應(yīng)用統(tǒng)計碩士(統(tǒng)計量及其抽樣分布)模擬試卷1(題后含答案及解析)

應(yīng)用統(tǒng)計碩士（統(tǒng)計量及其抽樣分布）模擬試卷1(題后含答案及解析)題型有：1.單選選擇題3.簡答題4.計算與分析題單選選擇題1．設(shè)隨機變量X和Y相互獨立且服從正太分布(0．32)，而X1，X2，…，χ9和Y1，Y2，…，Y9分別是來自總體X和Y，的簡單隨機樣本，則統(tǒng)計量U＝服從_______分布，且其參數(shù)為_______。()A．t，8B．t，9C．正太；(0，1)D．χ2；9正確答案：B解析：因為X服從正態(tài)分布N(0，32)，所以X1＋X2＋…＋X9～N(0，9×32)，～N(0，1)；因為Y服從正態(tài)分布N(0，32)，所以從而即U＝服從參數(shù)為9的t分布。知識模塊：統(tǒng)計量及其抽樣分布2．從服從正太分布的無限總體分別抽取容量為7，20，80的樣本，當(dāng)樣本容量增大時，樣本均值的數(shù)學(xué)期望________，標(biāo)準(zhǔn)差________。()。A．保持不變；增加B．保持不變；減小C．增加；保持不變D．減小；保持不變正確答案：B解析：由于總體服從正態(tài)分布，所以樣本均值的抽樣分布仍為正態(tài)分布，數(shù)學(xué)期望不變；方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為，故當(dāng)樣本容量n增大時，標(biāo)準(zhǔn)差減小。知識模塊：統(tǒng)計量及其抽樣分布3．設(shè)總體均值為200，總體方差為64，在大樣本情況下，無論總體的分布形式如何，樣本平均數(shù)的分布都是服從或近似服從()。A．N(200，64)B．N(200，8／)C．N(200／n，64)D．N(200，64／n)正確答案：D解析：根據(jù)中心極限定理可知，在大樣本情況下，樣本平均數(shù)的抽樣分布近似服從平均值為μ和樣本方差為的正態(tài)分布。由題知，μ＝200，σ2＝64，所以。知識模塊：統(tǒng)計量及其抽樣分布4．從一個均值μ＝20，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝1．2的總體中隨機選取容量為n＝36的樣本。假定該總體并不是很偏的，則樣本均值X小于19．8的近似概率為()。A．0．1268B．0．1587C．0．2735D．0．6324正確答案：B解析：由于n＝36≥30，根據(jù)中心極限定理有：～N(μ，)＝N(20，0．04)。故P(＜19．8)＝P()＝∮(－1)＝1－∮(1)＝1－0．8413＝0．1587。知識模塊：統(tǒng)計量及其抽樣分布5．某廠家生產(chǎn)的燈泡壽命的均值為1000小時，標(biāo)準(zhǔn)差為4小時。如果從中隨機抽取16只燈泡進(jìn)行檢測，則樣本均值()。A．抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差為1小時B．抽樣分布近似等同于總體分布C．抽樣分布的中位數(shù)為1000小時D．抽樣分布服從正態(tài)分布，均值為1000小時正確答案：A解析：由于n＝16＜30，并且總體的分布未知，所以抽樣分布的形狀未知。但是抽樣分布的均值仍為1000小時，標(biāo)準(zhǔn)差為＝1。知識模塊：統(tǒng)計量及其抽樣分布6．根據(jù)抽樣測定100名4歲男孩身體發(fā)育情況的資料，平均身高為95cm，標(biāo)準(zhǔn)差為4cm。有()的概率可確信4歲男孩平均身高在93．8～96．2cm之間。A．68．27％B．90％C．95．45％D．99．74％正確答案：D解析：設(shè)為抽取樣本的平均身高。由題知，μ＝95，σ2＝42，所以，～Ⅳ(0，1)，故P{93．8＜96．2}＝P{}＝2∮(3)－1＝2×0．9987－1＝0．9974，即有99．74％的概率可以確信4歲男孩平均身高在93．8～96．2cm之間。知識模塊：統(tǒng)計量及其抽樣分布7．假設(shè)總體比例為0．3，采取重復(fù)抽樣的方法從此總體中抽取一個容量為100的簡單隨機樣本，則樣本比例的期望是()。A．0．3B．0．8C．1．6D．2正確答案：A解析：由二項分布的原理和漸進(jìn)分布，設(shè)總體比例為π，當(dāng)n充分大(n＝100≥30)時，樣本比例的期望為π＝0．3。知識模塊：統(tǒng)計量及其抽樣分布8．