高一數(shù)學(xué)人教A版2019試題2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第1課時(shí)）

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)（第1課時(shí)）（2種題型分類基礎(chǔ)練+能力提升練）【夯實(shí)基礎(chǔ)】題型一：用不等式(組)表示不等關(guān)系1．完成一項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工每人需付工資800元，請(qǐng)瓦工每人需付工資700元，現(xiàn)工人工資預(yù)算為20000元，設(shè)請(qǐng)木工人，瓦工人，則，滿足的關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件直接列出不等式即可判斷作答.【詳解】因請(qǐng)木工每人需付工資800元，木工人，則需付木工工資元，因請(qǐng)瓦工每人需付工資700元，瓦工人，則需付瓦工工資元，于是得完成這項(xiàng)裝修工程，共需付工資()元，而工人工資預(yù)算為20000元，因此有：800x+700y≤20000，即8x+7y≤200，所以，滿足的關(guān)系式是：.故選：D2．如圖兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，圖（2）是一個(gè)矩形，從圖形上確定這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系，并將這種關(guān)系用含字母的不等式表示出來（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的面積計(jì)算公式、矩形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．【詳解】解：圖（1）是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，面積．圖（2）是一個(gè)矩形，面積．可得：．故選：A3．如圖，在一個(gè)面積為200m2的矩形地基上建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，四周是綠地，倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)a大于寬b的4倍，則表示上述的不等關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知條件及矩形面積公式即可求解.【詳解】解：由題意知，根據(jù)面積公式可以得到.故選:C．4．用一段長(zhǎng)為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)為18m，靠墻的一邊長(zhǎng)為xm.（1）若要求菜園的面積不小于110m2，試用不等式組表示其中的不等關(guān)系;（2）若矩形的長(zhǎng)、寬都不能超過11m，試求x滿足的不等關(guān)系.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由邊長(zhǎng)表示出面積，再由邊長(zhǎng)與面積的范圍求解即可；（2）由長(zhǎng)與寬的范圍都不超過11m，求解即可【詳解】（1）因?yàn)榫匦尾藞@靠墻的一邊長(zhǎng)為，而墻長(zhǎng)為，所以，這時(shí)菜園的另一邊長(zhǎng)為，，所以菜園的面積，依題意有，即，故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為（2）因?yàn)榫匦蔚牧硪贿呴L(zhǎng)，所以，又，且，所以.題型二：比較兩個(gè)實(shí)數(shù)(代數(shù)式)大小5．設(shè)a＞b＞1，y1，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（

）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【答案】C【分析】利用作差法先比較y1，y2，再比較y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小關(guān)系.【詳解】解：由a＞b＞1，有y1﹣y20，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y30，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故選：C.6．已知，那么的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用作差法比較大小.【詳解】解：，，．，．．故選：B．7.請(qǐng)根據(jù)“糖水加糖變得更甜了”提煉出一個(gè)不等式：______（設(shè)糖水為a克，含糖為b克，加入的糖為m克）．【答案】【分析】克糖水中有克糖，若再添克糖，濃度發(fā)生了變化，只要分別計(jì)算出添糖前后的濃度進(jìn)行比較即得．【詳解】克糖水中有克糖，糖水的濃度為：；克糖水中有克糖，若再添克糖，則糖水的濃度為，又糖水變甜了，說明濃度變大了，，，，，.故答案為：，8.（x+1）（x+5）與（x+3）2的大小關(guān)系為__.【答案】（x+1）（x+5）＜（x+3）2【分析】作差，判斷差的符號(hào)，即可得到答案.【詳解】解：（x+1）（x+5）﹣（x+3）2＝﹣4＜0，∴（x+1）（x+5）＜（x+3）2，故答案為：（x+1）（x+5）＜（x+3）29.（1）比較和的大?。唬?）已知，，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）利用作差法比較大?。唬?）直接利用不等式的性質(zhì)求出的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，故?0.比較與)的大小.【答案】【分析】做差化簡(jiǎn)，分情況討論比較大小.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，即；當(dāng)時(shí)，，，即；綜上所得.11.已知，證明：.【分析】利用作差法即得.【詳解】∵，，，即.12．已知，證明：.【分析】利用作差法即得.【詳解】∵，，，，.【能力提升】一、單選題1．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，故，又因?yàn)?，，所以，從而，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由題意可知，，因?yàn)?