材料力學(xué)-單祖輝-第三版課后答案-(第九章-第十九章)

第九章強(qiáng)度理論9-3已知脆性材料的許用拉應(yīng)力[]與泊松比，試根據(jù)第一與第二強(qiáng)度理論確定純剪切時(shí)的許用切應(yīng)力[]。解：純剪切時(shí)的主應(yīng)力為2,013根據(jù)第一強(qiáng)度理論，要求[]1即要求[]由此得切應(yīng)力的最大許可值即許用切應(yīng)力為[][]根據(jù)第二強(qiáng)度理論，要求()[]123即要求[]由此得相應(yīng)許用切應(yīng)力為[][]19-4試比較圖示正方形棱柱體在下列兩種情況下的相當(dāng)應(yīng)力，彈性常數(shù)E和均r3為已知。(a)棱柱體軸向受壓；(b)棱柱體在剛性方模中軸向受壓。題9-4圖(a)解：對(duì)于棱柱體軸向受壓的情況（見題圖a），三個(gè)主應(yīng)力依次為σσ0，σσ123由此可得第三強(qiáng)度理論的相當(dāng)應(yīng)力為1σσσσr3(a)13(b)解：對(duì)于棱柱體在剛性方模中軸向受壓的情況（見題圖b），可先取受力微體及坐標(biāo)如圖9-4所示，然后計(jì)算其應(yīng)力。圖9-4由圖9-4可得σσy根據(jù)剛性方模的約束條件，有εE1[σμ(σσ)]0xxyz即σμ(σσ)xyz注意到σσzx故有μσσ1μσxz三個(gè)主應(yīng)力依次為μσ，σ3σσσ1μ12由此可得其相當(dāng)應(yīng)力為12μσ1μσσσ(b)r313按照第三強(qiáng)度理論，(a)與(b)兩種情況相當(dāng)應(yīng)力的比值為rσr3(a)1μ1σ12μr3(b)這表明加剛性方模后對(duì)棱柱體的強(qiáng)度有利。9-5圖示外伸梁，承受載荷F=130kN作用，許用應(yīng)力[]=170MPa。試校核梁的強(qiáng)度。如危險(xiǎn)點(diǎn)處于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，采用第三強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度。2題9-5圖解：1.內(nèi)力分析B截面為危險(xiǎn)截面，剪力與彎矩均為最大，其值分別為由題圖可知，F(xiàn)SF130kN，MFl213010N0.600m7.8010Nm342．幾何性質(zhì)計(jì)算0.1220.280312(0.1220.0085)(0.28020.0137)I[3]m47.07105m412z7.071050.140Wm35.05104m3zS0.1220.0137(0.1400.0137)m32.23104m32S2z(b)z(a)12S[2.231040.0085(0.1400.0137)2]m32.90104m3z,maxba式中：足標(biāo)系指翼緣與腹板的交界點(diǎn)；足標(biāo)系指上翼緣頂邊中點(diǎn)。3．應(yīng)力計(jì)算及強(qiáng)度校核abc三個(gè)可能的危險(xiǎn)點(diǎn)（，和）示如圖9-5。圖9-5點(diǎn)處的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為aσWM7.80104N5.05104m21.545108Pa154.5MPazFSz(a)1301031.115104N1.49610Pa14.96MPaτS7Itz7.07100.0137m25該點(diǎn)處于單向與純剪切組合應(yīng)力狀態(tài)，根據(jù)第三強(qiáng)度理論，其相當(dāng)應(yīng)力為242154.52414.962MPa157.4MPa[]r3b點(diǎn)處的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為3σMyb7.8010(0.1400.0137)N1.39310Pa139.3MPa48I7.0710m52zFSz(b)1301032.23104N4.82107Pa48.2MPaτSIδz7.07100.0085m52該點(diǎn)也處于單向與純剪切組合應(yīng)力狀態(tài)，其相當(dāng)應(yīng)力為139.3448.2MPa169.4MPa[]22r3c點(diǎn)處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)，其切應(yīng)力為FS1301032.90104N6.2710Pa62.7MPaτSz,max7Iδz7.07100.0085m25其相當(dāng)應(yīng)力為2262.7MPa125.4MPar3結(jié)論：該梁滿足強(qiáng)度要求。4．強(qiáng)度校核依據(jù)第三強(qiáng)度理論，上述三點(diǎn)的相當(dāng)應(yīng)力依次為σσσ[155.9(1.44)]MPa157.3MPar3(a)13σ[154.4(15.05)]MPa169.5MPar3(b)σ2τ262.7MPa125.4MPar3(c)它們均小于9-8許用應(yīng)力，故知梁滿足強(qiáng)度要求。圖示油管，內(nèi)徑D=11mm，壁厚=0.5mm，內(nèi)壓p=7.5MPa，許用應(yīng)力[]=100MPa。試校核油管的強(qiáng)度。題9-8圖解：油管工作時(shí)，管壁內(nèi)任一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力依次為pDσσσσ0σσ0，，2δ1t2x3r按照第三強(qiáng)度理論，有pD7.51060.011N8.25107Pa82.5MPa[σ]σσσ2δ20.0005m2果表明，該油管滿足強(qiáng)度要求。r313計(jì)算結(jié)9-9[]=160MPa，試按圖示圓柱形容器，受外壓p=15MPa作用。材料的許用應(yīng)力第四強(qiáng)度理論確定其壁厚。4題9-9圖解：根據(jù)第四強(qiáng)度理論，圓柱形薄壁容器的強(qiáng)度條件為3pD[σ]σ4δr4由此得3pD3151060.080m3.2510δ4[σ]m3.25mm34160106δD/20所得，屬于薄壁容器，上述計(jì)算有效。9-10圖a所示車輪，由輪轂與套于其上的薄鋼圈組成。鋼圈的內(nèi)徑d比輪轂的外徑D略小，安裝時(shí)先將鋼圈適當(dāng)加熱，以使二者套合，冷卻后鋼圈即緊套在輪轂上。鋼圈的厚度為，彈性模量為E，輪轂的剛度很大，分析時(shí)可忽略其變形。試求鋼圈與輪轂間的相互作用力，以及鋼圈橫截面上的初應(yīng)力。題9-10圖p作用下（圖b），鋼圈的周向正應(yīng)變?yōu)榻猓涸趦?nèi)壓pDE2Et(a)(b)t安裝前后，鋼圈的直徑由d變?yōu)镈，其周向正應(yīng)變?yōu)棣蠨πdDdπddt比較式(a)與(b)，得p2E(Dd)Dd由此得鋼圈橫截面上的正應(yīng)力為pDE(Dd)2dt9-11圖示鑄鐵構(gòu)件，中段為一內(nèi)徑D=200mm、壁厚筒內(nèi)的=10mm的圓筒，圓[]=30MPa。t壓力p=1MPa，兩端的軸向壓力F=300kN，材料的泊松比=0.25，許用應(yīng)拉力5試校核圓筒部分的強(qiáng)度。題9-11圖解：1.應(yīng)力計(jì)算δD/20，屬于薄壁圓筒圓筒的。