AB為過拋物線焦點F的弦，P為AB中點，A、B、P在準(zhǔn)線l上射影分別為M、N、Q，∵AP+BP=AM+BN∴PQ=AB，∴以AB為直徑作圓則此圓與準(zhǔn)線l相切，故④正確故正確的命題有：②③④故答案為：②③④【點評】本題④以拋物線為載體，考查拋物線過焦點弦的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確運用拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化，綜合性強．17.已知是奇函數(shù)，當(dāng)時，，（），當(dāng)時，的最小值為1，則a的值等于

．參考答案：1由于當(dāng)時，f(x)的最小值為1，且函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時，有最大值為-1，從而由，所以有；故答案為：1．

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分8分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值；

（II）若，求的最大值及相應(yīng)的值.參考答案：18.解：（Ⅰ），…1分

=1…3分（Ⅱ）

，………5分

由得，………7分

所以，當(dāng)，即時，取到最大值為.…8分略19.（本小題12分）如圖1，在直角梯形中,,,.將

沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.

（Ⅰ）若E為AD的中點，試在線段CD上找一點F，使∥平面ABC，并加以證明；

（Ⅱ）求證:BC⊥平面；

（Ⅲ）求幾何體的體積.

參考答案：解:（Ⅰ）在圖1中,可得,從而,故取中點連結(jié),則,又面面,面面,面,從而平面,

∵面,∴

又,,

∴平面

另解:在圖1中,可得,從而,故∵面面,面面,面,從而平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知為三棱錐的高.，

所以

∴幾何體的體積為略20.（本題滿分14分）已知函數(shù).（Ⅰ）若點()為函數(shù)與的圖象的公共點，試求實數(shù)的值；（Ⅱ）求函數(shù)的值域.參考答案：(1)∵點()為函數(shù)與的圖象的公共點，∴∴

∵

∴,

(2)∵∴

∵

∴∴

∴.即函數(shù)的值域為21.（12分）在△ABC中，，求。參考答案：解：

，而所以略22.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=2，an+1=Sn+2（n≥1，n∈N*），數(shù)列{bn}滿足bn=．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）求數(shù)列{bn}的前n項和Tn；（3）若數(shù)列{cn}滿足cn=，且{cn}的前n項和為Kn，求證：Kn＜3．參考答案：【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．【分析】（1）由數(shù)列的遞推式，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式，可得所求；（2）求得bn==，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理可得所求和；（3）求得cn==＜=2（﹣），運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，注意從第四項放縮，化簡整理即可得證．【解答】解：（1）∵an+1=Sn+2①∴an=Sn﹣1+2②當(dāng)n≥2時①﹣②an+1﹣an=Sn﹣Sn﹣1=an，即an+1=2an，數(shù)列{an}為公比q=2的等比數(shù)列．當(dāng)n=1時，a2=a1+2=4，a2=2a1=4也滿足an+1=2an．∴an