各向同性理想金屬帶材的拉伸彎曲變形解析分析

各向同性理想金屬帶材的拉伸彎曲變形解析分析

拉彎矯正機是一種廣泛用于生產(chǎn)的板形式矯正設(shè)備。其板材精整原理和性能的研究對發(fā)展和改進(jìn)拉張矯正工藝、技術(shù)和設(shè)備具有重要意義。拉伸彎曲矯直機板形矯正理論研究的核心是如何科學(xué)地揭示和描述帶材拉伸彎曲變形行為.一直以來,有關(guān)研究都是基于材料力學(xué)的初等梁彎曲模型及方法,所建模型可稱為“梁彎曲”模型.此模型忽略了帶材厚度方向的變形,故不能分析帶材與彎曲輥間的接觸壓力和帶鋼厚度變化等重要工藝參數(shù).事實上,寬帶材拉伸彎曲變形過程中存在明顯的彈性和塑性變形,基于小變形的初等梁彎曲理論和忽略彈性變形的彎曲成形理論都不適用于此問題的分析.因此,本文擬基于一般板彎曲分析方法,建立一個可考慮帶材厚度方向應(yīng)力與變形的、更符合變形實際的“板彎曲”模型.1拉伸彎曲變形拉伸彎曲矯直機通過使帶材在張力拉伸作用下經(jīng)過相互交錯的彎曲輥發(fā)生多次反復(fù)彎曲,從而使帶材產(chǎn)生局部或整體塑性延伸,如圖1所示.帶鋼的變形是在張力和單側(cè)壓力的共同作用下產(chǎn)生的,如圖2所示.拉伸彎曲變形中帶材的厚度和曲率沿長度方向存在變化.取夾角為微角度α的兩橫截面間帶材,因α足夠小,可以近似認(rèn)為所取部分呈圓筒形,曲率處處相等且曲率中心都在軸線上.采用圓柱坐標(biāo)系,取圓筒軸線為z軸.帶材長度、厚度和寬度方向分別對應(yīng)坐標(biāo)系的切向、徑向和軸向.由于對稱性,三個坐標(biāo)軸方向(r,φ,z)就是應(yīng)力和應(yīng)變的主方向.2變形時材料的安排基于初等梁彎曲理論的寬帶材拉伸彎曲變形解析研究始于20世紀(jì)60年代,其基本假設(shè)有:①變形前的材料橫截面在變形過程中始終保持為平面;②徑向應(yīng)力和應(yīng)變忽略不計,材料處于簡單拉、壓應(yīng)力狀態(tài);③帶材塑性變形區(qū)的寬度尺寸遠(yuǎn)大于其他兩個方向的尺寸,近似認(rèn)為其屬于平面應(yīng)變問題,軸向應(yīng)變?yōu)?;④金屬帶材為各向同性材料.2.1帶材切向應(yīng)變分析以理想彈塑性材料為例進(jìn)行分析.其中,變形區(qū)的切向應(yīng)力沿徑向分布為圖3所示形式.帶材處于簡單應(yīng)力狀態(tài),在變形過程中應(yīng)力為0處的應(yīng)變也為0.根據(jù)軸對稱性,應(yīng)變?yōu)?的域為以z軸為軸線的圓弧面,被稱為中性層.帶材厚度的幾何中心面被稱為中心層.中性層與中心層間的距離稱為中性層偏移量.在曲率半徑為ρ處,材料切向應(yīng)變可表示為:εφ=lnρρ0≈ρ-ρ0ρ0εφ=lnρρ0≈ρ?ρ0ρ0(1)對于理想彈塑性材料,切向應(yīng)力可表示為:確定了中性層曲率半徑即可根據(jù)式(2)確定切向應(yīng)力分布.考察材料橫截面的受力,可得平衡方程:F=B∫R1RR1Rσφdr=B∫R1R1-2eR1R1?2eσsdr(3)式中,σs為材料屈服應(yīng)力,F為帶材所受切向張力,B為帶材寬度,R、R1分別為彎曲帶材內(nèi)層和外層曲率半徑,t為帶材厚度(t=R1-R),h為處于彈性狀態(tài)的材料厚度的1/2,ρ0為中性層曲率半徑,ρs和ρ-s分別為拉伸、壓縮屈服層的曲率半徑,e為中性層偏移量.解方程可得中性層曲率半徑計算式:ρ0=R+R12-F2Bσsρ0=R+R12?F2Bσs(4)幾何中心層的切向應(yīng)變?yōu)棣纽誖+R12R+R12=FBσs(R+R1)-F=FBσs(R+R1)?F(5)根據(jù)帶材平斷面假設(shè),帶材中心層的切向殘余應(yīng)變就是帶材恢復(fù)平直狀態(tài)后整體產(chǎn)生的延伸率.式(4)和式(5)是“梁彎曲”模型的最主要結(jié)論,也是分析實際問題的主要理論模型.2.2拉伸彎曲變形模型假設(shè)非工程應(yīng)用帶材受彎曲輥壓力和張力共同作用發(fā)生變形,帶材塑性變形區(qū)的徑向應(yīng)力和應(yīng)變不僅存在也不能忽略不計.