湖北省武漢市鋼城第四中學(xué)2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

20202021學(xué)年湖北省武漢市鋼城四中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8小題）.1．設(shè)復(fù)數(shù)，那么在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z﹣1對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．在5張卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率是的事件是（）A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡 C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡3．已知二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．204．如表是某兩個相關(guān)變量x，y的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為，那么表中t的值為（）x3456y2t4A．3 D．45．為了了解現(xiàn)在互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的就業(yè)情況，某高校教授組織學(xué)生對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖（如圖1）和90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布圖（如圖2），則下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中80后的人數(shù)不超過一半 B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事職能崗位的人數(shù)90后比80后多 C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事市場崗位的人數(shù)少于所有年齡從業(yè)者總?cè)藬?shù)的10% D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過所有年齡從業(yè)者總?cè)藬?shù)的20%6．某學(xué)習(xí)小組有三名男生、三名女生共計(jì)六名同學(xué)，選出四人進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測試，這四人中所含女生人數(shù)記為η，則η的數(shù)學(xué)期望為（）A．1 B． C．2 D．37．將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6個小球隨機(jī)地放入標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6個盒子中，每個盒子放一個小球，恰好有4個小球的標(biāo)號與其所在盒子的標(biāo)號不一致的放法總數(shù)有（）A．45種 B．90種 C．135種 D．180種8．?dāng)?shù)學(xué)對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求．現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3門，大一到大三三學(xué)年必須將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（）A．60種 B．78種 C．84種 D．144種二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.9．從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是（）A．2個球都是紅球的概率為 B．2個球中恰有1個紅球的概率為 C．至少有1個紅球的概率為 D．2個球不都是紅球的概率為10．已知（x+1）6（ax﹣1）2的展開式中，x3的系數(shù)為56，則實(shí)數(shù)a的取值可能為（）A．﹣1 B．4 C．5 D．611．若（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+a3x3+???+a2020x2020（x∈R），則（）A．a(chǎn)0＝1 B．a(chǎn)0+a2+a4+???+a2020＝ C．a(chǎn)1+a3+a5+???+a2019＝ D．12．現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（）A．所有可能的方法有34種 B．若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種 C．若同學(xué)A必須去工廠甲，則不同的安排方法有12種 D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z＝|4+3i|（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為．14．假設(shè)某射手每次射擊命中率相同，且每次射擊之間相互沒有影響．若在兩次射擊中至多命中一次的概率是，則該射手每次射擊的命中率為．15．甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動員進(jìn)行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)情況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為，如果比賽采用“五局三勝”制（先勝三局者獲勝），則甲獲勝的概率為．16．某校組織甲、乙、丙、丁、戊、己等6名學(xué)生參加演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場”的前提下，學(xué)生丙第一個出場的概率為．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．在①只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，②第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，③所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為210，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題．已知（2x﹣1）n＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+???+anxn（n∈N*），若（2x﹣1）n的展開式中，______．（1）求n的值及展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和；（2）求展開式中含x3的項(xiàng)．18．計(jì)算求值：（1）；（2）；（3）．19．用1，2，3，4，5，6，7組成無重復(fù)數(shù)字七位數(shù)，滿足下述條件的七位數(shù)各有多少個？