故由內(nèi)壓引起的軸向應(yīng)力和周向應(yīng)力分別為pD11060.200Pa5106Pa5MPaσ4δ40.010xppD11060.200Pa10106Pa10MPaσ2δ20.010tp由軸向壓力引起的軸向應(yīng)力為F300103NσπDδπ0.2000.010m24.77107Pa47.7MPa（壓）xF筒壁內(nèi)任一點(diǎn)的主應(yīng)力依次為σ110MPa，σ20，σ3(547.7)MPa42.7MPa2．強(qiáng)度校核由于該鑄鐵構(gòu)件的最大壓應(yīng)力超過最大拉應(yīng)力，且超過較多，故宜采用最大拉應(yīng)變理論對(duì)其進(jìn)行強(qiáng)度校核，即要求σσμ(σσσ)[]r2123將上述各主應(yīng)力值代入上式，得σ[100.25(42.7)]MPa20.7MPa[σ]r2可見，該鑄鐵構(gòu)件滿足強(qiáng)度要求。9-12圖示圓球形薄壁容器，其內(nèi)徑為D，壁厚為，承受壓強(qiáng)為p之內(nèi)壓。試證明壁內(nèi)任一點(diǎn)處的主應(yīng)力為pD/(4),0。123題9-12圖證明：用截面法取該容器的一半（連同內(nèi)壓）示如圖9-12a。6圖9-12由圖a所示半球的平衡方程F0πDδ，πD42p0xt得pDσ4δt球壁內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖b所示，由此可得三個(gè)主應(yīng)力依次為pDσσσ，0σ4δ12t39-13圖示組合圓環(huán)，內(nèi)、外環(huán)分別用銅與鋼制成，已知銅環(huán)與鋼環(huán)的壁厚分別為與E，線脹系數(shù)分別為D，銅與鋼的彈性模量分別為E與，且。12試問當(dāng)溫度升高時(shí)，環(huán)的周向正應(yīng)力為何值。與，交接面的T直徑為題9-13圖解：內(nèi)、外環(huán)的受力情況示如圖9-13a和b。7圖9-13FFN2，鋼環(huán)的軸力為，由圖c與d所示各半個(gè)薄圓環(huán)的平設(shè)銅環(huán)的軸力（絕對(duì)值）為N1衡條件可得pDFF(a)(b)2N1N2變形協(xié)調(diào)條件為物理關(guān)系為ΔDΔD12FDΔDαDΔTN1EA1111(c)(d)FDΔDαDΔTN2EA2222將式(c)代入式(b)，得(αα)ΔTFFσ1tσN1N22t2EAEAE1E121122由式(a)可知，σAδ22σAσA，1tσAδ111t12t22t即δσσ2t(e)(f)2δ11t將方程(e)與方程(d)聯(lián)立求解，得銅環(huán)和鋼環(huán)內(nèi)的周向正應(yīng)力依次為σ(αα)EEδΔT22EδEδ1211t11228σ(αα)EEδ12121ΔTΔT(g)EδEδ2t1122式(f)亦可寫成σ(αα)EEδ21122(f)’EδEδ1t11229-14圖示薄壁圓筒，同時(shí)承受內(nèi)壓p與扭力偶矩M作用。由實(shí)驗(yàn)測得筒壁沿軸向0及與軸線成45方位的正應(yīng)變分別為和，筒的內(nèi)徑D、壁厚、材料的彈性模量E與泊°45松比均為已知。試求內(nèi)壓p與扭力偶矩M之值。題9-14圖任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖9-14所示。解：圓筒壁內(nèi)圖9-14圖中所示各應(yīng)力分量分別為pDpD2Mx4,t2,πD2由此可得σσ,σσ,στ3pD,σ8δ3pDτ8δxt0904545根據(jù)廣義胡克定律，貼片方向的正應(yīng)變?yōu)?12)pD4Eδ1E[](a)xt0M(1)3pD]1[2(1)1[](b)(c)EEπD28454545由式(a)可得圓筒所承受的內(nèi)壓為4Eδp(12μ)Dε0將式(c)代入式(b)，可得扭力偶矩為9πED2δ[2(12μ)εμεM4(1μ)(12μ)453(1)]09-15如圖(a)所示，在直徑為D＝40mm的鋁質(zhì)圓柱體外，光滑套合一壁厚=2mm=70GPa與的鋼管，圓柱體承受軸向載荷F＝40kN作用，鋁與鋼的彈性模量分別為E1E2=210GPa，泊松比分別為與。試計(jì)算鋼管的周向正應(yīng)力。題9-15圖解：圓柱體與外管橫截面上的正應(yīng)力分別為4Fx1πD20x2設(shè)圓柱體與外管間的相互作用力的壓強(qiáng)為p，在其作用下，外管縱截面上的周向正應(yīng)力為pDt22(a)在外壓p作用下（圖b，尺寸已放大），圓柱體內(nèi)任一點(diǎn)處的徑向與周向正應(yīng)力均為pr1t1根據(jù)廣義胡克定律，圓柱體外表面的周向正應(yīng)變?yōu)?14Ft1EEpp1πDt11x11r11211外管內(nèi)表面的周向正應(yīng)變則為pDt2E2Et222變形協(xié)調(diào)條件為于是有t1t214FpDpp1E1πD2E122由此得8EFpπD2ED2(1)E2121110將上式代入式（a），于是得鋼管的周向正應(yīng)力為4EF28MPa2πDED2(1)E12t21111第十章組合變形10-2圖a所示板件，b=20mm，=5mm，載荷F=12kN，許用應(yīng)力[]=100MPa，試求板邊切口的允許深度x。題10-2圖b），該處橫截面上的軸力與彎矩分別為解：在切口處切取左半段為研究對(duì)象（圖FFNMF(ba)(a)(b)顯然，a2bxbx22將式(b)代入式(a)，得FxM2切口段處于彎拉組合受力狀態(tài)，該處橫截面上的最大拉應(yīng)力為FMFFx6F3FxAW2a2(2a)22a4a2Nmax根據(jù)強(qiáng)度要求，在極限情況下，F(xiàn)3Fx[]2a4a2將式(b)與相關(guān)數(shù)據(jù)代入上式，得x20.1277x6.391040由此得切口的允許深度為x5.20mm10-3圖示矩形截面鋼桿，用應(yīng)變片測得上、下表面的縱向正應(yīng)變分別為ε=1.0×10-3aε=0.4×10-3，材料的彈性模量E=210GPa。試與繪橫截面上的正應(yīng)力分布圖，并求拉力F及b其偏心距e的數(shù)值。1題10-3圖σσ和1.求ab解：截面的上、下邊緣處均處于單向受力狀態(tài)，故有σEε2101091.0103Pa210MPaaaσEε2101090.4103Pa84MPabb偏心拉伸問題，正應(yīng)力沿截面高度線性變化，據(jù)此即可繪出橫截面上的正應(yīng)力分布圖，如圖10-3所示。圖10-3Fe2．求和F將平移至桿軸線，得FNF，MFe于是有FFeσEεAWaazFFeAWσEεbz代入相關(guān)數(shù)據(jù)后，上述方程分別成為F240Fe26250F240Fe10500經(jīng)聯(lián)立求解，于是得F18375N18.38kN，e1.78610m1.786mm310-6圖示直徑為d的圓截面鑄鐵桿，承受偏心距為e的載荷F作用。試證明：當(dāng)ed/8時(shí)，橫截面上不存在拉應(yīng)力，即截面核心為R=d/8的圓形區(qū)域。題10-6圖證明：此為偏心壓縮問題。載荷偏心產(chǎn)生的彎矩為MFe2受拉區(qū)的最大拉應(yīng)力為MFσWA(a)t,max橫截面上不存在拉應(yīng)力的條件，要求式(a)小于或等于零，即要求32Fe4Fπd3πd2由此得ed810-7。已知許用拉應(yīng)力[]=30t圖a所示桿件，同時(shí)承受橫向載荷與偏心壓力作用MPa，許用壓應(yīng)力[]=90MPa，h=180mm，b=60mm，l=500mm，試確定F的許用值。