關(guān)于行列式計(jì)算方法的討論

關(guān)于行列式計(jì)算方法的討論

列方程計(jì)算是高等和線性代數(shù)的基本問題。由于計(jì)算能力強(qiáng)，學(xué)生很難理解和掌握。在總結(jié)作者多年的教育經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，本文總結(jié)并提煉了一系列矩陣計(jì)算方法。利用行列式的性質(zhì):把一行(列)的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到另一行(列),把一個(gè)n階行列式化為三角形,再利用三角形行列式的特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算.例1計(jì)算n階行列式的值.解例2計(jì)算n階行列式的值.解注意能夠利用化為三角形法則進(jìn)行計(jì)算的行列式的共同特征是每行(列)有盡可能多的相同的元素.我們利用行列式的性質(zhì)把某行(列)的倍數(shù)加到其它行(列),出現(xiàn)更多的零,進(jìn)而化為三角形.類似的題目還有:2鑲邊法利用行列式按行(列)展開的性質(zhì),把n階行列式通過加行(列)變成與之相等的n+1階行列式,利用行列式的性質(zhì)把添加進(jìn)去的行(列)的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其它行(列),使其它行(列)出現(xiàn)更多為零的元素后再進(jìn)行計(jì)算.添加的行與列一般有四種方式,分別是添加在:(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列.當(dāng)然有時(shí)也添加在行列式的一般行與列的位置.(1)添加首行首列或末行末列例3計(jì)算行列式的值.解例4計(jì)算n階行列式的值.解(2)添加在一般位置例5計(jì)算n階行列式的值.解提示:按第n+1行展開得到的是關(guān)于z的多項(xiàng)式,而所行列式的值是上述加邊行列式展開式的zs項(xiàng)的系數(shù)乘以(-1)n+1+s+1.注意能夠利用鑲邊法的題目往往具有如下兩種特征之一:(1)各行(列)有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性質(zhì)把一行(列)的適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其它行(列)的時(shí)候不容易變成三角形行列式,或者說出現(xiàn)的零的個(gè)數(shù)還不夠多;(2)添加一行(列)后能夠跟范德蒙行列式聯(lián)系起來.類似的題目如:3利用因式定理法利用行列式的性質(zhì)找出行列式的所有因式,從而得到行列式的值.我們利用行列式的定義的展開式觀察出行列式的展開式(多項(xiàng)式)的次數(shù)特征,如果該次數(shù)與我們找到的所有因式的乘積的次數(shù)相同,就利用展開式的首項(xiàng)系數(shù)對因式的乘積的系數(shù)進(jìn)行調(diào)整,之后得到的就是行列式的值了.例6計(jì)算解展開式可以看成關(guān)于x的多項(xiàng)式f(x),顯然有f(a1)=0,f(a2)=0,…,f(an)=0,這是因?yàn)榉謩e令x=a1,a2,…,an時(shí),行列式恰好有兩行相同,行列式的值為零.因此行列式的展開式中有因子:x-a1,x-a2,…,x-an,所以D=k(x+a1+a2+…+an)(x-a1)(x-a2)…(x-an),又行列式首項(xiàng)系數(shù)為1,故D=(x+a1+a2+…+an)(x-a1)(x-a2)…(x-an).注意能夠利用因式分解定理進(jìn)行計(jì)算的行列式的特征是:這類行列式一般是含有文字變量的行列式,當(dāng)某個(gè)變量取某個(gè)特定值的時(shí)候行列式的值為零,則該行列式必含有某個(gè)特定因子.類似的題目如:4遞推法利用行列式按行(列)展開的性質(zhì),得到原行列式與同類型的低階行列式之間的遞推關(guān)系式.此種方法有時(shí)用到Dn,Dn-1,有時(shí)用到Dn,Dn-1,Dn-2,若出現(xiàn)的是Dn,Dn-1的關(guān)系,則可以直接進(jìn)行遞推;若出現(xiàn)的是Dn,Dn-1,Dn-2,則一般要寫成Dn+aDn-1=b(Dn-1+aDn-2),進(jìn)行遞推,這里的a,b可以用待定系數(shù)法去求出,也可以利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系去求.(1)利用Dn,Dn-1進(jìn)行遞推例7計(jì)算解而D1=x,D2(x+a1)(x-a1),D3=(x-a2)[(x+a1)(x-a1)]+a2(x-a1)(x-a2)=(x+a1+a2)(x-a1)(x-a2).假設(shè)Dn=(x+a1+a2+…+an-1)(x-a1)(x-a2)…(x-an-1),代入上面的遞推關(guān)系式得到Dn+1=(x-an)(x+a1+a2+…+an-1)(x-a1)(x-a2)…(x-an-1)+an(x-a1)(x-a2)…(x-an-1)(x-an)=(x+a1+a2+…an-1+an)(x-a1)(x-a2)…(x-an-1)(x-an).例8計(jì)算解同理有Dn=Dn′=zn-1∏i=1(xi-y)+(xn-z)D′n-1=zn-1∏i=1(xi-y)+(xn-z)Dn-1.Dn=Dn′=z∏i=1n?1(xi?y)+(xn?z)D′n?1=z∏i=1n?1(xi?y)+(xn?z)Dn?1.若y≠z,解得:Dn=1z-y[zn∏i=1(xi-y)-yn∏i=1(xi-z)].若y=z,遞推可得:Dn=x1n∏i=2(xi-y)+yn∑i=2n∏j≠i(xj-y).(2)利用Dn,Dn-1,Dn-2進(jìn)行遞推例9計(jì)算所以有Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2),從而Dn-aDn-1=b(Dn-1-aDn-2)=b2(Dn-2-aDn-3)=…=bn-2(D2-aD1),而D2-aD1=b2,所以同理可得若a≠b,又(1)、(2)兩式消去Dn-1,得Dn=an+1-bn+1a-b.a=b若?得Dn=aDn-1+an=a(aDn-2+an-1)+an=a2Dn-2+2an=…=an-1D1+(n-1)an=(n+1)an.例10計(jì)算Dn=|ab0?00cab?000ca?00??????000?ca|.提示與例9類似可得遞推公式Dn=aDn-1-bcDn-2,設(shè)Dn-x1Dn-1=x2(Dn-1-x1Dn-2),則{x1+x2=ax1x2=b,所以x1,x2是方程x2-ax+b=0的兩個(gè)根.注例10的結(jié)果還可以用于某些行列式的計(jì)算,例如注意這類行列式的特征是:行列式按某行(列)展開后能夠出現(xiàn)與原行列式同類型的低階行列式,得到同類型的高階行列式與低階行列式之間的遞推關(guān)系.類似的題目還有:此外,對于各行(列)元素的和相等的行列式,我們一般先將各列(行)進(jìn)行累加,然后提取公因式,再利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.除了上述方法之外,還有的行列式可利用行列式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算,這類題目計(jì)算比較容易,在此不再一一列舉.行列式的計(jì)算,不同的題目可能用到不同的計(jì)算方法,至于采用哪種方法進(jìn)行計(jì)算要視具體的題目而定.但是同樣的題目有時(shí)也可以用不同的方法來計(jì)算,行列式的計(jì)算雖說不是非常的簡單,但是方法和技巧卻不是很復(fù)雜,只要我們多觀察行列式的特點(diǎn)就能找到適合的方法.特別需要注意的是有的行列式的計(jì)算不