線性代數的基本理論及其應用

線性代數的基本理論及其應用

1a+b的mn型矩陣及b對于標準格式的線性方程組，當系數的列方程的值小于零時，作者在一篇題為《列方程和解線性方程組》的文章中給出了解方程。以下研究一般形式的線性方程組的求解問題(本文涉及的數均為實數)。定義1由m×n個排定位置的數構成的如下矩形陣表A=(a11a12?a1na21a22?a2n????am1am2?amn)A=?????a11a21?am1a12a22?am2????a1na2n?amn?????(1)稱為m×n型矩陣,其中aij為A的第i行、第j列的元素,矩陣A也通常記成A=(aij),A=(aij)m×n或A=Am×n。特別當m=n時,稱A為n階矩陣。定義2設A、B是兩個同型矩陣,(1)若A、B對應位置上的元素都相等,則稱A、B相等,記為A=B。(2)稱A+B=(aij+bij)為A與B的和矩陣(矩陣加法);稱A-B=(aij-bij)為A與B的差矩陣(矩陣減法)。(3)稱λA=(λaij)為數乘矩陣。定義3已知矩陣A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,以cij=s∑k=1∑k=1saikbkj,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n(2)為元素排成的m×n型矩陣C=(cij)m×n稱為A與B的乘積矩陣,記為C=AB。把A、B按適當行列分塊(子矩陣)后,把塊看成元素做乘積矩陣后仍得A與B的乘積矩陣C。顯然,矩陣的加法、乘法滿足結合律,但乘法不滿足交換律。對于一般形式的線性方程組令A稱為(3)式的系數矩陣,X稱為(3)式的未知數矩陣(列),b稱為(3)式的常數項矩陣(列),則可得(3)式的矩陣表示AX=b.(5)2k階行列式的組成定義4已知矩陣A,用任意不為零的實數λ乘A的第i行得矩陣A1;互換A的第i、j兩行得矩陣A2;把A的第i行的元素μ倍加于第j行得矩陣A3。A1、A2、A3稱為A的3種行初等變換矩陣。定義5已知矩陣A=(aij)m×n,在A中任取定k行k列,位于選定行、列相交處的k×k個元素構成一個k階行列式,叫做A的一個k階子式。A中不等于零的子式的最大階數r叫做A的秩數,記為rnk(A)=r。特別當A是n階矩陣時,A本身構成一個n階行列式,記為|A|;其子式aij余下的元素構成也一個(n-1)×(n-1)階行列式M,稱(-1)i+jM為aij的代數余子式。由矩陣理論可知:矩陣A的行初等變換矩陣的秩數與A的秩數相等。定義6若n階矩陣E的主對角線(左上角至右下角)上的元素均為1,其他元素均為0,則稱E為單位矩陣。已知n階矩陣A,若有n階矩陣B使得AB=BA=E,則稱A可逆,B稱為A的逆矩陣。由矩陣乘法的結合律可知:若A有逆矩陣,其逆矩陣必唯一,記為A-1。定理1n階矩陣A存在逆矩陣的充要條件是|A|≠0,且A-1=1|A|A*A?1=1|A|A?,其中而Aij是A中元素aij的代數余子式。證明依行列式的行列展開定理與矩陣的乘法直接驗證即可。3線性方程組解的存在定理定理2(齊次線性方程組解的結構定理)已知齊次線性方程組AX=0,其中A=Am×n。(1)若rnk(A)=n,則AX=0只有零解,(2)若rnk(A)=r<n,則AX=0有n-r個線性無關的非零解,其他任何解都是這n-r解的線性組合。證明若r=m,不妨設A的前m列構成的m階子式的值不等于0,把A和X如下分塊A1為m階矩陣且|A1|≠0,A2為m×(n-m)型矩陣;X1為前m個未知數構成的矩陣(列),X2為后n-m個未知數構成的矩陣(列)。顯然,矩陣的n-m個線性無關列的每一列均為AX=0的解,其中E為n-m階單位矩陣。若X也是AX=0的解,即AX=(A1A2)(X1X2)=A1X1+A2X2=0從而,X1=-A-11A2X2。所以X=(X1X2)=(-A-11A2X2X2)=(-A-11A2E)X2=X0X2.即X是(8)式中X0的線性組合,其中X2為任意n-m個實數構成的矩陣(列),定理的結論成立。對于一般的情形,不妨設A的前r行、r列構成的r階子式的值不等于0。把A和X如下分塊A=(A1A2A3A4),X=(X1X2)A1為r階矩陣且|A1|≠0,A2為r×(n-r)型矩陣;X1為前r個未知數構成的矩陣(列),X2為后n-r個未知數構成的矩陣(列)。對A實施行初等變換得A*顯然,AX=0與A*X=0同解,而同解,由前面的證明可知,定理的結論成立,定理得證。定理3(線性方程組解的存在定理)AX=b有解的充要條件是rnk(Ab)=rnk(A)。(Ab)稱為A的增廣矩陣。證明不妨設A的前r行、r列構成的r階子式的值不等于0,把A、X、b如下分塊A1為r階矩陣且|A1|≠0,A2為r×(n-r)型矩陣;X1為前r個未知數構成的矩陣(列),X2為后n-r個未知數構成的矩陣(列);b1為前r個常數項構成的矩陣(列),b2為后m-r個常數項構成的矩陣(列)。對(Ab)實施行初等變換從(11)式的最后一個矩陣可知:AX=b有解等價于同解方程組A1X1+A2X2=b1有解且e=0,等價于rnk(Ab)=rnk(A)。定理得證。定理4若Xb是AX=b的解,X0是AX=0的解,則Xb+X0仍是AX=b的解;若Yb、Xb是AX=b的解,則X0=Yb-Xb是AX=0的解。由此可得AX=b的通解。證明由于A(Xb+X0)=AXb+AX0=b+0=bA(Yb-Xb)=AYb-AXb=b-b=0.所以,定理成立。例解線性方程組解對增廣矩陣(Ab)實施行初等變換(1-1-22-1211-21123-42)→(1-1-22-1035-6300000)由變換后的矩陣可知:rnk(Ab)=rnk(A)=2,故(12)式有4-2=2個線性無關的解。且(12)式與變換后的矩陣構成的如下方程組同解在(13)式中令x3=0,x4=0得1個解,它也是在(13)式對應的齊次方程組中{x1-x2-2x3+2x4=03x2+5x3-6x4=0.分別令x3=1,x4=0和x3=0,x4=1得2個線性無關的解它們也