考研數(shù)學(xué)二一元函數(shù)積分學(xué)

考研數(shù)學(xué)二一元函數(shù)積分學(xué)1.【單項(xiàng)選擇題】下列結(jié)論中正確的是A.B.C.D.正確答案：A參考解析：2.【單項(xiàng)選擇題】A.B.C.D.正確答案：D參考解析：因?yàn)?.【單項(xiàng)選擇題】下列用牛頓一萊布尼茨公式計(jì)算定積分的做法中，錯(cuò)誤的做法一共有A.1個(gè)．B.2個(gè)．C.3個(gè)．D.4個(gè)．正確答案：D參考解析：

必須逐一分析

4.【單項(xiàng)選擇題】A.π．B.．C.．D.．正確答案：B參考解析：

方法1

分母先配方后再作平移變換

5.【單項(xiàng)選擇題】A.為正數(shù)．B.為負(fù)數(shù)．C.恒為零．D.不是常數(shù)．正確答案：A參考解析：

因被積函數(shù)是以丌為周期的函數(shù)，它在每個(gè)周期上的積分值相等，因此，6.【單項(xiàng)選擇題】由曲線y=1-(x-1)2及直線y=0圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成立體的體積V是A.B.C.D.正確答案：D參考解析：

把曲線表成x=x(y)，要分成兩條：7.【單項(xiàng)選擇題】A.B.C.D.正確答案：A參考解析：利用極坐標(biāo)方程表示曲線的弧長公式，

8.【單項(xiàng)選擇題】旋輪線x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)的質(zhì)心是A.B.C.D.正確答案：A參考解析：先求弧微分9.【單項(xiàng)選擇題】半圓形閘門半徑為R(米)，將其垂直放入水中，且直徑與水面齊．設(shè)ρg=1．若坐標(biāo)原點(diǎn)取在圓心，x軸正向朝下，則閘門所受壓力p為A.B.C.D.正確答案：C參考解析：10.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)f(x)在[0，+∞)上連續(xù)，在(0，+∞)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且則可得A.f(x)=Cx2-3x2ln(1+x)(x∈[0，+∞))，(C為任意常數(shù))．B.f(x)=x2-3x2ln(1+x)(x∈[0，+∞))．C.D.正確答案：C參考解析：

令tx=s，原方程變?yōu)?1.【單項(xiàng)選擇題】曲線y=x(x-1)(2-x)與x軸所圍成的圖形面積可表示為(??)．A.B.C.D.正確答案：C參考解析：12.【單項(xiàng)選擇題】A.a>1且b>1B.a>1且b<1C.a<1且a+b>1D.a<1且b<1正確答案：B參考解析：綜上，a>1且b<1，故選(B)．13.【單項(xiàng)選擇題】如圖所示，設(shè)立體的底是介于y=x2-1和y=0之間的平面區(qū)域，它垂直于x軸的任一截面是一個(gè)等邊三角形，則此立體的體積為(??)．A.B.C.D.正確答案：D參考解析：14.【單項(xiàng)選擇題】A.x=π是F(x)的跳躍間斷點(diǎn)B.x=π是F(x)的可去間斷點(diǎn)C.F(x)在x=π處連續(xù)但不可導(dǎo)D.F(x)在x=π處可導(dǎo)正確答案：C參考解析：

15.【單項(xiàng)選擇題】下列反常積分收斂的是（）．A.

B.

C.

D.

正確答案：A參考解析：

16.【單項(xiàng)選擇題】A.I=0B.I>0C.I<0D.不能確定正確答案：B參考解析：

17.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，則下列結(jié)論正確的是（）．A.②③B.①②C.②④D.①④正確答案：D參考解析：18.【單項(xiàng)選擇題】A.k>-1B.k<-1C.k>1D.k<1正確答案：D參考解析：

19.【單項(xiàng)選擇題】A.I僅依賴于sB.I僅依賴于tC.I依賴于s，tD.I依賴于s，t，x正確答案：B參考解析：20.【單項(xiàng)選擇題】A.P>1且q<1．B.P>1且q>1C.P<1且q<1D.P<1且q>1正確答案：A參考解析：

21.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】令x=-t，則22.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】23.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：-xsinx+cosx+C，C為任意常數(shù)【解析】

作變量替換tx=s，改寫方程為

24.【填空題】的極小值點(diǎn)是x=______．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：2【解析】25.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：26.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：27.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：28.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：29.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解】30.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】31.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】32.【填空題】計(jì)算下列不定積分．(1)(2)(3)(4)(5)(6：(7)(8)請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：(1)【解析】(2)【解析】(3)【解析】(4)【解析】(5)【解析】先將分式變形?？傻?6)【解析】方法一將被積函數(shù)變形，(7)【解析】(8)arctanex+C【解析】33.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】33.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】34.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：2e-2【解析】35.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】