c題10-7圖解：固定端處的橫截面A為危險(xiǎn)截面，該截面的內(nèi)力如圖b所示，彎矩為MFlFh2Fl10Fh2Fl5FhyMFb210Fb25Fbz而軸力則為FNF10()F壓力橫截面A的最大拉應(yīng)力為MMyF6(5Fb)6(Fl5Fh)10F2F3l25zNWWAhb2bh2bhbhht,maxzy最大壓應(yīng)力則為MMyF6(5Fb)6(Fl5Fh)10F2F3l35zNWWAhb2bh2bhbhhc,maxzy根據(jù)強(qiáng)度條件，要求2F3l25[]bhht,maxt32F3l35[]bhhc,maxc將相關(guān)數(shù)據(jù)代入上述二式，分別得[F]4.86kNt[F]11.2kNc于是得F的許用值為[F][F]4.86kNt10-8在圖示立柱的頂部，作用一偏心載荷F=250kN。若許用應(yīng)力[]=125MPa，試求偏心距a的許用值。題10-8圖解：1.確定內(nèi)力F250kNMFa2.50105a(Nm)，NyM0.050F0.050250103Nm1.25104Nmz2．計(jì)算Iz，Iy及A0.1000.12030.0800.0803)m41.099105m4I(1212zI(0.0200.100320.0800.0203)m43.39106m41212yA(0.1000.02020.0800.020)m25.60103m23．求a的許用值由正應(yīng)力強(qiáng)度條件，要求MzMyFAσyzzIIc,maxy[(1.25104)0.060(2.50105a)0.050250103]Pa1.0991053.391065.60103[112.883.69103a]106(Pa)[σ]4得偏心距的許用值為[a]3.28103m3.28mm10-11圖示曲柄軸，承受載荷F=10kN作用。試問當(dāng)載荷方位角為何值時(shí)，對(duì)截面A-A的強(qiáng)度最為不利，并求相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力。r3題10-11圖解：1.分析內(nèi)力由于A-A為圓形截面，其任一直徑均為主形心軸，故載荷無需分解，可直接用以分析內(nèi)力。根據(jù)平衡關(guān)系，截面A-A上的剪力（絕對(duì)值）分別為F、彎矩和扭矩值FF10kN，MFl101030.070Nm700NmSTFacosθ0和彎矩值并無影響，它只改變扭矩的大小，當(dāng)時(shí)扭矩取F由此可見，的方位角對(duì)剪力最大值，對(duì)截面A-A的強(qiáng)度最為不利，其值為TmaxFa10102．計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力截面A-A上鉛垂直徑的上0.240Nm2.4010Nm33、下點(diǎn)為可能的危險(xiǎn)點(diǎn)，按照第三強(qiáng)度理論，其相當(dāng)應(yīng)力為M2T2327002(2.40103)2PaσmaxWπ0.0603(a)r31.179108Pa117.9MPa由于是短粗軸，為又一個(gè)可能的危險(xiǎn)點(diǎn)，彎曲剪力產(chǎn)生的切應(yīng)力應(yīng)予考慮，這時(shí)截面A-A上水平直徑的左端點(diǎn)，該點(diǎn)處的正應(yīng)力為零，切而應(yīng)力則為τττ16Tmax44FS(162.401031610103)Paπd33πd2π0.06033π0.060212(56.64.72)106Pa61.3MPa其相當(dāng)應(yīng)力為σr32τ261.3MPa122.6MPa比較式(a)和(b)可知，該軸真正的危險(xiǎn)點(diǎn)是截面A-A上水平直徑的(b)左端點(diǎn)，其相當(dāng)應(yīng)力如式(b)所示。σ()r3()τ()另一種方法是先求與，再求。這里的順便指出，本題計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力的5從截面A-A上左邊水平半徑量起，以順鐘向?yàn)檎ⅵ襯3()對(duì)求導(dǎo)，0，由此確定的危險(xiǎn)點(diǎn)同上述真正的危險(xiǎn)點(diǎn)，相當(dāng)應(yīng)力當(dāng)然也同式(b)。尋找其極值位置，找到的極值位置是10-12圖示某段桿的彎矩My與Mz圖，它們均為直線，且其延長線分別與x軸相交于a與b點(diǎn)。試證明：如果a與b點(diǎn)不重合，則該段桿的總彎矩M圖必為凹曲線。題10-12圖解：1.總彎矩方程及其二階導(dǎo)數(shù)，x2）內(nèi)，M與M圖均為直線，因此，可設(shè)在區(qū)段（x1yzMbkxy11Mbkxz22，k，b2與k2均為常數(shù)。于是得總彎矩為式中，b11MM2M2(bkx)2(bkx)2(a)(b)yz1122幷由此得d2Mdx2(kbkb)212212.總彎矩M圖為凹曲線的證明a與b點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為bbxx，12k1kab2當(dāng)a與b點(diǎn)不重合時(shí)，由上式得bkbk1221代入式（b），得d2M0dx2可見，如果某桿段的My與Mz圖均為直線，且其延長線與坐標(biāo)軸x不相交于同一點(diǎn)，則相應(yīng)總彎矩M圖必為凹曲線。610-13圖示齒輪傳動(dòng)軸，用鋼制成。在齒輪1上，作用有徑向力F=3.64kN、切y=10kN；在齒輪Fz2上，作用有切向力F'=5kN、徑向力F'=1.82kN。若許用應(yīng)力yz[]=100MPa，試根據(jù)第四強(qiáng)度理論確定軸徑。向力題10-13圖M,MT如圖10-13a所示。內(nèi)力圖（z和）分解：將各力向該軸軸線簡化，得其受力圖y別示如圖b,c和d。圖10-13由內(nèi)力圖和題10-12所證明的結(jié)論可知，截面和C都可能為危險(xiǎn)面。BB對(duì)于截面，總彎矩為M1000364Nm1064Nm568Nm612Nm2(a)(b)22BC，總彎矩為對(duì)于截面M2272C－B比較式(a)和(b)可知，截面最危險(xiǎn)。由第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件7M20.75T232M20.75T2σ[σ]BBWπd3r4得該軸的直徑為d332M20.75T2332106420.7510002mBπ[σ]π1001065.19102m51.9mm10-16圖示鋼質(zhì)拐軸，承受鉛垂載荷F與水平載荷F作用。已知軸AB的直徑為12d，軸與拐臂的長度分別為l與a，許用應(yīng)力為[]，試按第四強(qiáng)度理論建立軸AB的強(qiáng)度條件。題10-16圖與F平移到截面B的形心，得軸AB的受力如圖F1A為危險(xiǎn)截面，該截面的軸力b所示。解：將載荷2顯然，固定端處的橫截面、扭矩與彎矩分別為FFN2TFa1MFa,MFly2z1可見，橫截面A處于彎拉扭組合受力狀態(tài)。