所以,徑向應(yīng)力σr≡0的假設(shè)不成立.從工程應(yīng)用角度看,彎曲輥壓力和帶材厚度變化都是拉伸彎曲矯直工藝的重要參數(shù),求解他們具有重要意義.因此,拉伸彎曲變形的“梁彎曲”模型并不能正確表征帶材的拉伸彎曲變形行為,故一直無法實現(xiàn)工程應(yīng)用.3行建模與分析的基本假設(shè)根據(jù)帶材拉伸彎曲變形的特點,提出以下應(yīng)用板彎曲理論進(jìn)行建模與分析的基本假設(shè):①變形前的帶材橫截面在變形過程中仍保持為平面;②將帶材的變形看作平面應(yīng)變問題,軸向應(yīng)變?yōu)?;③帶材為各向同性的理想彈塑性材料.3.1結(jié)構(gòu)的切向應(yīng)力分布對于取定的微角度α所對應(yīng)的帶材段,變形區(qū)的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)于圓柱坐標(biāo)系z軸呈軸對稱分布,其大小只與徑向坐標(biāo)有關(guān),且變形區(qū)內(nèi)任意點對應(yīng)的曲率半徑就等于其徑向坐標(biāo)值.結(jié)合圖3所示的切向應(yīng)力分布,微角度α所對應(yīng)的帶材段上的塑性和彈性變形區(qū)如圖4所示.3.2徑向應(yīng)力分析考察如圖4所示的微角度增量dα對應(yīng)的微單元體,可列出其平衡方程并簡化為:在塑性變形區(qū),根據(jù)列維-米塞斯塑性流動方程:采用米塞斯屈服條件,并因˙εz=0ε˙z=0,對于理想彈塑性材料,可得以下關(guān)系式:|σr-σφ|=2√3σs|σr?σφ|=23√σs(8)在內(nèi)側(cè)塑性變形區(qū)有σr>σφ,存在邊界條件σr(R)=F/(BR);在外側(cè)塑性變形區(qū)則有σr<σφ,存在邊界條件σr(R1)=0.將式(8)代入式(6),解方程可得內(nèi)側(cè)塑性變形區(qū)徑向應(yīng)力計算式:σr=ΜlnRρ-FBR?ρ∈[R,ρ-s]σr=MlnRρ?FBR?ρ∈[R,ρ?s](9)式中,σr為徑向應(yīng)力,M為中間參量(Μ=2σs/√3),R為彎曲帶材最內(nèi)層曲率半徑,ρ為變形區(qū)內(nèi)任意層的曲率半徑,ρ-s為帶材內(nèi)側(cè)屈服臨界層的曲率半徑.外側(cè)塑性變形區(qū)徑向應(yīng)力計算式:σr=ΜlnρR1?ρ∈[ρs?R1](10)式中,R1為彎曲帶材最外層曲率半徑,ρs為帶材外側(cè)屈服臨界層的曲率半徑.在彈性變形區(qū),根據(jù)廣義虎克定律:εij=1+μEσ′ij(11)式中,E為材料彈性模量,σ′ij為應(yīng)力偏量.因εz=0,可得以下關(guān)系式:σφ=Eεφ+(μ+μ2)σr1-μ2(12)式中,σφ為切向應(yīng)力,εφ為切向應(yīng)變,μ為泊松比.定義切向應(yīng)變?yōu)?的纖維層為切向應(yīng)變中性層.由帶材初始橫截面在變形過程中始終保持為平面的假設(shè)條件,可將帶材內(nèi)任意點切向應(yīng)變表示為:εφ=lnρρ0(13)式中,ρ0為切向應(yīng)變中性層的曲率半徑.由徑向應(yīng)力沿徑向應(yīng)保持連續(xù)的特點,可列出條件σr(ρs)=Mln(ρs/R1),將式(12)代入式(6),可得彈性變形區(qū)徑向應(yīng)力計算式:σr=ΜlnρsR1-EΝlnρsρ0+E(1-μ)Ν(1-2μ)·ρsρ1-2μ1-μ+Q?ρ∈(ρ-s?ρs)(14)其中Ν=1-μ-2μ2?Q=EΝlnρρ0-1-μ1-2μ.分別將式(9)和式(10)代入式(8),將式(14)代入式(12),可得式(15)所示的切向應(yīng)力表達(dá)式:由材料本構(gòu)方程,可得徑向應(yīng)變計算式:3.3中性層結(jié)構(gòu)參數(shù)迭代求解帶材切向應(yīng)力在屈服臨界層處不連續(xù),但彈性區(qū)切向應(yīng)力在外側(cè)屈服臨界層有極限值存在,可表示為:limρ→-ρsσφ=μΜ1-μlnρsR1+E1-μ2lnρsρ0(17)根據(jù)米塞斯屈服準(zhǔn)則,在屈服臨界層應(yīng)有等效應(yīng)力ˉσ=σs.