，所以，故，即，從而，故B正確，對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，即，故D錯(cuò)誤.2．（2023秋·山東濰坊·高一統(tǒng)考期末）若，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對(duì)于，當(dāng)，則，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，可得：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，作差：，因?yàn)?，所以，但的符?hào)無法判斷，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，由不等式的性質(zhì)可得：，故選項(xiàng)正確，3．（2022秋·浙江衢州·高一?？计谥校?shí)數(shù)，，滿足且，則下列關(guān)系成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由可得，則，由可得，利用完全平方可得所以，，，綜上，二、多選題4．（2023秋·寧夏吳忠·高一統(tǒng)考期中）若是不為0的實(shí)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，，故A不正確；對(duì)于B，因?yàn)?，，即，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C不正確；對(duì)于D，由可得或或，當(dāng)時(shí)，則，故，即，當(dāng)時(shí)，則，故，當(dāng)時(shí)，則，所以由可得，故D正確.5．（2023秋·云南大理·高一統(tǒng)考期末）設(shè)為正實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AB【詳解】對(duì)于A，若，則，即，，，即，A命題正確；對(duì)于B，若，可得，,即得，B命題正確；對(duì)于C，若，可取，，則，C命題不正確；對(duì)于D，若，可取，，則，D命題不正確，6．（2023秋·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．若，則C．若，則 D．若，，，則【答案】BD【詳解】當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)，所以A不正確；若，則，考慮函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即，所以B正確；若，則，，所以C不正確；若，，，根據(jù)基本不等式有所以D正確.故選：BD7．（2023秋·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)校考期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AB【詳解】對(duì)于A，由不等式的性質(zhì)可知同向不等式相加，不等式方向不變，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；8．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高一校聯(lián)考開學(xué)考試）若，，則下列不等式一定成立的是（

）.A． B．C． D．【答案】BD【詳解】對(duì)于A：，只有當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：，因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樗?，，所以，故D正確；三、雙空題9．（2022秋·北京·高一?？茧A段練習(xí)）為滿足人民群眾便利消費(fèi)、安全消費(fèi)、放心消費(fèi)的需求，某社區(qū)農(nóng)貿(mào)市場(chǎng)管理部門規(guī)劃建造總面積為的新型生鮮銷售市場(chǎng)．市場(chǎng)內(nèi)設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店面共80間．每間蔬菜水果類店面的建造面積為，月租費(fèi)為萬元；每間肉食水產(chǎn)店面的建造面積為，月租費(fèi)為0.8萬元．全部店面的建造面積不低于總面積的80%，又不能超過總面積的85%．①兩類店面間數(shù)的建造方案為種．②市場(chǎng)建成后所有店面全部租出，為保證任何一種建設(shè)方案平均每間店面月租費(fèi)不低于每間蔬菜水果類店面月租費(fèi)的90%，則的最大值為萬元．【答案】161【詳解】設(shè)蔬菜水果類和肉食水產(chǎn)類店分別為,（1）由題意知，，化簡(jiǎn)得：，又，所以，解得：，共種；（2）由題意知，，，，，即的最大值為1萬元，10．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)是青年學(xué)生按照學(xué)校培養(yǎng)目標(biāo)的要求，利用節(jié)假日等課余時(shí)間參與社會(huì)政治、經(jīng)濟(jì)、文化生活的教育活動(dòng).通過社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，可以使學(xué)生豐富對(duì)國(guó)情的感性認(rèn)識(shí)，加深對(duì)社會(huì)、對(duì)人民群眾的了解，從而增強(qiáng)擁護(hù)和執(zhí)行黨的基本路線的自覺性；可以使學(xué)生在接觸實(shí)際的過程中鞏固和深化課堂知識(shí)，鍛煉和增強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力.某學(xué)校要建立社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組，小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；②女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；③生人數(shù)為，則女學(xué)生人數(shù)的最小值為；若男學(xué)生人數(shù)未知，則該小組人數(shù)的最小值為.【答案】【詳解】設(shè)男學(xué)生、女學(xué)生、教師的人數(shù)分別為、、，則.若，則，可得，則，當(dāng)時(shí)，取最小值，即男學(xué)生人數(shù)為，則女學(xué)生人數(shù)的最小值為；若的值未知，當(dāng)時(shí)，則，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，則，不合乎題意，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，，則，合乎題意.