在橫截面的危險(xiǎn)點(diǎn)處，彎曲與軸向正應(yīng)力分別為M2M32F2a2Fl2z221y(a)(b)2Wπd3maxFN4F22AπdN扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為16FaTW1(c)πdmax3p8按照第四強(qiáng)度理論，危險(xiǎn)點(diǎn)處的強(qiáng)度條件為232[]Nmaxmax將式（a），（b）與式（c）代入上式，于是得232F2a2Fld144Fa2[]11221d4F2πd2210-17圖示圓截面鋼軸，由電機(jī)帶動(dòng)。在斜齒輪的齒面上，作用有切向力F=1.9tkN、徑向力F=740N以及平行于軸線的外力F=660N。若許用應(yīng)力[]=160MPa，試根據(jù)r第四強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。題10-17圖解：1.外力分析FFAD與向軸的軸線簡化，得該軸的計(jì)算簡圖如圖10-17a所示。圖中，tF將載荷,rMFR6600.100Nm66.0NmzCMMFtR1.91030.100Nm190.0NmAC9圖10-172．內(nèi)力分析根據(jù)圖a，可畫軸力、扭矩及彎矩圖分別如圖b，c，d和e所示。C由內(nèi)力圖可知，截面為危險(xiǎn)截面，該截面上的軸力、扭矩及總彎矩值依次為FNF660N（壓），T190.0NmMM2M257.0255.2Nm79.3Nm2yz3．強(qiáng)度校核危險(xiǎn)面上危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向與純剪切組合應(yīng)力狀態(tài)，其正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為σF(3279.34660)Pa5.30107Pa53.0MPa（壓）MWNAπ0.025π0.02532τWTπ160.109205.30mN26.19107Pa61.9MPap將其代入第四強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件，有σσ23τ2361.9MPa119.6MPa[σ]253.02r4可見，該軸滿足強(qiáng)度要求。1010-19圖示等截面剛架，承受載荷F與F'作用，且F'=2F。已知許用應(yīng)力為[]，截面為正方形，邊長為a，且a=l/10，試根據(jù)第三強(qiáng)度理論確定F的許用值[F]。題10-19圖解:1.尋找危險(xiǎn)面。在圖10-19a所示坐標(biāo)下，由產(chǎn)生的內(nèi)力示如圖F為了尋找危險(xiǎn)面，首先需畫出內(nèi)力圖Fb和c；由產(chǎn)生的內(nèi)力示如圖d，e和f。圖10-19上不難找到可能的危險(xiǎn)面有兩個(gè)：截面和截面CA。從內(nèi)力圖2．確定F的許用值A(chǔ)截面為彎拉組合（危險(xiǎn)點(diǎn)處于單向應(yīng)力狀態(tài)），由強(qiáng)度條件64FlF241Fσσ[]a3aa2max2得F[σ241]a24.15103[σ]a24.15105[σ]l2(a)C截面MM可能的危險(xiǎn)點(diǎn)為和（見圖g），點(diǎn)f處的扭轉(zhuǎn)de為彎（有,）拉扭組合，zydd切應(yīng)力雖然與點(diǎn)處同大，但其彎曲正應(yīng)力只是點(diǎn)處的一半，故可將它排除在外。d對(duì)于點(diǎn)，正應(yīng)力和切應(yīng)力依次為1162FlF121Fσa3a2a2dT2Fl0.208a396.2aFταhb22d由第三強(qiáng)度理論的強(qiáng)度條件FF[σ]σσ24τ2a21212496.22227ar3dd2得F4.41103[σ]a24.41105[σ]l2(b)e對(duì)于點(diǎn)，切應(yīng)力為零，由彎拉組合的強(qiáng)度條件62Fl6FlFFσ[σ]a3a3a181a2max2得F5.52103[σ]a25.52105[σ]l2(c)F(c)，最后確定的許用值為比較式(a),(b)和[F]4.15105[σ]l210-20圖示圓截面圓環(huán)，缺口處承受一對(duì)相距極近的反向載荷F作用。已知圓環(huán)軸線的半徑為R，截面的直徑為d，材料的許用應(yīng)力為[]，試根據(jù)第三強(qiáng)度理論確定載荷F的許用值。題10-20圖解：1.分析內(nèi)力本題為反對(duì)稱問題，可取半個(gè)圓環(huán)來分析。例如取右半圓環(huán)，示如圖10-20。12圖10-20由圖可得T()FR(1cos)M()FRsin，2．求相當(dāng)應(yīng)力根據(jù)第三強(qiáng)度理論，截面危險(xiǎn)點(diǎn)處的相當(dāng)應(yīng)力為M2()T2()FRsin2(1cos)2FR22cosWσ(a)WWr3σ3．求的最大值r3由dσr30d得極值位置為180(b)σA取得極大值，即截面為危險(xiǎn)截面，危險(xiǎn)點(diǎn)處的相當(dāng)應(yīng)力進(jìn)一步分析可知，該極值位置使r3為2FR64FRWπd3σr3,max(c)F4．確定的許用值將式(c)代入強(qiáng)度條件[σ]σr3,maxF得載荷的許用值為[F]πd3[σ]d3[]d3[]20.4R20R64R10-21圖示結(jié)構(gòu)，由軸AB與梁CD組成，并在截面D承受集中載荷F作用。已知載荷F=1kN，彈性模量E=210GPa，切變模量G=0.4E。試：（1）根據(jù)第三強(qiáng)度理論（2）計(jì)算截面D的轉(zhuǎn)角與計(jì)算軸內(nèi)危險(xiǎn)點(diǎn)處的相當(dāng)應(yīng)力；撓度。13題10-21圖解：1.計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力此為六度靜不定問題，但有對(duì)稱性可以利用。M得力和矩為示如圖10-21a。F將載荷向軸ABF的軸線簡化，的力偶，e圖10-21F分開考慮。僅考慮時(shí)，利用對(duì)稱性，可在截面處解除MCF根據(jù)疊加原理，可將和e多余內(nèi)約束，得相當(dāng)系統(tǒng)如圖(b)所示（圖中只畫了左邊一半）。由變形協(xié)調(diào)條件F22EI()a2Maθ0C0，EIC得Fa4MCM據(jù)此，并利用對(duì)稱性，可畫出圖（見圖c）。14M僅考慮Me時(shí)，由對(duì)稱性可知，兩端的支反力偶矩相等，并等于的一半，即eMFa2MM2eAxBxT據(jù)此，并考慮到扭矩的符號(hào)規(guī)定，可畫圖如圖d所示。B,A,CC和四個(gè)截面同等危險(xiǎn)，它們的彎矩值和扭矩值（均指絕由圖c與d容易判斷，對(duì)值）分別相等。按照第三強(qiáng)度理論，這些面上危險(xiǎn)點(diǎn)處的相當(dāng)應(yīng)力為M2T232Fa1222811030.3005NσW4πdπ0.040m32r332.67107Pa26.7MPa2.計(jì)算轉(zhuǎn)角和撓度D截面的轉(zhuǎn)角由軸的扭轉(zhuǎn)變形和梁的彎曲變形兩部分提供，由疊加法可得ABCDFa2aFa25Fa2Fa2θθGI2EI4EI2EIDCD(F)p1p111030.3002(53212)rad2.7310-3rad2101094π0.040420.0200.0603D截面的撓度由軸的彎曲變形ABCD、扭轉(zhuǎn)變形和梁的彎曲變形三部分提供，由疊加法可得Fa35Fa3Fa3wwaw24EI4EI3EID(F)DCCp111030.3003(645321224π0.04044π0.040430.0200.0603)m2101098.0104m0.80mm10-22圖示結(jié)構(gòu)，由兩根相同的圓截面桿及剛體A和B組成。