第3講-基本幾何元素的投影

第3講--基本幾何元素的投影第一頁(yè)，共64頁(yè)?？臻g點(diǎn)用大寫(xiě)字母表示，點(diǎn)的投影用小寫(xiě)字母表示。VWHOXYZAa’aa’’3.1.1點(diǎn)的三面投影及其展開(kāi)YWZOXYHa’aa’’3.1點(diǎn)的投影第一頁(yè)第二頁(yè)，共64頁(yè)。VWHOXYZAa’aa’’OXYWYHZa’aa’’3.1.2點(diǎn)的三面投影和坐標(biāo)第二頁(yè)第三頁(yè)，共64頁(yè)。點(diǎn)的投影規(guī)律點(diǎn)的正面投影和水平投影的連線垂直于OX軸點(diǎn)的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸點(diǎn)的水平投影到OX軸的距離等于點(diǎn)的側(cè)面投影到OZ軸的距離長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等投影點(diǎn)間的連線和投影軸的關(guān)系：a’a⊥OXa’a”⊥OZaax＝a”az第三頁(yè)第四頁(yè)，共64頁(yè)。點(diǎn)的投影規(guī)律OXYHYWZa’aa’’b’bb’’c’cc’’第四頁(yè)第五頁(yè)，共64頁(yè)。利用點(diǎn)的兩個(gè)投影求第三個(gè)投影如果知道點(diǎn)的兩個(gè)投影，則該點(diǎn)在空間的位置就確定了，因此它的第三投影也唯一確定。

第五頁(yè)第六頁(yè)，共64頁(yè)?！瘛馻

aax已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影。●a

●●a

aaxazaz方法一:通過(guò)作45°線使a

az=aax方法二:用分規(guī)直接量取a

az=aaxa

●第六頁(yè)第七頁(yè)，共64頁(yè)。點(diǎn)在投影面和投影軸上的投影規(guī)律

點(diǎn)在投影面上；點(diǎn)在投影軸上點(diǎn)的兩個(gè)投影落在投影軸上；點(diǎn)的三個(gè)投影和其本身重合第七頁(yè)第八頁(yè)，共64頁(yè)。d’dee’f’f’’e’’fd’’zxYW

YH0例：已知點(diǎn)的兩投影，求其第三投影daa’a’’第八頁(yè)第九頁(yè)，共64頁(yè)。1.兩點(diǎn)的相對(duì)位置3.1.3兩點(diǎn)的投影及重影點(diǎn)第九頁(yè)第十頁(yè)，共64頁(yè)。例二：題解第十頁(yè)第十一頁(yè)，共64頁(yè)。重影點(diǎn):空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。OXYWYHZa’aa’’b’b’’(b)重影點(diǎn)在三對(duì)坐標(biāo)值中，必定有兩對(duì)相等。從投影方向觀看，重影點(diǎn)必有一個(gè)點(diǎn)的投影被另一個(gè)點(diǎn)的投影遮住而不可見(jiàn)。判斷重影點(diǎn)的可見(jiàn)性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見(jiàn)，反之不可見(jiàn)，不可見(jiàn)點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共64頁(yè)。3.2直線的投影:1.投影面垂直線:垂直于一個(gè)投影，平行于另二個(gè)投影面2.投影面平行線:平行于一個(gè)投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面

3.一般位置直線:

傾斜于三個(gè)投影面的直線。

第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共64頁(yè)。2、投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共64頁(yè)。投影面垂直線的投影特性

投影面垂直線種類正垂線：⊥V面，∥H，∥W鉛垂線：⊥H面，∥V，∥W側(cè)垂線：⊥W面，∥H，∥V。投影面垂直線投影特性當(dāng)直線AB垂直于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影ab變成一個(gè)點(diǎn)a≡b。直線上任一點(diǎn)M的投影m也重合在這個(gè)點(diǎn)上，這種性質(zhì)叫積聚性；在另外兩個(gè)投影面的投影垂直于相應(yīng)的投影軸，且反映實(shí)長(zhǎng)。

第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共64頁(yè)。鉛垂線的投影第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共64頁(yè)?？偨Y(jié)：投影面垂直線的投影特性

在所垂直的投影面上積聚為一點(diǎn)；其它兩投影垂直于相應(yīng)的投影軸。第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共64頁(yè)。1、投影面的平行線水平線正平線側(cè)平線第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共64頁(yè)。投影面平行線的投影特性

投影面平行線種類正平線：∥V，對(duì)H、W面傾斜。水平線：∥H，對(duì)V、W傾斜。側(cè)平線：∥W．對(duì)H、V傾斜。投影面平行線投影特性在直線所平行的投影面上，投影反映實(shí)長(zhǎng)；且其投影與投影軸的夾角反映直線與相應(yīng)投影面的傾角；在另外兩個(gè)投影面上的投影小于實(shí)長(zhǎng)，且平行于相應(yīng)的投影軸。

第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共64頁(yè)。反映ＡＢ實(shí)長(zhǎng)正平線投影圖第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共64頁(yè)。總結(jié):投影面平行線的投影特性

