第1課時(shí) 直接開平方法教案

第1課時(shí)直接開平方法（教案）21.2解一元二次方程21.2.1配方法第1課時(shí)直接開平方法學(xué)習(xí)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1.會(huì)利用開平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法；3.能根據(jù)具體問題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性；【過程與方法】體會(huì)類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想方法?！厩楦袘B(tài)度】在成功解決實(shí)際問題過程中，體驗(yàn)成功的快樂，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心和樂趣?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】解形如x2=p(p≥0)的方程。【教學(xué)難點(diǎn)】把一個(gè)方程化成x2=p(p≥0)的形式。教學(xué)過程一、情境導(dǎo)入，初步認(rèn)識(shí)問題我們知道，42=16,(-4)2=16，如果有x2=16，你知道x的值是多少嗎？說說你的想法.如果3x2=18呢？【教學(xué)說明】讓學(xué)生通過回顧平方根的意義初步感受利用開平方法求簡(jiǎn)單一元二次方程的思路，引入新課.教學(xué)時(shí)，教師提出問題后，讓學(xué)生相互交流，在類比的基礎(chǔ)上感受新知.解：如果x2=16，則x=±4;若3x2=18,則x=±√6二、思考探究，獲取新知探究一桶油漆可刷的面積為1500dm2，小明用這桶油漆恰好刷完10個(gè)同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長(zhǎng)嗎？思考1設(shè)一個(gè)盒子的棱長(zhǎng)為xdm，則它的外表面面積為，10個(gè)這種盒子的外表面面積的和為，由此你可得到方程為，你能求出它的解嗎？解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根據(jù)平方根的意義，得x=±5,可以驗(yàn)證，5和-5是原方程的兩個(gè)根，因?yàn)槔忾L(zhǎng)不能為負(fù)值，所以盒子的棱長(zhǎng)為5dm,故x=5dm.【教學(xué)說明】學(xué)生通過自主探究，嘗試用開平方法解決一元二次方程，體驗(yàn)成功的快樂.教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思考是否正確，是否注意到實(shí)際問題的解與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的解之間的關(guān)系，幫助學(xué)生獲取新知.【歸納結(jié)論】一般地，對(duì)于方程x2=p,（Ⅰ）（1）當(dāng)p>0時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程（Ⅰ）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1=-x2=(2)當(dāng)p=0時(shí)，方程（Ⅰ）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=0;(3)當(dāng)p<0時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）無實(shí)數(shù)根.思考2對(duì)上面題解方程（Ⅰ）的過程，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣解方程（x+3）2=5?學(xué)生通過比較它們與方程x2=25異同，從而獲得解一元二次方程的思路.在解方程（Ⅰ）時(shí)，由方程x2=25得x=±5.由此想到：由方程（x+3）2=5,②得x+3=±√5,即x+3=√5或x+3=-√5.③于是，方程（x+3）2=5的兩個(gè)根為x1=-3+√5,x2=-3-√5.【教學(xué)說明】教學(xué)時(shí)，就讓學(xué)生獨(dú)立嘗試給出解答過程，最后教師再給出規(guī)范解答，既幫助學(xué)生形成用直接開平方法解一元二次方程的方法，同時(shí)為以后學(xué)配方法作好鋪墊，讓學(xué)生體會(huì)到類比、轉(zhuǎn)化、降次的數(shù)學(xué)思想方法.【歸納結(jié)論】上面的解法中，由方程②得到③，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，這樣就把方程②轉(zhuǎn)化為我們會(huì)解的方程了.【教學(xué)說明】上述歸納結(jié)論應(yīng)由師生共同探討獲得，教師要讓學(xué)生知道解一元二次方程的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化.三、典例精析，掌握新知例解下列方程：（教材第6頁練習(xí)）(1)2x2-8=0;(2)9x2-5=3;(3)(x+6)2-9=0;(4)3(x-1)2-6=0;(5)x2-4x+4=5;(6)9x2+5=1.解：(1)原方程整理，得2x2=8,即x2=4,根據(jù)平方根的意義，得x=±2,即x1=2,x2=-2.【教學(xué)說明】本例可選派幾位同學(xué)上黑板演算，其余同學(xué)自主探究，獨(dú)立完成.教師巡視全場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)予以糾正，幫助學(xué)生深化理解，最后師生共同給出評(píng)析，完善認(rèn)知.