設(shè)在該剛體上作用一對(duì)方向相反、其矩均為M的力偶，試畫桿的內(nèi)力圖，并根據(jù)第三強(qiáng)度理論建立桿的強(qiáng)度條l、直徑d、材料的模量E、切變模量G以及許用應(yīng)力G=0.4E。[]均為已知，且l=20d,件。桿的長度彈性題10-22圖解：1.內(nèi)力分析此為六度靜不定問題。利用反對(duì)稱性，可取相當(dāng)系統(tǒng)如圖10-22a所示。15圖10-22靜力學(xué)方面（見圖a）M0，2TF(5l)M0(a)xSz幾何方面（見圖a和b）B由于剛體只能繞結(jié)構(gòu)水平中軸線相對(duì)于剛體A作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，故有變形協(xié)調(diào)條件(b)(c)θ0yΔ(10l)z物理方面TlTl1.25TlGI(d)(e)(f)(0.4E)(2I)EIpMl2Fl3SzΔ3EI2EIyzMlFl2θySz2EIEIy將式(d)～(f)代入式(b)和(c)，得補(bǔ)充方程2MFl(g)(h)ySz及8FSzl程(g),(h)和(a)，得12M3Ty聯(lián)解方15M10231546yF23l，TM，MMSz2．畫內(nèi)力圖16上桿的內(nèi)力圖示如圖8-22c～e。與上桿一樣，而FM圖及T下桿的圖圖與上桿僅差符號(hào)，最大內(nèi)力值（絕對(duì)值）與上Szy桿相同，故可省畫其內(nèi)力圖3．建立強(qiáng)度條件由于l20d，屬于細(xì)長桿。，可以不計(jì)剪力對(duì)強(qiáng)度的影響。危險(xiǎn)面在桿的兩端，按照第三強(qiáng)度理論，桿的強(qiáng)度條件為15461023M()2()2M2T2Mσ5.54[σ]yπd3Wdr333217第十一章壓桿穩(wěn)定問題11-1。圖中，圖示兩端鉸支剛桿－蝶形彈簧系統(tǒng)，試求其臨界載荷c代表使蝶形彈簧產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需之力偶矩。題11-1圖2θ狀態(tài)（微偏斜狀態(tài)）如圖11-1所示。注意到蝶形彈簧產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角為，解：系統(tǒng)的臨界由右段剛桿的力矩平衡方程c(2θ)F(θl)02得4cFlcr圖11-1圖示剛桿－彈簧系統(tǒng)，圖中的c，c1與c2均為彈簧11-2常數(shù)，試求系統(tǒng)的臨界載荷。題11-2圖鏈C的鉛垂位移用表示,于是得桿BC(連帶(a)解：設(shè)系統(tǒng)微偏轉(zhuǎn)如圖11-2a(1)所示，鉸鉸鏈C)的受力如圖11-2a(2)所示，由平衡方程M0,clF02C得系統(tǒng)的臨界載荷為cl2Fcr1圖11-2aA與B的鉛垂位移分別用與表示,于（b）解：設(shè)系統(tǒng)微偏轉(zhuǎn)如圖11-2b(1)所示，鉸鏈?zhǔn)堑脳UAB的受力如圖11-2b(2)所示，桿的平衡方程為Fc0,0c11(a)(b)y22MA0,clF(2)0221由式（b）得Fcl(c)2212由式（a）得c11c22代入式（c），于是得系統(tǒng)的臨界載荷為Fccl12cccr12圖11-2b11-3圖示結(jié)構(gòu)，AB為剛性桿，BC為彈性梁，各截面的彎曲剛度均為EI。在剛性桿頂端承受鉛垂載荷F作用，試求其臨界值。2題11-3圖解：結(jié)構(gòu)的臨界狀態(tài)示如圖11-3。圖11-3的力矩應(yīng)為θBB使梁端截面產(chǎn)生轉(zhuǎn)角3EIlMθBe而MF(θa)eB由此得即F3EIal3EIalFcr11-4圖示剛性桿AB，下端與圓截面鋼軸BC相連。為使剛性桿在圖示鉛垂位置保持穩(wěn)定平衡，試確定軸BC的直徑d。已知F=42kN，切變模量G=79GPa。3題11-4圖解：剛性桿在微偏斜（設(shè)偏斜角為，見圖）狀態(tài)AB11-4此時(shí)加給軸BC下處于平衡，的扭力矩為MFaB而TlGIp注意到TM，于是得BFGIalp即GIπGd4Fal32alpcr由此得（題中給出F=42kN）d432alFπGcr4320.5000.30042103m0.030m30mmπ79109圖11-4411-6圖示細(xì)長壓桿，彎曲剛度EI為常數(shù)，試按§11-2所述方法確定桿的臨界載荷。題11-6圖解：設(shè)自由端的撓度為，則M(x)F(w)撓曲軸近似微分方程為EIwFwF或wkwk式中，k2FEI(a)(b)上述微分方程的通解為wCcoskxDsinkx位移邊界條件為當(dāng)x0時(shí)，w0；當(dāng)x0時(shí)，w0；當(dāng)xl時(shí)，w由式(b)與上述邊界條件，得D0Ccoskl0由上式得kln2π(n0,1,2,)(c)將式(c)代入式(a)，得Fcrn2π2EI(n0,1,2,)4l2由上式并取n=1，即得壓桿的臨界載荷為π2EI4l2Fcr11-7試確定圖示各細(xì)長壓桿的相當(dāng)長度與臨界載荷。設(shè)彎曲剛度EI為常數(shù)。題11-7圖(a)解:相當(dāng)長度為5laeq臨界載荷為π2EIa2Fcr(b)解：壓桿微彎狀態(tài)的撓曲軸如圖11-7b中的虛線所示。圖11-7b半個(gè)正弦波的長度為a，即laeq由此得臨界載荷為π2EIa2Fcr11-8圖示正方形桁架，各桿各截面的彎曲剛度均為EI，且均為細(xì)長桿。試問當(dāng)載荷F為何值時(shí)結(jié)構(gòu)中的個(gè)別桿件將失穩(wěn)？如果將載荷F的方向改為向內(nèi)，則使桿件失穩(wěn)的載荷F又為何值？題11-8圖F解：1.當(dāng)向外時(shí)CD豎向桿受壓，其余四根桿受拉。CD設(shè)桿編號(hào)為5，則有FN5F由此得π2EIπ2EIFcr(2l)22l22.當(dāng)F向內(nèi)時(shí)此時(shí)桿5受拉，其余各桿（編號(hào)1，2，3，4）受壓。且6FFFFF2N1N2N3N4由此得π2EI)2π2EIF2(crl2l211-9圖a所示細(xì)長壓桿，彎曲剛度EI為常數(shù)，試證明壓桿的臨界載荷滿足下述方程：sinkl(sinkl2klcoskl)0=F/(EI)。式中，k2題11-9圖作用下，壓桿可在圖b所示微彎狀態(tài)保持平衡。求得支座A與B的支反力為解：在臨界載荷設(shè)橫截面C的撓度為，則由平衡方程FlFFAyBy桿段AB與BC的彎矩方程分別為FM(x)1xFw11lM(x)F(w)22相應(yīng)的撓曲軸近似微分方程分別為FxEIw"Fwl111EIw"FwF22上述微分方程的通解分別為wAsinkxBcoskxxl1(a)(b)11111wAsinkxBcoskx22222，A，B1，B2與端點(diǎn)撓度式中，除參數(shù)k外，積分常數(shù)A12也均為未知。