在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)；其它兩投影平行于相應(yīng)的投影軸，且小于實(shí)長(zhǎng)。第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共64頁(yè)。一般位置直線的投影特性直線的各投影均對(duì)投影軸傾斜；直線的各投影與投影軸的夾角并不反映空間直線與相應(yīng)投影面的傾角。當(dāng)直線AB傾斜于投影面時(shí)，它在該投影面上的投影ab長(zhǎng)度小于實(shí)長(zhǎng)，縮短多少，根據(jù)對(duì)投影面夾角大小確定。

第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共64頁(yè)。投影特性：三個(gè)投影都縮短。即:都不反映空間線段的實(shí)長(zhǎng)及與三個(gè)投影面夾角的實(shí)大，且與三根投影軸都傾斜。abb

a

b

a

第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共64頁(yè)。討論：如何判斷直線于投影面關(guān)系投影面垂直線：有兩個(gè)垂直于投影軸的投影有一個(gè)投影積聚成一點(diǎn)投影面平行線：有一個(gè)平行于投影軸的投影一般位置直線：有兩個(gè)不平行于投影軸的投影第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共64頁(yè)。3.2.2直線上的點(diǎn)：①?gòu)膶傩裕狐c(diǎn)在直線上，點(diǎn)的投影在直線的同面投影上。②定比性：點(diǎn)分線段之比等于點(diǎn)的投影分線段的投影之比。AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

ABCVHbcc

b

a

a第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共64頁(yè)。點(diǎn)Ｃ的投影在直線的同面投影上，并符合點(diǎn)的投影規(guī)律。

C點(diǎn)在直線ＡＢ上NEW第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共64頁(yè)。例：判斷點(diǎn)Ｍ是否在直線ＣＤ上解法１：

點(diǎn)Ｍ的投影不符合點(diǎn)在直線上的投影規(guī)律，故Ｍ點(diǎn)不在直線ＣＤ上。NEW第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共64頁(yè)。d0M0解法２例：判斷點(diǎn)Ｍ是否在直線ＣＤ上O

點(diǎn)Ｍ的投影不符合直線上點(diǎn)定比性，故Ｍ點(diǎn)不在直線ＣＤ上。第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共64頁(yè)。已知點(diǎn)C在線段AB上，求點(diǎn)C的正面投影。b

Xa

abcc

accbXOABbb

aa

c

CcHV第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共64頁(yè)。3.2.3直線與直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置同面直線異面直線平行相交交叉第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共64頁(yè)。例：已知直線AB平行直線CD，試完成直線AB和CD的三面投影。第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共64頁(yè)。題解：acbb″〝da″〝c″〝d″〝d′〝a′〝c′〝b′〝NEW第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共64頁(yè)。兩相交直線第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共64頁(yè)。兩交叉直線正面投影重影點(diǎn)水平投影重影點(diǎn)重影點(diǎn)的可見(jiàn)性判斷第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共64頁(yè)。b

d

c

a

cbadd

b

a

c

AB與CD不平行。判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共64頁(yè)。3.3平面的投影1、平面的表示法●●●●●●abca

b

c

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)●●●●●●abca

b

c

直線及線外一點(diǎn)abca

b

c

●●●●●●d●d

●兩平行直線abca

b

c

●●●●●●兩相交直線●●●●●●abca

b

c

平面圖形第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共64頁(yè)。各種位置的平面平面特殊位置平面一般位置平面投影面垂直面投影面平行面3.3.2各種位置的平面的投影特性第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共64頁(yè)。VWHPPH鉛垂面投影特性：1、abc積聚為一條線2、a

b

c

、a

b

c

為

ABC的類似形3、abc與OX、OY的夾角反映

、

角的真實(shí)大小

ABCacb

a

b

a

b

bacc

c

第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共64頁(yè)。VWHQQV正垂面投影特性：1、a

b

c

積聚為一條線2、abc、a

b

c

ABC的類似形3、a

b

c

與OX、OZ的夾角反映α、

角的真實(shí)大小

αa

b

a

b

bac

c

cAc

Ca

b

B第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共64頁(yè)。VWHSWS側(cè)垂面投影特性：1、a

b

c

積聚為一條線2、abc、a

b

c

為

ABC的類似形3、a

b

c

與OZ、OY的夾角反映α、β角的真實(shí)大小

Ca

b

ABc

a

b

b

baa

αβcc

c

第三十九頁(yè)第四十頁(yè)，共64頁(yè)。投影面垂直面投影特性垂直于一個(gè)投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面。正垂面：垂直于V面，對(duì)H，W面傾斜鉛垂面：垂直于H面，對(duì)V，W面傾斜側(cè)垂面：垂直于W面，對(duì)H，V面傾斜投影面垂直面的投影特性：平面所垂直的投影面上的投影積聚為直線，與投影軸的夾角，分別反映平面對(duì)另兩個(gè)投影面的真實(shí)傾角。（積聚性）在另外兩個(gè)投影面上的投影均為縮小的平面圖形。（類似性）

