數(shù)學蘇教版必修4導學案1.3.4三角函數(shù)的應用

1.3.4三角函數(shù)的應用學習目標重點難點1．會用三角函數(shù)解決一些簡單的實際問題．2．體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.重點：會用三角函數(shù)解決一些簡單問題．難點：體會三角函數(shù)模型在解決周期性問題中的作用.1．三角函數(shù)模型的應用(1)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．(2)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)的最大值為A，最小值是－A，周期是eq\f(2π,|ω|)，頻率為eq\f(|ω|,2π).(3)三角函數(shù)模型的三種應用模式：一是給定具有周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實際問題；二是給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式(函數(shù)模型)，再解決其他問題；三是收集一組實際問題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點圖，通過擬合函數(shù)圖象，求出可近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進一步用函數(shù)模型來解決問題．預習交流在建模過程中，散點圖的作用是什么？提示：利用散點圖可以較為直觀地分析兩個變量之間的某種關系，然后利用這種關系選擇一種合適的函數(shù)去擬合這些散點，從而避免因盲目選擇函數(shù)模型而造成的不必要的失誤．2．應用三角函數(shù)模型解實際問題的步驟第一步：閱讀理解，審清題意．讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景；在此基礎上，分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應的數(shù)學問題．第二步：根據(jù)所給模型，列出函數(shù)關系式，根據(jù)已知條件和數(shù)量關系，建立函數(shù)關系式；在此基礎上將實際問題轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)問題．第三步：利用數(shù)學的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題(即數(shù)學模型)予以解答，求得結(jié)果．第四步：再將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實際問題的解答．一、三角函數(shù)在物理學中的應用表示電流I與時間t的關系式I＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)在一個周期內(nèi)的圖象，如圖所示．(1)根據(jù)圖象寫出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；(2)I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一段eq\f(1,100)秒的時間內(nèi)都能使I同時取到最大值|A|和最小值－|A|，那么正整數(shù)ω的最小值為多少？思路分析：(1)由一個周期內(nèi)的圖象可確定圖象的五個關鍵點，據(jù)此可求出解析式．(2)畫圖分析得：要使任意一段eq\f(1,100)秒的時間內(nèi)I能同時取到最大值和最小值，需要滿足周期T≤eq\f(1,100).解：(1)由圖可知：A＝300，周期T＝eq\f(1,60)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)))＝eq\f(1,50).∴ω＝eq\f(2π,T)＝100π，此時所求函數(shù)的解析式為I＝300sin(100πt＋φ)．以點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)，0))為“五點法”作圖的第一關鍵點則有100π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,300)))＋φ＝0，∴φ＝eq\f(π,3).得函數(shù)解析式為I＝300sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3))).(2)由題意知周期T≤eq\f(1,100)，即eq\f(2π,ω)≤eq\f(1,100)?ω≥200π?ω≥628.3.由于ω為正整數(shù)，故ω的最小值為629.如圖所示的是彈簧掛著小球做上下運動，時間t(s)與小球相對平衡位置(即靜止時的位置)的高度h(cm)之間的函數(shù)關系式是h＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,4)))，t∈[0，＋∞)．(1)以t為橫坐標，h為縱坐標，畫出函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間上的簡圖；(2)小球開始振動時的位置在哪里？(3)小球最高點、最低點的位置及各自到平衡位置的距離分別是多少？(4)小球經(jīng)過多長時間往復振動一次？解：(1)用“五點法”作出圖象．如圖所示．(2)當t＝0時，h＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,4)))＝2sineq\f(π,4)＝eq\r(2)，即小球開始振動時的位置為(0，eq\r(2))．(3)當t＝eq\f(π,8)時，h＝2；當t＝eq\f(5π,8)時，h＝－2.即最高點的位置為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，2))，最低點的位置為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,8)，－2)).最高點與最低點各自到平衡位置的距離均為2cm.(4)∵T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,2)＝π≈s小球往復振動一次．三角函數(shù)模型在物理中的應用主要體現(xiàn)在簡諧運動、電流隨時間變化規(guī)律等問題中，此類問題中要弄清振幅、頻率、周期、初相的定義和表示方法．二、三角函數(shù)在日常生活中的應用如圖為一個纜車示意圖，m，m,60秒轉(zhuǎn)動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉(zhuǎn)動θ角到OB，設B點與地面的距離是h.(1)求h與θ間的函數(shù)關系式；(2)設從OA開始轉(zhuǎn)動，經(jīng)過t秒后到達OB，求h與t之間的函數(shù)解析式，并求纜車第一次到達最高點時用的最少時間是多少？思路分析：由題意得h與θ的三角函數(shù)關系，再由此函數(shù)關系得h與t的解析式．最后由三角函數(shù)的性質(zhì)求t的值．解：(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的坐標系，則以Ox為始邊，OB為終邊的角為θ－eq\f(π,2)，∴heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))).(2)點A在圓上轉(zhuǎn)動的角速度是eq\f(π,30)，故t秒轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為eq\f(π,30)t.∴heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)．到達最高點時，hm.由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＝1，得eq\f(π,30)t－eq\f(π,2)＝eq\f(π,2)，∴t＝30.∴纜車第一次到達最高點時用的最少時間是30s.如圖為一半徑是3m的水輪，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘旋轉(zhuǎn)4圈，水輪上的點P到水面的距離y(m)與時間x(s)滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)＋2，則ω，A的值分別為__________．答案：eq\f(2π,15)，3解析：易知水輪的角速度ω＝eq\f(2π×4,60)＝eq\f(2π,15)，A＝3.面對實際問題時，能夠迅速地建立數(shù)學模型是一項重要的基本技能．這個過程并不神秘，比如本例題，在讀題時把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學語言”，這個過程就是數(shù)學建模的過程，在解題中，將實際問題轉(zhuǎn)化為與三角函數(shù)有關的問題的常見形式有：求出三角函數(shù)的解析式；畫出函數(shù)的圖象以及利用函數(shù)的性質(zhì)進行解題．1．一根長lcm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時離開平衡位置的位移s(cm)與時間t(s)的函數(shù)關系式是s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,l))t＋\f(π,3)))，其中g是重力加速度，當小球擺動的周期是1s時，線長l等于__________．答案：eq\f(g,4π2)解析：因為周期T＝1＝eq\f(2π,\r(\f(g,l)))，所以eq\r(\f(g,l))＝2π，則l＝eq\f(g,4π2).2．．如圖，當鐘擺達到最高位置M時開始計時，經(jīng)過1分鐘后，請你估計鐘擺在鉛垂線的__________邊(填“左”或“右”)．答案：右解析：∵×33＋0.6，∴鐘擺在鉛垂線的右邊．3．下圖是游樂場中的摩天輪上的某個座艙在旋轉(zhuǎn)過程中離地面高度情況的一部分，則下列判斷中正確的有__________(填序號)．①該座艙的運動周期是π；②該座艙的振幅是2；③該座艙在eq\f(π,10)s時達到最高點；④該座艙在eq\f(7π,20)s時離地面最近．答案：①④解析：eq\f(T,4)＝eq\f(7π,20)－eq\f(π,10)＝eq\f(π,4)，∴T＝π，①正確；該座艙的振幅是1，②錯誤；該座艙在eq\f(π,10)s時沒有到達最高點，③錯誤；顯然④正確．4．將自行車支起來，使后輪能平穩(wěn)地勻速運動，觀察后輪氣針的運動規(guī)律．若輪胎以ωrad/s的角速度做圓周運動，P0是氣針的初始位置，氣針到原點O的距離為rcm，求氣針的位置P的縱坐標關于時間t的函數(shù)