壓桿的位移邊界條件與連續(xù)條件為：在x10處,w10(1)(2)在x0處,w22在x1l處,w10(3)7在處xxl,ww2(4)(5)121在處w'xxl,w'2121由式(a)，(b)與條件(1)，(2)可知，BB012由式(a)，(b)與條件(3)，(4)，(5)，得Asinkl1A1sinklA2sinkl0lAkcosklAkklcos12，A與存在非零解的條件為A1可見，2sinkl01sinkl-sinkl00kcosklkcoskl1/l由此得sinklsinkl2klcoskl0上述方程有兩組可能的解，即：sinkl0sin2cosklklkl0由上述二方程的最小非零正根，分別得π2EIFl，2cr11.359EIFl2cr2，顯然，壓桿的臨界載荷為1.359EIcr2，F(xiàn)Fcrl211-10圖示兩端鉸支細(xì)長壓桿，彎曲剛度EI為常數(shù)，壓桿中點(diǎn)用彈簧常量為c的彈簧支持。試證明壓桿的臨界載荷滿足下述方程：klkl4k2EIcos02klsinklsin1222cl式中，kF/(EI)。8題11-10圖解：該細(xì)長壓桿的微彎狀態(tài)如圖11-10所示。圖11-10按圖中所取坐標(biāo)，左、右段壓桿得彎矩方程分別為M(x)FxFwcM(x)FxFwc2，2111222于是得撓曲軸微分方程分別為FFwk2wk2xwk2wk2x2，cc2F2F11122式中，k2FEI上述微分方程的通解分別為FwAsinkxBcoskxcx12F11111FwAsinkxBcoskxcx22F22222位移邊界條件為由此得當(dāng)x0，w10;當(dāng)x0，w2012B10，B20位移連續(xù)條件為代入通解后，得xx2l:wFcc;wFcc;ww當(dāng)121212klFlFAsincc24Fc1klFlFcc24FcAsin2klFklFcAkcosAkcosc22F22F12重排后，得9kll1(sin)A0()F0(1)(2)(3)24Fcl11ckl0(sin)A()F024Fc2c(kcos)A(kcos)AF1F0klkl2212cA,A和F存在非零解的條件為可見，12csinkll104Fc2sinkll14Fc002kcosk2lkcosk2l1FFEIk展開上列行列式，并注意到2，得1kl2kl2l2k2EIckl2sin[sink(2)cos]0EIk2由此得kl2klkl224k2EIclkl2sin[sin(1)cos]011-11圖示階梯形細(xì)長壓桿，左、右兩段各截面的彎曲剛度分別為EI與EI2。試1證明壓桿的臨界載荷滿足下述方程：tankltanklk2k121kF/(EI);kF/(EI2)。式中：112題11-11圖微彎狀態(tài)如圖11-11所示。解:該壓桿的圖11-11彎矩方程為MxF(δw，MxF(δw2)())()112進(jìn)而可得10w1k1w1k1δwk，w2k222δ2222式中，F(xiàn)Fk2，k2EIEI1212以上二微分方程的通解為wAsinkxBcoskxδ1111111wAsinkxBcoskxδ2222222位移邊界與連續(xù)條件為x0w0w011當(dāng)時(shí)，，1xlx0wwww當(dāng)與時(shí)，，121212xlwδ當(dāng)時(shí)，22由上述條件依次得B1δA10B2δcosk1l(a)(b)kA21δsink1lk2A2sink2lB2cosk2l0(c)將式(a)和(b)代入式(c)，于是得tankltanklk21k1211-13圖示結(jié)構(gòu)，由橫梁AC與立柱BD組成，試問當(dāng)載荷集度q=20N/mm與q=26N/mm時(shí)，截面B的撓度分別為何值均用低碳鋼制成，彈性模量E=200GPa，。橫梁與立柱比例極限=200MPa。p11題11-13圖解：1.求立柱的臨界載荷12給立柱和梁編號(hào)分別為和，我們有λπEπ20010699.3200109σppI1d10mm0.010miA41l12.00i0.010200λpλBD立柱為大柔度桿，其臨界載荷為π2EIπ2200109π0.0404FN6.201310N62.013kN41l2.00264cr212.計(jì)算qcrq這里的Fq系指使立柱剛剛到達(dá)時(shí)的值，立柱還處在直線平衡狀態(tài)BDB。處的變形crcr協(xié)調(diào)條件為wΔlB1引入物理關(guān)系5ql4FlFlΔlcr1，3cr2wcr2384EI48EIEA1B122并代入相關(guān)數(shù)據(jù)及I22500cm42.500105m4，A1π40.0402m21.2566103m2得qcr2.555103.計(jì)算q20N/mm時(shí)的由于qqFF，直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。crN/m25.55N/mm4撓度，立柱中crN由變形協(xié)調(diào)條件wΔlB1得5qlFlFlN1423N2384EI48EIEA122代入已知數(shù)據(jù)后，得12FN4.855410N48.554kN4B進(jìn)而可得截面的撓度為FlwΔlN13.86104m0.386mmEA1B14.計(jì)算q26N/mm時(shí)的撓度qqFF，立柱處于微彎狀態(tài)，，截面的撓度由梁變形確定，即B此時(shí)crNcr5qlFl3cr242w'384EI48EIB2252.601044.004m620134.003m3842001092.500105482001092.5001057.97104m0.797mm11-15圖示矩形截面壓桿，有三種支持方式。桿長l=300mm，截面寬度b=20mm，=50，0=0，中柔度桿的臨界應(yīng)力公式為高度h=12mm，彈性模量E=70GPa，pcr=382MPa-(2.18MPa)試計(jì)算它們的臨界載荷，并進(jìn)行比較。題11-15圖bh30.0200.0123m42.88109m4I12(a)解：12minIAh120.01212m3.464103iml20.300i3.464103173.2λpλ＝此桿為大柔度桿，其臨界載荷為π2EIπ2701092.88109N5.5310N5.53kNF(2l)2(20.300)23cr(b)解：13l10.300λi3.46410386.6λp此桿為大柔度桿，其臨界載荷為π2EIπ2701092.88109FN2.21104N22.1kNl20.3002cr(c)解：μl0.50.30043.3λi3.464103λλλ，為中柔度桿。0pσ(3822.18λ)MPa(3822.1843.3)MPa287.6MPacr于是得FcrσcrA287.610(0.0200.012)N6.9010N69.0kN4b×h的矩形，611-18圖示壓桿，橫截面為試從穩(wěn)定性方面考慮，h/b為何值最佳?？扇￠L度因數(shù)0.7。y當(dāng)壓桿在x-z平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，題11-18圖解：由hb312bh3II12z，y和Abh得Ibhiz12iAy，y12從穩(wěn)定性方面h/b考慮，的最佳值應(yīng)使λλyz即μlμl，0.7l12l12yziibhyz14由此得h11.429b0.711-19試檢查圖示千斤頂絲杠的穩(wěn)定性。若千斤頂?shù)淖畲笃鹬亓縁=120kN，絲杠內(nèi)徑d=52mm，絲杠總長l=600mm，襯套高度h=100mm，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=4，絲杠用Q235鋼制成，中柔度桿的cr=235MPa-(0.00669MPa)臨界應(yīng)力公式為2(<123)題11-19圖解：該千斤頂絲杠的llh(0.6000.100)m0.500m1Aπd0.0522m22.124103m2π424π64dIdA40.0524I4，im0.013mλl20.50076.9λ123i10.013p它屬于中柔度桿，故有σ235MPa(0.00669MPa)76.92195.4MPacr[F]FncrAσ2.124103195.4106N1.037105N103.7kNcrn4stststF[F]15.7比大％，該千斤頂絲杠穩(wěn)定性不夠。