（1）偶數(shù)不相鄰；（2）偶數(shù)一定在奇數(shù)位上；（3）1和2之間恰有一個奇數(shù)，沒有偶數(shù)；（4）三個偶數(shù)從左到右按從小到大的順序排列．20．寒假期間，我市某校學(xué)生會組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光花園”社區(qū)人們的幸福度，現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）；若幸福度分?jǐn)?shù)不低于8.5分，則該人的幸福度為“幸?！保á瘢┣髲倪@16人中隨機(jī)選取3人，至少有2人為“幸福”的概率；（Ⅱ）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“幸?！钡娜藬?shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．21．根據(jù)國家《環(huán)境空氣質(zhì)量》規(guī)定：居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米．某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：組別PM2.5/（微克/立方米）頻數(shù)/天頻率第一組[0，15）4第二組[15，30）12第三組[30，45）8第四組[45，60）8第五組[60，75）4第六組[75，90]4（1）寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計(jì)算過程）；（2）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由；（3）將頻率視為概率，監(jiān)測去年的某3天，記這3天中該居民區(qū)PMξ，求ξ的分布列及均值E（ξ）和方差D（ξ）．22．2020年1月15日教育部制定出臺了《關(guān)于在部分高校開展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作的意見》（也稱“強(qiáng)基計(jì)劃”），《意見》宣布：2020年起不再組織開展高校自主招生工作，改為實(shí)行強(qiáng)基計(jì)劃．強(qiáng)基計(jì)劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的校考由試點(diǎn)高校自主命題，校考過程中通過筆試后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否通過相互獨(dú)立．若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目通過的概率均為，該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目通過的概率依次為，，m，其中0＜m＜1．（Ⅰ）若m＝，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好通過一門科目的概率；（Ⅱ）強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中通過科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，則當(dāng)該考生更希望通過乙大學(xué)的筆試時(shí)，求m的范圍．參考答案一、選擇題（共8小題）.1．設(shè)復(fù)數(shù)，那么在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z﹣1對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：復(fù)數(shù)＝＝＝﹣i，那么在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z﹣1＝﹣1﹣i對應(yīng)的點(diǎn)（﹣1，﹣1）位于第三象限，故選：C．2．在5張卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，那么概率是的事件是（）A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡 C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡解：∵在5張卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動卡”的概率是，∴概率是的事件是“2張全是移動卡”的對立事件，∴概率是的事件是“至多有一張移動卡”．故選：A．3．已知二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為（）A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．20解：由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，可得2n＝64，解可得n＝6；則的展開式為＝令6﹣＝0，可得r＝4，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為15，故選：C．4．如表是某兩個相關(guān)變量x，y的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為，那么表中t的值為（）x3456y2t4A．3 D．4解：＝＝4.5，＝＝，y關(guān)于x的線性回歸方程為，所以×4.5+0.35，解得t＝3.15》故選：B．5．為了了解現(xiàn)在互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)的就業(yè)情況，某高校教授組織學(xué)生對全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖（如圖1）和90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)者崗位分布圖（如圖2），則下列結(jié)論中不一定正確的是（）A．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中80后的人數(shù)不超過一半 B．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事職能崗位的人數(shù)90后比80后多 C．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事市場崗位的人數(shù)少于所有年齡從業(yè)者總?cè)藬?shù)的10% D．