因此可得帶材外側(cè)屈服臨界層的曲率半徑計算式:ρs=expb+√b2-4ac2a(18)同理可得帶材內(nèi)側(cè)屈服臨界層的曲率半徑計算式:ρ-s=expb1+√b21-4a1c12a1(19)式中,a、b、c、a1、b1和c1為中間變量.令d1=M2N2,d2=E2(1-μ+μ2),d3=MNE(1+μ),d4=lnR-T/(MBR),則a、b、c、a1、b1和c1計算公式如下:a=d1+d2-d3?a1=d1+d2-d3?b=(d3-2d2)lnρ0+(2d1-d3)lnR1?b1=(d3-2d2)lnρ0+(2d1-d3)lnR-ΝΤBR[E(1+μ)-2ΜΝ]?c=2d1ln2R1-d3lnR1lnρ0+d2ln2ρ0-2σ2s(1-μ2)2?c1=d1d24-d3lnρ0d4+d2ln2ρ0-2σ2s(1-μ2)2.由函數(shù)單調(diào)性不難證明,對于式(18)和式(19),ρ0越大,ρs和ρ-s計算值越大;由式(14)可知,ρ0和ρs越大,彈性變形區(qū)任一點徑向應(yīng)力計算值越大;由式(9)可知,ρ-s越大,內(nèi)層塑性屈服臨界層徑向應(yīng)力計算值越小.根據(jù)以上關(guān)系,可以構(gòu)建出以下中性層曲率半徑ρ0數(shù)值迭代求解方法.第一步,根據(jù)ρ0迭代值,分別由式(18)和式(19)計算出ρs和ρ-s.再由式(14)計算得出彈性層徑向應(yīng)力在內(nèi)屈服臨界層的極限值σr(ρ→+ρ-s),由式(9)計算得出σr(ρ-s).判斷下式是否成立:式中,ξ為迭代收斂精度.第二步,若式(20)成立,將當(dāng)前ρ0值作為迭代最終結(jié)果;否則根據(jù)σr(ρ→+ρ-s)與σr(ρ-s)大小關(guān)系,修正ρ0值,返回第一步.4帶材應(yīng)力應(yīng)變理論研究將“梁彎曲”模型和本文建立的“板彎曲”模型分別編程進(jìn)行對比計算.選擇如下工況:材料彈性模量E=210GPa,屈服應(yīng)力為210MPa,平均張應(yīng)力為50MPa,帶材變形后厚度為3mm.采用兩種理論模型分別計算切向應(yīng)變中性層偏移量、徑向應(yīng)力和應(yīng)變.4.1帶材拉伸彎曲變形模型的計算結(jié)果切向應(yīng)變中性層偏移量是表征帶材拉伸彎曲變形程度的重要參數(shù),兩種模型的計算結(jié)果見圖5所示.顯然“板彎曲”模型的計算結(jié)果更符合帶材拉伸彎曲變形的實際情況——中性層偏移量隨彎曲半徑的變化而變化.4.2應(yīng)力的發(fā)生部位如圖6所示:“板彎曲”模型求得的徑向應(yīng)力始終表現(xiàn)為壓應(yīng)力,且最大壓應(yīng)力出現(xiàn)在中性層附近;徑向應(yīng)變沿徑向單調(diào)變化,且徑向應(yīng)變并不關(guān)于帶材幾何中心層對稱.表明平直狀態(tài)下帶材中心層的材料在拉伸變形狀態(tài)下不再處于中心層.“梁彎曲”模型忽略了徑向應(yīng)力和應(yīng)變,不能獲得有關(guān)結(jié)果.4.3“板彎曲”模型的應(yīng)用此模型可能會在以下方面對有關(guān)帶材通過拉伸彎曲變形實現(xiàn)板形矯正的理論及工程應(yīng)用研究提供幫助:(1)能更準(zhǔn)確地揭示拉伸彎曲變形的本質(zhì)及特點.帶材的拉伸彎曲變形歸根結(jié)底是由張力、彎曲曲率和彎曲輥壓力共同決定的彈塑性變形.只有考慮帶材厚度方向的應(yīng)力,才能將彎曲輥壓力納入研究分析,更接近問題的本質(zhì).(2)能對拉伸彎曲變形過程進(jìn)行更精確的定量研究計算.“板彎曲”解析模型用于研究帶材拉伸彎曲變形過程,計算帶材張力、彎曲曲率和彎曲輥壓力的相互關(guān)系及其變化規(guī)律,將具有比“梁彎曲”解析模型更高的計算精度.(3)為進(jìn)行彎曲輥的受力、變形及磨損的理論研究創(chuàng)造了條件.帶材和彎曲輥輥面間存在接觸力和相對滑動是彎曲輥磨損的根本原因,“