st11-20圖示桁架，承受變向載荷F作用，方位角的變化范圍為090。已知桿1與桿2的直徑分別為d1=20mm與d=30mm，二桿材料相同，屈服應(yīng)力s=240MPa，p=196MPa，彈性模量E=200GPa，強(qiáng)度安全因數(shù)ns=2.0，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=2.5，試求載荷F的許用值。2比例極限15題11-20圖解：1.軸力分析設(shè)桿1與桿2的軸力均為拉力，則由節(jié)點(diǎn)B的平衡方程，得FFcosθ3sinθ(a)(b)2N1FF2sinθ3cosθN2θ，得的極值為FN1由式（a）,并令dF/d0N1F（壓力）FN1,min090范圍內(nèi)，無極值F。經(jīng)分析，在N2由式（a）與（b）求得，當(dāng)=0時(shí)，F(xiàn)F2F3F2N2，N1當(dāng)=90時(shí)，3FFN1，F(xiàn)FN222根據(jù)上述分析，得(F)F(c)(d)(e)N1,cmaxF(F)2F2N2,cmax(F)N2,tmax2．許用載荷計(jì)算桿1的柔度為l4l411.000200λ11id0.020111而16pπEπ200109196106100.4pλλ，故桿的臨界載荷為1由于1pπ2EIπ2200109π0.0204(N)1.550104N15.50kNF1l1.0002641,cr21由式（c）得載荷F的相應(yīng)許用值為[F]1,cr15.50kN6.20kNFn2.51st桿2的柔度為l4l411.732λ22231λpid0.030222臨界載荷為π2EIπ2200109π0.0304F(N)2.62104N2l1.7322642,cr22由式（d）得載荷F的相應(yīng)許用值為2F2,cr22.62104N20.9kN[F]n2.52st桿2的許用軸力為πd2π0.0302(240106)(N)8.4810N[F]2s44n42N2s由式（e）得載荷F的相應(yīng)許用值為[F]2[FN2]28.48104N169.6kN3于是得結(jié)構(gòu)的許用載荷為[F][F]6.20kN111-21橫截面如圖所示之立柱，由四根80mm×80mm×6mm的角鋼所組成，柱長F=450kN作用。立柱用Q235鋼制成，許用l=6m。立柱兩端為鉸支，承受軸向壓力壓應(yīng)力[]=160MPa，試確定橫截面的邊寬a。17題11-21圖1.查角鋼的有關(guān)數(shù)據(jù)1查得（參看圖11-21）解：F由書中附錄表圖11-21A9.397cm29.397104m21I57.35cm45.735107m41y2.19cm0.0219m02.計(jì)算慣性矩及橫截面面積I4[IA(y)2]4[5.735107(9.397104)(a20.0219)2]m4a2z110[9.397104a28.232105a4.097106]m4(a)A4A49.397104m23.759103m213.計(jì)算折減系數(shù)σF450103＝[σ]A[σ]3.7591031601060.748λ4.查值79根據(jù)值及所給材料，由圖查到。5．確定邊寬a依據(jù)柔度算式λlA/I，可得IA(l)23.759103(16)2m42.168105m4792(b)λ2注意到式(b)與式(a)相等，由此得(9.397104a28.232105a4.097106)2.16810518化簡后成為a28.76102a1.8711020a8.76102(8.76102)241.871100.08760.2873m22m2舍去增根，得a0.1874m187.4mm。11-23圖示壓柱，由兩根槽鋼焊接而成，在其中點(diǎn)橫截面C處，開有一直徑為d=60mm的圓孔，立柱用低碳鋼Q275制成，許用壓應(yīng)力[]=180MPa，軸向壓力F=400kN。試選擇槽鋼型號(hào)。題11-23圖解：1．第一次試算設(shè)取，得0.51F400103NA[]0.5（180106Pa)4.444103m2單根槽鋼的橫截面面積為A'=2.22210-3m。從書中附錄F型鋼表中查得№16槽鋼橫截面的有2關(guān)數(shù)據(jù)為A25.162cm22.5162103m2,I935cm49.35106m4zI83.4cm48.34107m4,b65mm6.5102myz1.75cm1.75102m0由此可得立柱橫截面的有關(guān)幾何量為A22.5162103m25.032103m2I29.35106m41.87105m4zI2[8.341072.5162103(6.51.75)2104]m41.302105m4Iyz1.3021055.032103im5.087102mmin于是有l(wèi)0.565.08710258.97iminF400103NA5.032103m27.95107Pa79.5MPa19從圖中查得0.822，由此得'1[]'[]0.822(180106Pa)148.0MPast1穩(wěn)定許用應(yīng)力超過工作應(yīng)力甚多，故需再算。2．第二次試算設(shè)取12(0.50.822)0.6612由此可得400103NA0.661(180106Pa)3.36103m2單根槽鋼的橫截面面積為A'1.68103m2。從型鋼表中查得№14a槽鋼橫截面的有關(guān)數(shù)據(jù)為A18.516cm21.8516103m2,I564cm45.64106m4zI53.2cm45.32107m4,b58mm5.8102myz1.71102m0由此可得立柱橫截面的有關(guān)幾何量為A21.8516103m23.7032103m2I2[5.321071.8516103(5.81.71)2104]m4y7.259106m4Iz7.2591063.7032103im4.427102mmin于是有0.564.42710267.77400103N3.7032103m2108.0MPa'2從圖中查得0.782，由此得[]0.782180MPa140.8MPast穩(wěn)定許用應(yīng)力超過工作應(yīng)力仍然較多，還需再算。3．第三次試算設(shè)取2012(0.6610.782)0.7223由此可得400103NA0.722(180106MPa)3.078103m2單根槽鋼的橫截面面積為A'1.539103m2。從型鋼表中查得槽鋼橫截面的有關(guān)數(shù)據(jù)№12.6為A=15.692cm2=1.5692×10-3m2,I=391cm4=3.91×10-6m4zIy=38.0cm4=3.80×10-7m4,b=53mm=5.3×0-2mz0=1.59cm=1.59××10m-2由此可得立柱橫截面的有關(guān)幾何量為A21.5692103m23.1384103m2I2[3.801071.5692103(5.31.59)2104]m45.080106m4Iyz5.0801063.1384103iminm4.023102m于是有0.564.02310274.57400103N3.1384103m2127.5MPa'30.742，由此得從圖中查得[]0.742180MPa133.6MPast穩(wěn)定許用應(yīng)力略大于工作應(yīng)力（大4.8%)，選用№12.6槽鋼能滿足穩(wěn)定性要求。