假設(shè)總體比例為0．2，從此總體中抽取容量為100的樣本，則樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)差為()。A．0．2B．0．02C．0．04D．0．16正確答案：C解析：由二項分布的原理和漸進(jìn)分布，設(shè)總體比例為π，當(dāng)n充分大(n＝100≥30)時，樣本比例服從正態(tài)分布，樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)差為：＝0．04。知識模塊：統(tǒng)計量及其抽樣分布9．大樣本的樣本比例的抽樣分布服從()。A．正態(tài)分布B．t分布C．F分布D．χ2分布正確答案：A解析：由二項分布的原理和漸進(jìn)分布的理論可知，總體比例為π，當(dāng)n充分大(大樣本)時，樣本比例的抽樣分布服從均值為π，方差為的正態(tài)分布。知識模塊：統(tǒng)計量及其抽樣分布10．滿足下面()條件時，可以認(rèn)為抽樣成數(shù)的概率分布近似正態(tài)分布。A．n≥30，np≥5，nq≥5B．n≥30，np≤5，nq≤5C．n≥30，np≥5，nq≤5D．n≥30，np≤5，nq≥5正確答案：A解析：對于總體比例的估計，確定樣本量是否足夠大的一般經(jīng)驗規(guī)則是：區(qū)間p±2中不包含?；?，或者要求np≥5，nq≥5。知識模塊：統(tǒng)計量及其抽樣分布簡答題11．什么是統(tǒng)計量?為什么要引進(jìn)統(tǒng)計量?統(tǒng)計量中為什么不含任何未知參數(shù)?正確答案：(1)設(shè)X1，X2，…，Xn是從總體X中抽取的容量為n的一個樣本，如果由此樣本構(gòu)造一個函數(shù)T(X1，X2，…，Xn)，不依賴于任何未知參數(shù)，則稱函數(shù)T(X1，X2，…，XN)是一個統(tǒng)計量。(2)在實際應(yīng)用中，當(dāng)從某總體中抽取一個樣本后，并不能直接應(yīng)用它去對總體的有關(guān)性質(zhì)和特征進(jìn)行推斷，這是因為樣本雖然是從總體中獲取的代表，含有總體性質(zhì)的信息，但仍較分散。為了使統(tǒng)計推斷成為可能，首先必須把分散在樣本中關(guān)心的信息集中起來，針對不同的研究目的，構(gòu)造不同的樣本函數(shù)。(3)統(tǒng)計量是樣本的一個函數(shù)。由樣本構(gòu)造具體的統(tǒng)計量，實際上是對樣本所含的總體信息按某種要求進(jìn)行加工處理，把分散在樣本中的信息集中到統(tǒng)計量的取值上，不同的統(tǒng)計推斷問題要求構(gòu)造不同的統(tǒng)計量，所以統(tǒng)計量不包含未知參數(shù)。涉及知識點：統(tǒng)計量及其抽樣分布12．什么是χ2分布?請簡述χ2分布的特點。正確答案：(1)當(dāng)對正態(tài)隨機變量χ機地重復(fù)抽取n個數(shù)值，將每一個χ值變換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，并對這n個新的變量分別取平方再求和之后，就得到一個服從χ2分布的變量即χ2＝服從自由度為n的χ2分布。(2)χ2分布的特點：①χ2分布是一個以自由度為參數(shù)的分布族，自由度決定了分布的形狀；②χ2分布是一種非對稱分布，當(dāng)自由度n達(dá)到相當(dāng)大時，χ2分布就接近于正態(tài)分布；③χ2分布的變量值始終為正。涉及知識點：統(tǒng)計量及其抽樣分布13．為什么當(dāng)總體單位數(shù)很大時，不重復(fù)抽樣分布趨近于重復(fù)抽樣分布?正確答案：在重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣條件下，樣本均值分布的中心相同。在不重復(fù)抽樣條件下，樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為；在重復(fù)抽樣條件下，樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為；不重復(fù)抽樣與重復(fù)抽樣比，多了一個修正系數(shù)。當(dāng)N遠(yuǎn)大于n時，修正系數(shù)近似于1，不重復(fù)抽樣誤差近似等于重復(fù)抽樣誤差，即不重復(fù)抽樣分布趨近于重復(fù)抽樣分布。涉及知識點：統(tǒng)計量及其抽樣分布計算與分析題14．