特別要強(qiáng)調(diào)用直接開平方法開方時(shí)什么情況下是無實(shí)根的.四、運(yùn)用新知，深化理解1.若8x2-16=0，則x的值是.2.若方程2(x-3)2=72，那么這個(gè)一元二次方程的兩根是.3.如果實(shí)數(shù)a、b滿足3a+4+b2-12b+36=0,則ab的值為.4.解關(guān)于x的方程：(1)(x+m)2=n(n≥0);(2)2x2+4x+2=5.5.已知方程（x-2）2=m2-1的一個(gè)根是x=4,求m的值和另一個(gè)根.【教學(xué)說明】讓學(xué)生獨(dú)立完成，加深對(duì)本節(jié)知識(shí)的理解和掌握.五、師生互動(dòng)，課堂小結(jié)教師可以向?qū)W生這樣提問：(1)你學(xué)會(huì)怎樣解一元二次方程了嗎？有哪些步驟？(2)通過今天的學(xué)習(xí)你了解了哪些數(shù)學(xué)思想方法？與同伴交流.【教學(xué)說明】教師可引導(dǎo)學(xué)生提煉本節(jié)知識(shí)及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法.作業(yè)和練習(xí)1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題21.2”中選取.2.完成練習(xí)冊(cè)中本課時(shí)練習(xí)的“課后作業(yè)”部分.教學(xué)反思1.本課時(shí)通過創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生探索新知的欲望.2.本課時(shí)還通過回憶舊知識(shí)為新知學(xué)習(xí)作好鋪墊.3.教師引導(dǎo)學(xué)生自主、合作、探究、驗(yàn)證，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解析問題的能力.4.本節(jié)課主要是平方根的延伸。

初中數(shù)學(xué)《直接開平方法》微課+知識(shí)點(diǎn)+練習(xí)題+教學(xué)設(shè)計(jì)匯編知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1．直接開方法解一元二次方程：(1)直接開方法解一元二次方程：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法稱為直接開平方法.(2)直接開平方法的理論依據(jù)：平方根的定義.(3)能用直接開平方法解一元二次方程的類型有兩類：要點(diǎn)詮釋：用直接開平方法解一元二次方程的理論依據(jù)是平方根的定義，應(yīng)用時(shí)應(yīng)把方程化成左邊是含未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負(fù)數(shù)的形式，就可以直接開平方求這個(gè)方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步驟①將方程右邊化為0；②將方程左邊分解為兩個(gè)一次式的積；③令這兩個(gè)一次式分別為0，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要點(diǎn)詮釋：（1）能用分解因式法來解一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：方程的一邊是0，另一邊可以分解成兩個(gè)一次因式的積；（2）用分解因式法解一元二次方程的理論依據(jù)：兩個(gè)因式的積為0，那么這兩個(gè)因式中至少有一個(gè)等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意點(diǎn)：①必須將方程的右邊化為0；②方程兩邊不能同時(shí)除以含有未知數(shù)的代數(shù)式.【典型例題】類型一、用直接開平方法解一元二次方程【總結(jié)升華】應(yīng)當(dāng)注意，如果把x+m看作一個(gè)整體，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接開平方法求解的方程；這就是說，一個(gè)方程如果可以變形為這個(gè)形式，就可用直接開平方法求出這個(gè)方程的根．所以，(x+m)2=n可成為任何一元二次方程變形的目標(biāo)．舉一反三：類型二、因式分解法解一元二次方程【總結(jié)升華】若把各項(xiàng)展開，整理為一元二次方程的一般形式，過程太煩瑣．觀察題目結(jié)構(gòu)，可將x+1看作m，將(2-x)看作n，則原方程左端恰好為完全平方式，于是此方程利用分解因式法可解．舉一反三：【變式】方程(x-1)(x+2)＝2(x+2)的根是________．【答案】將(x+2)看作一個(gè)整體，右邊的2(x+2)移到方程的左邊也可用提取公因式法因式分解．即(x-1)(x+2)-2(x+2)＝0，(x+2)[(x-1)-2]＝0．∴(x+2)(x-3)＝0，∴x+2＝0或x-3＝0．∴x1＝-2x2＝3．【總結(jié)升華】如果把視為一個(gè)整體，則已知條件可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)一元二次方程的形式，用因式分解法可以解這個(gè)一元二次方程．此題看似求x、y的值，然后計(jì)算，但實(shí)際上如果把看成一個(gè)整體，那么原方程便可化簡(jiǎn)求解。這里巧設(shè)再求z值，從而求出的值實(shí)際就是換元思想的運(yùn)用．練習(xí)題11.方程的解為；方程的解為。2.用直接開平方法解方程，方程必須滿足的條件是。3.當(dāng)時(shí)，分式的值為0.4.若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則。