4．強(qiáng)度校核查型鋼表，得№12.6槽鋼的t=5.5mm=5.5×10-3m，由此得F400103NA2(1.5692103601035.5103)m2161.4MPa[]C可見，其強(qiáng)度也符合要求。5．結(jié)論選用№12.6槽鋼。21第十二章彎曲問題進(jìn)一步研究12-1在梁的圖示橫截面上，彎矩M=10kN·m。已知慣性矩I=I=4.7×106mm4，慣性積Iyz=yz2.78×106mm4，試計(jì)算最大彎曲正應(yīng)力。問題3-2圖解：1.確定危險(xiǎn)點(diǎn)位置截面的主形心軸u與v如圖b所示，其方位角為45根據(jù)慣性矩轉(zhuǎn)軸公式，得截面的主形心慣性矩為II1.97106m4uIIsin24.75106m4(2.78106m4)sin907.53106m4yyzv將彎矩M沿主形心軸u與v分解，得相應(yīng)分量分別為M(10103Nm)sin152.59103NmuM(10103Nm)cos159.66103Nmv于是得中性軸的方位角為arctanMvIuarctan(9.66103Nm)(1.97106m4)4418MI(2.5910Nm)(7.5310m)364uv其方位如圖b所示。可見，在截面的角點(diǎn)a與b處，分別作用有最大彎曲拉應(yīng)力與最大彎曲壓應(yīng)力。2.最大彎曲應(yīng)力計(jì)算在坐標(biāo)系C-yz內(nèi)，角點(diǎn)a的坐標(biāo)為0.084m，z0.020maya在坐標(biāo)系C-uv內(nèi)，該點(diǎn)的坐標(biāo)則為uycoszsin0.0735maaaysin0.0453mavzcosaa1于是得角點(diǎn)a處的彎曲正應(yīng)力為MvMu(2.59103Nm)(0.0453m)(9.66103Nm)(0.0753m)156MPauavaII1.9710m7.5310m64a64uv角點(diǎn)b位于坐標(biāo)軸v，其縱坐標(biāo)為0.0509mvb因此，該點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力為Mv(2.59103Nm)(0.0509m)66.9MPaubI1.9710m64bu可見，最大彎曲正應(yīng)力為156MPamaxa12-4圖示截面薄壁梁，剪力F=5kN。試畫彎曲切應(yīng)力分布圖，并計(jì)算最大彎曲切應(yīng)力。Sy題12-4圖解：設(shè)形心C示如圖12-4（1），則圖12-4y0.1000.0100.050m0.025m0.1000.0102C0.0100.100312I(0.0100.1000.02520.0100.1000.0252)m42.08106m4z2S410.0100.0252.51011Z122S0.0100.1000.0250.010(0.02522)Z2.51052.51045103222FSFS51031.25105N3.00106Pa3.00MPa2.081060.010m2Syz,max1I1,maxz151032.81105N6.75106Pa6.75MPa2.081060.010m2Syz,max2I2,maxz2彎曲切應(yīng)力分布圖示如圖12-4（2），6.75MPamax12-5一薄壁梁，其橫截面如圖所示，剪力F=40kN，壁厚=10mm。試：Sy（1）計(jì)算A，B與D三點(diǎn)處的彎曲切應(yīng)力；（2）確定截面的剪心位置。題12-5圖解：（1）算彎曲切應(yīng)力坐標(biāo)示如圖12-5。3圖12-5由圖可知，I[20.0100.2003123.335105m420.1000.0100.100220.1000.0103]m412z20.0100.0502m31.25105m3S()y22z,AAS()(0.0100.10020.0100.1000.1000.0100.0500.075)m32z,B1.875104m3據(jù)公式zFSISz得401031.25105N1.49910Pa1.499MPa63.335100.010m2A5401031.875104N2.2510Pa22.5MPa73.335100.010m2B522.5MPa（因?yàn)樯舷聦?duì)稱）DB（2）確定截面的剪心位置e。因?yàn)樯舷聦?duì)稱，所以剪心必在z軸上，問題歸結(jié)為求z據(jù)合力矩定理，取G點(diǎn)為矩心（見圖12-5），有FSyeF10.1002F20.200z其中，F(xiàn)0.0050.10031.6667106FSy0.100FqdSy3IIz1110z4SySyFF0.1002FqdI0.0050.10030.0050.10031.0000105I220zz于是，12eF0.1002F0.200Fmz1Sy13.3351050.2001.66671060.2001.0000105m0.070m70.0mm(腹板形心左側(cè))12-6試指出圖示截面的剪心位置。題12-6圖解：（a）雙對(duì)稱截面，剪心（b）角鋼形截面，剪心（c）T形截面，剪心與形心重合；在二邊條中心線相交處；在翼緣中心線與腹板中心線相交處。12-9試確定圖示各截面的剪心位置。題12-9圖(a)解：由圖12-9a(1)可知，S()RcosRdR2sinz0000πR32I0z5因此，F(xiàn)S()2Fsinq()SyzSyIπRz0圖12-9(a)O為矩形，根據(jù)合力矩定理可知，如圖12-9a(2)所示，以圓心π2FRsin4FRπ0dFeRq()RdSy0Sy0ππSyz000由此得，e4R0πzF（b）解：設(shè)剪力作用于剪心E（見圖12-9b），有SyFFFSySy1Sy2及h32FSyFhhSy23132FFSy2和分別為左、右腹板分擔(dān)的剪力。其中，Sy1圖12-9(b)6取矩，有對(duì)左腹板形心C1FzFbSyeSy2由此得Fh32zSy2bb（在左翼緣形心右側(cè)）Fh3he32Sy112-10圖示用鋼板加固的木梁，承受載荷F=10kN作用，鋼與木的彈性模量分別為Es=200GPa與Ew=10GPa。試求鋼板與木梁橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力以及截面C的撓度。題12-10圖解：以鋼為基本材料，模量比為nEEw120s等效截面示如圖12-10，其形心坐標(biāo)為y[0.0050.2000.1000.1000.0100.205]m0.1525m0.0050.2000.1000.010C該截面的慣性矩為0.0050.20030.0050.2000.15250.1002Iz[120.1000.01030.1000.0100.2050.15252]m48.85106m412由此得0.210y2101010.2100.1525N4.3310Pa43.3MPaMmax3ts,max7CIz38.8510m62nMy121010310.1525N5.7410Pa5.74MPacw,max6maxCIz2038.8510m627圖12-10最后，根據(jù)公式wFbx(x2l2b2)6lEIw。求撓度C這里，xa2m,b1m,l3m,EE,IIz.s得wFba(a2l2b2)1010312(223212)Nm463200108.85106Nm396lEICzs2.51103m2.51mm12-1