互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過所有年齡從業(yè)者總?cè)藬?shù)的20%解：對于選項(xiàng)A：由扇形圖可知，聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中80后的人數(shù)占比41%，不超過一半，所以選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B：由題中統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)，不知道80后中從事職能崗位的占比，所以互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事職能崗位的人數(shù)中，90后和80后人數(shù)無法比較，所以選項(xiàng)B錯誤，對于選項(xiàng)C：互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事市場崗位的人數(shù)在所有年齡從業(yè)者中的占比為13.2%×56%＝7.392%，少于10%，所以選項(xiàng)C正確，對于選項(xiàng)D：互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中90后從事技術(shù)崗位的人數(shù)在所有年齡從業(yè)者中的占比為39.6%×56%＝22.176%，超過20%，所以選項(xiàng)D正確，故選：B．6．某學(xué)習(xí)小組有三名男生、三名女生共計(jì)六名同學(xué)，選出四人進(jìn)行學(xué)業(yè)水平測試，這四人中所含女生人數(shù)記為η，則η的數(shù)學(xué)期望為（）A．1 B． C．2 D．3解：η的可能取值為：1，2，3．P（η＝1）＝＝，P（η＝2）＝＝，P（η＝3）＝＝．∴η的分布列為：η123PE（η）＝1×+2×+3×＝2．故選：C．7．將標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6個小球隨機(jī)地放入標(biāo)號為1，2，3，4，5，6的6個盒子中，每個盒子放一個小球，恰好有4個小球的標(biāo)號與其所在盒子的標(biāo)號不一致的放法總數(shù)有（）A．45種 B．90種 C．135種 D．180種解：根據(jù)題意，有且只有2個盒子的編號與放入的小球編號相同，在六個盒子中任選2個，放入與其編號相同的小球，有C62＝15種選法，剩下的4個盒子的編號與放入的小球編號不相同，假設(shè)這4個盒子的編號為3，4、5、6，則3號小球可以放進(jìn)4，5、6號盒子，有3種選法，剩下的3個小球放進(jìn)剩下的3個盒子，有3種選法，則每個盒內(nèi)放一個球，恰好有2個小球的標(biāo)號與盒子的編號相同，則不同的放法種數(shù)為：15×3×3＝135種放法．故選：C．8．?dāng)?shù)學(xué)對于一個國家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國家常常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求．現(xiàn)某大學(xué)為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)學(xué)通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選3門，大一到大三三學(xué)年必須將四門選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（）A．60種 B．78種 C．84種 D．144種解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將4四門選修課程分為3組，若分為2、1、1的三組，有C42＝6種分組方法，若分為2、2、0的三組，有＝3種分組方法，若分為3、1、0的三組，有C43＝4種分組方法則一共有6+3+4＝13種分組方法，②將分好的三組安排在三年內(nèi)選修，有A33＝6種情況，則有13×6＝78種選修方式，故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的的3分.9．從甲袋中摸出一個紅球的概率是，從乙袋中摸出一個紅球的概率是，從兩袋各摸出一個球，下列結(jié)論正確的是（）A．2個球都是紅球的概率為 B．2個球中恰有1個紅球的概率為 C．至少有1個紅球的概率為 D．2個球不都是紅球的概率為解：設(shè)從甲袋中摸出一個紅球?yàn)槭录嗀，從乙袋中摸出一個紅球?yàn)槭录﨎，則2個球都是紅球的概率為P（AB）＝＝，故A正確，2個球中恰有1個紅球的概率為P（A）+P（B）＝×+×＝，故B正確，至少有1個紅球的概率為1﹣p（）＝1﹣×＝，故C正確，2個球不都是紅球的概率為P＝1﹣P（AB）＝1﹣＝，故D不正確．故選：ABC．10．已知（x+1）6（ax﹣1）2的展開式中，x3的系數(shù)為56，則實(shí)數(shù)a的取值可能為（）A．﹣1 B．4 C．5 D．6解：∵（x+1）6（ax﹣1）2＝（?x6+?x5+???+）（a2x2﹣2ax+1），故展開式中x3的系數(shù)為?a2+?（﹣2a）+＝56，∴a＝﹣1或a＝6，故選：AD．11．若（1﹣2x）2020＝a0+a1x+a2x2+a3x3+???+a2020x2020（x∈R），則（）A．a(chǎn)0＝1 B．a(chǎn)0+a2+a4+???+a2020＝ C．a(chǎn)1+a3+a5+???+a2019＝ D．解：令x＝0可得：a0＝1，故A正確；令x＝1可得：（1﹣2）2020＝a0+a1+a2+…+a2020＝1…①令x＝﹣1可得：（1+2）2020＝a0﹣a1+a2﹣…+a2020＝32020…②①+②可得：a，故B正確，①﹣②可得：a1+a3+…+a2019＝，故C錯誤，令x＝可得：a＝（1﹣2×）2020＝0，所以，故D正確，故選：ABD．12．現(xiàn)安排高二年級A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（）A．所有可能的方法有34種 B．若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種 C．若同學(xué)A必須去工廠甲，則不同的安排方法有12種 D．若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，A，B，C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每個學(xué)生有4種選法，則三個學(xué)生有4×4×4＝43種選法，A錯誤；對于B，三人到4個工廠，有43＝64種情況，其中甲工廠沒有人去，即三人全部到乙、丙、丁三個工廠的情況有3×3×3＝33＝27種，則工廠甲必須有同學(xué)去的安排方法有64﹣27＝37種，B正確；對于C，若同學(xué)A必須去工廠甲，剩下2名同學(xué)安排到4個工廠即可，有4×4＝42＝16種安排方法，C錯誤；對于D，若三名同學(xué)所選工廠各不相同，有A43＝24種安排方法，D正確；故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z＝|4+3i|（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為．解：∵復(fù)數(shù)z滿足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴（3﹣4i）z＝＝5，∴z＝＝＝＝+i，∴z的虛部為：，故答案為：．14．假設(shè)某射手每次射擊命中率相同，且每次射擊之間相互沒有影響．若在兩次射擊中至多命中一次的概率是，則該射手每次射擊的命中率為．解：設(shè)該射手射擊命中的概率為p，兩次射擊命中的次數(shù)為X，則X～B（2，p），由題可知：，即，解得．故答案為：15．甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動員進(jìn)行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)情況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為，如果比賽采用“五局三勝”制（先勝三局者獲勝），則甲獲勝的概率為．解：甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動員進(jìn)行乒乓球單打比賽，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為，比賽采用“五局三勝”制（先勝三局者獲勝，比賽結(jié)束），若比賽三局，則甲3：0勝，其概率為（）3＝，若比賽四局，則甲3：1勝，其概率為C32（）2××＝，若比賽五局，則甲3：2勝，其概率為C42（）2×（）2×＝，故甲獲得比賽勝利的概率為：++＝，故答案為：．16．某校組織甲、乙、丙、丁、戊、己等6名學(xué)生參加演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，在“學(xué)生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場”的前提下，學(xué)生丙第一個出場的概率為．解：某校組織甲、乙、丙、丁、戊、己等6名學(xué)生參加演講比賽，采用抽簽法決定演講順序，學(xué)生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場包含的基本事件個數(shù)n＝＝384，在“學(xué)生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場”的前提下，學(xué)生丙第一個出場包含的基本事件個數(shù)m＝＝96，∴在“學(xué)生甲和乙都不是第一個出場，且甲不是最后一個出場”的前提下，學(xué)生丙第一個出場的概率為p＝＝．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．在①只有第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，②第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，③所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為210，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面（橫線處）問題中，解決下面兩個問題．已知（2x﹣1）n＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+???+anxn（n∈N*），若（2x﹣1）n的展開式中，______．（1）求n的值及展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和；（2）求展開式中含x3的項(xiàng)．解：（1）若選①得：＝5，∴n＝10；若選②得：＝，∴n＝3+7＝10；若選③得：2n＝210，∴n＝10．令x＝1得：系數(shù)和為1．（2）（2x﹣1）10＝（﹣1+2x）10，，令r＝3，計(jì)算含x3的項(xiàng)為﹣960x3．18．計(jì)算求值：（1）；（2）；（3）．解：（1）原式＝＝；（2）原式＝＝＝＝???＝＝＝330；（3）因?yàn)?，所以，則n2﹣11n﹣60＝0，解得n＝﹣4（舍）或n＝15，所以n＝15．19．用1，2，3，4，5，6，7組成無重復(fù)數(shù)字七位數(shù)，滿足下述條件的七位數(shù)各有多少個？（1）偶數(shù)不相鄰；（2）偶數(shù)一定在奇數(shù)位上；（3）1和2之間恰有一個奇數(shù)，沒有偶數(shù)；（4）三個偶數(shù)從左到右按從小到大的順序排列．解：根據(jù)題意，1，2，3，4，5，6，7中，奇數(shù)有4個，偶數(shù)有3個，（1）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①先將4個奇數(shù)排好，有A44種排法，②排好后，有5個空位可選，在其中任選3個，安排3個偶數(shù)，有A53種排法，則有＝1440個符合題意的七位數(shù)；（2）根據(jù)題意，偶數(shù)一定在奇數(shù)位上，分2步進(jìn)行分析：①將3個偶數(shù)安排在4個奇數(shù)位上，有A43＝24種排法，②剩下的4個數(shù)字安排在剩下的4個數(shù)位上，有A44種排法，則有＝576個符合題意的七位數(shù)；（3）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①在1和2之間安排一個奇數(shù)，考慮1和2的情況，有3A22種安排方法，②將三個數(shù)字看成一個整體，與其他4個數(shù)字全排列，有A55＝24種排法，則有3＝720個符合題意的七位數(shù)；（4）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①在7個數(shù)位中任選3個，將三個偶數(shù)從左到右按從小到大的順序排列，有A73種排法，②剩下的4個數(shù)字安排在剩下的4個數(shù)位上，有A44種排法，則有＝840個符合題意的七位數(shù)．20．寒假期間，我市某校學(xué)生會組織部分同學(xué)，用“10分制”隨機(jī)調(diào)查“陽光花園”社區(qū)人們的幸福度，現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）；若幸福度分?jǐn)?shù)不低于8.5分，則該人的幸福度為“幸福”．（Ⅰ）求從這16人中隨機(jī)選取3人，至少有2人為“幸?！钡母怕剩唬á颍┮赃@16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“幸?！钡娜藬?shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（I）記至少有2人是“幸?！睘槭录嗀，由題意知P（A）＝1﹣﹣＝1﹣﹣＝．…（Ⅱ）由題意知ξ的可能取值為0，1，2，3．P（ξ＝0）＝（）3＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝（）3＝，…∴ξ的分布列為：ξ0123PEξ＝＝．…21．根據(jù)國家《環(huán)境空氣質(zhì)量》規(guī)定：居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米．某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：組別PM2.5/（微克/立方米）頻數(shù)/天頻率第一組[0，15）4第二組[15，30）12第三組[30，45）8第四組[45，60）8第五組[60，75）4第六組[75，90]4（1）寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計(jì)算過程）；（2）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由；（3）將頻率視為概率，監(jiān)測去年的某3天，記這3天中該居民區(qū)PMξ，求ξ的分布列及均值E（ξ）和方差D（ξ）．解：（1）由表可知眾數(shù)在第二組，為微克/立方米，前兩組的頻率和為0.4，前三組的頻率和為0.6，故中位數(shù)在第三組，設(shè)為