故當(dāng)男學(xué)生人數(shù)未知，則該小組人數(shù)的最小值為.故答案為：；.四、解答題11．（2022秋·內(nèi)蒙古通遼·高一?？计谥校?）設(shè)，，.試比較P與Q的大小.（2）已知，，.求證：；【答案】（1），（2）證明見解析【詳解】（1）解：∵，∴，∴．（2），，，又，.12．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）比較大?。?1)和；(2)和，其中．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋?；?）因?yàn)?，所以，所?13．（2023秋·廣東·高一統(tǒng)考期末）一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，而且這個(gè)比值越大，采光效果越好．設(shè)某所公寓的窗戶面積與地板面積分別為，．(1)若這所公寓的窗戶面積與地板面積的總和為，求這所公寓的窗戶面積至少為多少平方米；(2)若同時(shí)增加窗戶面積和地板面積各，判斷這所公寓的采光效果是否變好了，并說明理由．【答案】(1)20；(2)變好了，詳細(xì)見解析.【詳解】（1）設(shè)公寓窗戶面積與地板面積分別為，則，所以，所以，所以.所以這所公寓的窗戶面積至少為20平方米.（2）設(shè)a和b分別表示公寓原來窗戶面積和地板面積，表示窗戶和地板所增加的面積（面積單位都相同），由題意得：，則.因?yàn)椋?又因?yàn)?，所?因此，即.所以窗戶和地板同時(shí)增加相等的面積，住宅的采光條件變好了.14．（2022秋·山東青島·高一山東省青島第五十八中學(xué)?？计谥校┎坏汝P(guān)系是數(shù)學(xué)中一種最基本的數(shù)量關(guān)系.請(qǐng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決下列生活中的兩個(gè)問題：(1)已知b克糖水中含有a克糖（），再添加m這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式(2)甲每周都要去超市購(gòu)買某種商品，已知第一周采購(gòu)時(shí)價(jià)格是p1，第二周采購(gòu)時(shí)價(jià)格是p2.現(xiàn)有兩種采購(gòu)方案，第一種方案是每次去采購(gòu)相同數(shù)量的這種商品，第二種方案是每次去采購(gòu)用的錢數(shù)相同.哪種采購(gòu)方案更經(jīng)濟(jì)，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)，證明見解析(2)見解析【詳解】（1）該不等式為證明：因?yàn)?，所以，于?（2）若按第一種方案采購(gòu)，每次購(gòu)買量為，則兩次購(gòu)買的平均價(jià)格為，若按第二種方案采購(gòu)，每次用的錢數(shù)是，則兩次購(gòu)買的平均價(jià)格為，又，所以當(dāng)時(shí)，兩種方案一樣；當(dāng)時(shí)，第二種方案比較經(jīng)濟(jì).15．（2022秋·廣東江門·高一江門市第二中學(xué)?？计谥校?）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立．（2）東東和華華拿著錢去超市買糖，超市里面提供兩種糖：種糖每千克元，種糖每千克元（兩種糖價(jià)格不相等）.東東買了相同質(zhì)量的兩種糖，華華買了相同價(jià)錢的兩種糖.請(qǐng)問兩人買到糖的平均價(jià)格分別是多少？誰買的糖的平均價(jià)格比較高？請(qǐng)證明你的結(jié)論.（物品的平均價(jià)格物品的總價(jià)錢物品的總質(zhì)量）【答案】（1）不等式為，證明見解析；（2）答案見解析.【詳解】解：（1）克糖水中含有克糖，則糖在糖水中所占的比例為，再添加克糖（假設(shè)全部溶解），則糖在糖水中所占的比例，糖水變甜了，說明加糖后，糖在糖水中所占的比例變大了，即有，證明如下：，則；（2）對(duì)于東東而言，他買到的糖的平均價(jià)格為（元/千克），對(duì)于華華而言，設(shè)華華買兩種糖的費(fèi)用均為元，則他買到的糖的總質(zhì)量為千克，故華華買到的糖的平均價(jià)格為（元/千克），，即東東買到的糖的平均價(jià)格較高.16．（2022秋·江蘇蘇州·高一蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知bg糖水中有ag糖，往糖水中加入mg糖，（假設(shè)全部溶解）糖水更甜了.(1)請(qǐng)將這個(gè)事實(shí)表示為一個(gè)不等式(2)證明這個(gè)不等式(3)利用（1）的結(jié)論證明命題：“若在中分別為角所對(duì)的邊長(zhǎng)，則”【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由題可得（2）證明：因?yàn)?，b>a>0，m>0，所以a－b<0，b＋m>0，從而，即.（3）證明：因?yàn)?/p>

，故，所以17．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，試比較與的值的大?。敬鸢浮繒r(shí)，；時(shí)，．【分析】用做差法比較可得答案.【詳解】，可得，當(dāng)時(shí)，，，則，即；當(dāng)時(shí)，，則，即．綜上可得時(shí)，；時(shí)，．18．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）比較下列各題中兩個(gè)代數(shù)式值的大?。?1)與；(2)與．【答案】(1)(2)【分析】利用作差法得出大小關(guān)系.(1)因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).即(2)因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).故.19．比較下列各組數(shù)的大小.（1）與，；（2）與.【答案】（1）；（2）.【解析】利用作差法求解即可.【詳解】（1），，且，，.，即.（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），又，，..【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用作差法比較大小，屬于較難題.20.設(shè)試證:對(duì)任意實(shí)數(shù)有【分析】利