5.關(guān)于的方程有一根是2，則關(guān)于的方程的解為。6.若，則∶=。7.某小店今年七月份營(yíng)業(yè)額為500元，九月份上升到7200元，平均每月增長(zhǎng)的百分率為。8.解下列方程：（1）；（2）45－＝0；（3）－25＝0；（4）+16＝09.解下列方程：（1）－16＝0（2）(x－1)2－18＝0；（3）＝1；（4）－25＝010.解下列方程：（1）-36=0（2）3-=0（3）（4）（5）-2=0（6）（7）（8）（9）（10）11.解下列方程：（1）（2）（3）（4）12.已知一個(gè)等腰三角形的兩邊是方程的兩根，求等腰三角形的面積13.已知，，求的值。14.若，求的值。15.已知。（1）寫一個(gè)一元二次方程，使得是該方程的一個(gè)解；（2）試證明是方程的一個(gè)解；（3）求的值。

教案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能：1、理解并掌握用直接開平方法解簡(jiǎn)單的一元二次方程。2、能利用直接開平方法解決實(shí)際問題，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力。（二）過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷利用直接開平方法解一元二次方程的過程，使學(xué)生體會(huì)到轉(zhuǎn)化、關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)思想。（三）情感,態(tài)度與價(jià)值觀啟發(fā)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察,分析,尋找解題的途徑，提高學(xué)生分析問題,解決問題的能力。二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：能靈活運(yùn)用直接開平方法解一元二次方程難點(diǎn)：把一元二次方程轉(zhuǎn)化為（x＋m）2=n（n≥0）的形式。三、學(xué)習(xí)過程：（一）自主試行請(qǐng)同學(xué)們回憶一下：1、什么叫做平方根?平方根有哪些性質(zhì)?2、x2＝4表示什么意思？我們可以根據(jù)平方根的定義，得x＝±2即此一元二次方程的解為：x1=2，x2=－2這種解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。今天我們學(xué)習(xí)第一種解一元二次方程的解法——直接開平方法（二）合作同行例1解下列方程：（1）x2＝3（2）4x2－1＝0分析：第1題直接用開平方法解；第2題可先將－1移項(xiàng)，再兩邊同時(shí)除以4化為x2＝a的形式，再用直接開平方法解之。例2解下列方程：⑴（x＋1）2=2⑵（x－1）2－4=0⑶12（3－x）2－3=分析：第1小題中只要將（x＋1）看成是一個(gè)整體，就可以運(yùn)用直接開平方法求解；第2小題先將－4移到方程的右邊，再同第1小題一樣地解；第3小題先將－3移到方程的右邊，再兩邊同除以12，再同第1小題一樣地去解即可。小結(jié)：1、用直接開方法解一元二次方程（x+m）2=n必須滿足：2、用直接開平方法解一元二次方程就是將一元二次方程的左邊化為一個(gè)完全平方式，右邊化為常數(shù)例3一個(gè)球的表面積是求這個(gè)球的半徑。（球的表面積,其中,1002cmπ24RSπ=是球半徑）R（三）展評(píng)勵(lì)行1、解下列方程：（1）（2）（3）162=x01442=-y03132=-x2、解下列方程：（1）（2）(1－3x)2＝1；（3）4)1(2=-x025)4(2=--x3．已知如圖所示的圖形的面積為24，根據(jù)圖中的條件，求x的值．*4.已知關(guān)于x的一元二次方程，請(qǐng)你選取一個(gè)適當(dāng)?shù)?4416xxm-+=-m的值，使方程能用直接開平方法求解，并解這個(gè)方程。

21.2.1配方法--直接開平方法配方法是解決一元二次方程最基礎(chǔ)的方法，也是萬能的方法，所有的一元二次方程均可以用這個(gè)方法求解。Part1直接開平方法這個(gè)部分可以通過以下例子來理解：x2=4················根據(jù)之前學(xué)習(xí)的乘方，我們可以得到x=±2；2x2=8··············影響直接開方的是二次項(xiàng)系數(shù)2，先兩邊同除以2，再計(jì)算；2x2+3=11······先解決3，移項(xiàng)，再兩邊同除以2，最后開放運(yùn)算。通過以上三個(gè)例子，我們學(xué)會(huì)了最簡(jiǎn)單的開方運(yùn)算。那么x在一個(gè)整體中，也可以用以下例子來理解：(x+1)2=4···········將x+1看成一個(gè)整體，先開方得到x+1=2或x+1=-2，再分別計(jì)算，這里我推薦將開方結(jié)果寫成兩個(gè)式子，再分別運(yùn)算，避免出錯(cuò)，不要寫成x+1=±2的形式。2(x+1)2=8·········方程兩邊同除以2，然后按上一個(gè)例子進(jìn)行計(jì)算。2(x+1)2+3=11···先移項(xiàng)，再除以2，再開方。以上我們就學(xué)會(huì)了最基本的直接開方法，最后一種就是可以湊成完全平方公式的一元二次方程，也可以用直接開方法。復(fù)習(xí)一下完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2。根據(jù)公式，對(duì)于一元二次方程，如果能湊成完全平方公式，那么一定有三項(xiàng)，二次項(xiàng)，一次項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)。例