36.【填空題】設(shè)對(duì)任意x，有f(x+4)=f(x)，且f'(x)=1+|x|，x∈[-2，2]，f(0)=1，則f(9)=_____.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】36.【填空題】設(shè)對(duì)任意x，有f(x+4)=f(x)，且f'(x)=1+|x|，x∈[-2，2]，f(0)=1，則f(9)=_____.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】37.【填空題】(Ⅰ)請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：(I)sinx2；(Ⅱ)xf(x2)；(Ⅲ)；(Ⅳ)；(V)；(Ⅵ)【解析】(I)(Ⅱ)(Ⅲ)利用(Ⅱ)，有(Ⅳ)(Ⅴ)(Ⅵ)38.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：解

39.【填空題】由曲線y=lnx與兩直線y=(e+1)-x及y=0所圍平面圖形的面積S=請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】如圖3—2所示，

40.【填空題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】41.【填空題】方程為_______.請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了正確答案：參考解析：【解析】42.【解答題】求下列積分：請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(IV)(V)43.【解答題】求下列積分：請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(I)(1I)(Ⅲ)(Ⅳ)(Ⅴ)(Ⅵ)44.【解答題】求下列積分：請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)在對(duì)稱區(qū)間上積分，考查被積函數(shù)的奇偶性．(Ⅱ)(Ⅲ)(IV)45.【解答題】求下列積分：(Ⅲ)(Ⅳ)請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(I)由題可知，xcos2x是奇函數(shù)，sin2xcos2x為偶函數(shù)，故(Ⅱ)令x2=sint，則2xdx=costdt，故(Ⅲ)(Ⅳ)46.【解答題】計(jì)算下列積分：(Ⅰ)(Ⅱ)請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(I)令x-1=t，則(Ⅱ)47.【解答題】設(shè)f(x)在[0，π]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=2，f(π)=1，計(jì)算請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：48.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

49.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：50.【解答題】(Ⅰ)(Ⅱ)請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)如圖3—7所示，用微元法．(Ⅱ)51.【解答題】(Ⅰ)求所圍面積A；(Ⅱ)求弧長L；(Ⅲ)求繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得體積V和表面積S．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)星形線如圖3—8所示．

(11)

(IH)

52.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

53.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：54.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：55.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

56.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：由于

57.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：58.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：I

59.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

60.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：

61.【解答題】請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：62.【解答題】設(shè)y=f(x)在[0，1]上是非負(fù)連續(xù)函數(shù)．(Ⅰ)證明：存在x0∈(0，1)，使得在[0，x0]上以f(x0)為高的矩形面積，等于在[x0，1]上以y=f(x)為曲邊的曲邊梯形面積；(Ⅱ)請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)63.【解答題】(Ⅰ)求常數(shù)a及點(diǎn)(x0，y0)；(Ⅱ)求兩曲線與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(I)(Ⅱ)64.【解答題】D繞直線x=2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：如圖3-14所示，D的邊界方程分別為65.【解答題】(Ⅰ)求D繞x軸，y軸各旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積；(II)求D繞直線y=2a旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(I)如圖3-16所示，(Ⅱ)66.【解答題】將半徑為R的球沉入水中，它與水面相切，設(shè)球的密度與水的密度相等，現(xiàn)將球從水中取出，問至少需要做功多少?請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：建立如圖3-17所示的坐標(biāo)系，圓的方程為x2+(y—R)2=R2．用微元法．任取[y，y+dy][0，2R]，將球從水中取出恰好離開水面時(shí)，薄片[y，y+dy]行程為2R，其中在水中移動(dòng)的距離為y，由于球與水的密度相等，所以重力與浮力的合力為零，故球在水中移動(dòng)所做功為零；在水面以上移動(dòng)的距離為2R—y，故克服重力做功的微元為67.【解答題】設(shè)f(c)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f'(x)>0，證明：存在唯一的ξ∈(a，b)，使得y=f(x)與y=f(ξ)，x=a所圍圖形的面積S1，和y=f(x)與y=f(ξ)，x=b所圍圖形的面積S2，滿足S1=3S2．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：依題意，如圖3—22所示，即證明存在唯一的ξ∈(a，b)，使得68.【解答題】(Ⅰ)寫出S1+S2關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；(Ⅱ)證明：S1+S2有最小值．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：(Ⅰ)依題意，如圖3—24所示．(Ⅱ)69.【解答題】設(shè)y=f(x)在[0，+∞)上非負(fù)連續(xù)，曲邊梯形D(t)={(x，y)|0≤x≤t，0≤y≤f(x)}，D(t)所圍圖形的面積s(t)=tet，D(t)繞直線x=t旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V(t)，求V(t)的表達(dá)式．請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了參考解析：用微元法求V(t)．任取[x，x+dx][0，t]，如圖3-26所示，則dV=2π(t—x)f(x)dx．69.【解答題】設(shè)y=f(x)在[0，+∞)上非負(fù)連續(xù)，曲邊梯形D(t)={(x，y)|0≤x≤t，0≤y≤f(x)}，D(t)所圍圖形的面積s(t)=tet，D(t)繞直線x=t旋轉(zhuǎn)一周