第四十頁(yè)第四十一頁(yè)，共64頁(yè)。VWH水平面投影特性：1、a

b

c

、a

b

c

積聚為一條線積聚為一條線，具有積聚性2、水平投影abc反映

ABC實(shí)形

CABa

b

c

baca

b

c

ca

b

b

baa

c

c

第四十一頁(yè)第四十二頁(yè)，共64頁(yè)。正平面VWH投影特性：1、abc、a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性2、正平面投影a

b

c

反映

ABC實(shí)形

c

a

b

b

a

c

bcab

a

c

a

b

c

bcaCBA第四十二頁(yè)第四十三頁(yè)，共64頁(yè)。投影特性：1、abc、a

b

c

積聚為一條線，具有積聚性2、側(cè)平面投影a

b

c

反映

ABC實(shí)形

側(cè)平面VWHa

b

b

ba

c

c

cab

c

baca

b

c

CABa

第四十三頁(yè)第四十四頁(yè)，共64頁(yè)。投影面平行面投影特性平行于一個(gè)投影面，垂直于另兩個(gè)投影面。正平面：平行于V面，對(duì)H，W面垂直水平面：平行于H面，對(duì)V，W面垂直側(cè)平面：平行于W面，對(duì)H，V面垂直投影面平行面投影特性：平面所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；（實(shí)形性）平面在另外兩個(gè)投影面上的投影均積聚成直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。（積聚性）第四十四頁(yè)第四十五頁(yè)，共64頁(yè)。一般位置平面投影特性對(duì)V，H，W面都傾斜，不在同一直線上的三點(diǎn)構(gòu)成的平面。投影特性一般位置平面的投影特性：三面投影仍為平面圖形，且面積縮小。其投影為和原來(lái)形狀類似的圖形。（類似性）

第四十五頁(yè)第四十六頁(yè)，共64頁(yè)。一般位置平面投影特性1、abc、a

b

c

、a

b

c

均為

ABC的類似形2、不反映

、

、

的真實(shí)角度

a

b

c

baca

b

a

b

b

a

c

c

bacCAB第四十六頁(yè)第四十七頁(yè)，共64頁(yè)。平面和直線投影特點(diǎn)實(shí)形性：投影反映實(shí)形。直線或平面平行于投影面時(shí)。積聚性：投影積聚成一點(diǎn)或一條線。直線或平面垂直于投影面時(shí)。類似性：投影成為縮小的類似形。直線或平面傾斜于投影面時(shí)。第四十七頁(yè)第四十八頁(yè)，共64頁(yè)。3.3.2平面上的點(diǎn)和直線

點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件是：(1)點(diǎn)在平面上，則該點(diǎn)必定在平面上的一條直線上。(2)直線在平面上，則該直線必定通過(guò)這個(gè)平面上的兩個(gè)點(diǎn)；或者通過(guò)平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。上述幾何條件，是解決有關(guān)平面上點(diǎn)和直線的作圖和判別等習(xí)題的依據(jù)?？梢越鉀Q三類問(wèn)題：判別已知點(diǎn)、線是否屬于平面；完成已知平面上的點(diǎn)和直線的投影；完成多邊形的投影。

第四十八頁(yè)第四十九頁(yè)，共64頁(yè)。先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。b①acc

a

k

b

●k●

面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線②●abca’b

k

c

d

k●d利用平面的積聚性求解通過(guò)在面內(nèi)作輔助線求解第四十九頁(yè)第五十頁(yè)，共64頁(yè)。例題2

已知

ABC給定一平面，試判斷點(diǎn)D是否屬于該平面。d

da

b

c

abcee

第五十頁(yè)第五十一頁(yè)，共64頁(yè)。a

b

c

bac例題已知

ABC給定一平面，試過(guò)點(diǎn)C作屬于該平面的正平線，過(guò)點(diǎn)A作屬于該平面的水平線。m

n

nm第五十一頁(yè)第五十二頁(yè)，共64頁(yè)。bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc例3：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCD的水平投影。解法一解法二第五十二頁(yè)第五十三頁(yè)，共64頁(yè)。3.5回轉(zhuǎn)曲面的投影3.5.1回轉(zhuǎn)曲面的形成特點(diǎn)母線軸線母線軸線母線軸線第五十三頁(yè)第五十四頁(yè)，共64頁(yè)。3.5.2圓柱體、筒體1.母線2.素線3.回轉(zhuǎn)軸4.緯圓第五十四頁(yè)第五十五頁(yè)，共64頁(yè)。在圓柱表面上取點(diǎn)已知圓柱表面上的點(diǎn)M及N正面投影a’、b’、m′和n′，求它們的其余兩投影。圓柱表面上取點(diǎn)a’a”ab’(b”)b第五十五頁(yè)第五十六頁(yè)，共64頁(yè)。筒體：第五十六頁(yè)第五十七頁(yè)，共64頁(yè)。3.5.3圓錐體如果是圓錐轉(zhuǎn)向輪廓線上的點(diǎn)，可以直接作出點(diǎn)的其它兩個(gè)投影。如果在圓錐面上一般位置的點(diǎn)K，就只能作輔助線，才能由一