Z1，Z2，…，Z6表示從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體中隨機抽取的容量，n＝6的一個樣本，試確定常數(shù)b，使得正確答案：由于Z1，Z2，…Z6為正態(tài)分布，并且相互獨立，所以∑Zi2服從χ2(6)分布。＝1－0．95＝0．05查表得：b＝12．5916。涉及知識點：統(tǒng)計量及其抽樣分布15．設(shè)X1，X2，…，X9是X目標(biāo)準(zhǔn)正忑總體X的簡單隨機樣本，而Y1＝(X＋X＋…＋X)，Y2＝(X7＋X8＋X9)S2＝證明統(tǒng)計量Z服從自由度為2的t分布。正確答案：由X1，X2，…，9是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體X的簡單隨機樣本可得，X1，X2，…，X9是相互獨立的，并且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，Y1，Y2也是相互獨立的。E(Y1－Y2)＝0，Var(Y1－Y2)＝，即Y1－Y2～N(0，)，所以由于n＝3，所以(n－1)S2＝2S2～χ2(2)，從而～t(2)，即Z＝～t(2)涉及知識點：統(tǒng)計量及其抽樣分布16．設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，(X1，X2，…，X10)為來自總體X的簡單隨機樣本，試求下列概率：正確答案：(1)由于～χ2(10)，因此＝P{χ2(10)≥5}－P{χ2(10)≥15}＝0．8912－0．1321＝0．7591(2)由于～χ2(9)，因此＝P{χ2(9)≥5}－P{χ2(9)≥15}＝0．8343－0．0909＝0．7434(3)由于～χ2(n－1)，因此～χ2(9)。所以P＝P{χ2(9)≥3}－P{χ2(9)≥6}＝0．9643－0．7399＝0．2244涉及知識點：統(tǒng)計量及其抽樣分布17．某小型工廠共有5個工人，他們的周工資分別為140、160、180、200、220元，現(xiàn)在用重置隨機抽樣的方法從中抽出2個工人的工資構(gòu)成樣本。(1)計算總體平均工資及其標(biāo)準(zhǔn)差；(2)列出樣本平均工資的抽樣分布；(3)計算樣本平均工資，并檢驗是否等于總體平均工資；(4)直接計算樣本平均工資的標(biāo)準(zhǔn)差；(5)按公式計算樣本平均工資的標(biāo)準(zhǔn)差，并驗證是否等于(4)的結(jié)果。正確答案：(1)總體均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：(2)重復(fù)抽樣的兩兩樣本的平均數(shù)加嘉2—29所示。由表2—29可知，樣本均值的分布如表2—30所示。(3)由表2—30可得：×(140＋150×2＋…＋220)＝180(元)＝μ(4)樣本平均工資的標(biāo)準(zhǔn)差為；＝20．41(5)由于＝20，即按公式計算樣本平均工資的標(biāo)準(zhǔn)差小于(4)中直接計算的結(jié)果。涉及知識點：統(tǒng)計量及其抽樣分布18．一個具有n＝64個觀察值的隨機樣本抽自于均值等于20、標(biāo)準(zhǔn)差等于16的總體。(1)給出(平均值)的抽樣分布(重復(fù)抽樣)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。(2)描述(平均值)的抽樣分布的形狀。你的回答依賴于樣本量嗎?(3)計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)z統(tǒng)計量對應(yīng)于＝15．5的值。(4)計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)z統(tǒng)計量對應(yīng)于＝23的值。正確答案：(1)由于總體的均值為20、標(biāo)準(zhǔn)差等于16。所以(2)樣本均值的抽樣分布形狀依賴于樣本量。依據(jù)大樣本量(n≥30)，描述(平均值)的抽樣分布近似為正態(tài)分布。當(dāng)n≥30時，樣本均值(平均值)的抽樣分布形狀基本上沒有差別，形成正態(tài)分布；當(dāng)n為小樣本時(通常n＝15．5，z＝＝2．25。(4)當(dāng)＝23，χ＝＝1．5。涉及知識點：統(tǒng)計量及其抽樣分布19．從一批5000只日光燈中隨機抽取1600只進(jìn)行耐用時間的質(zhì)量檢驗，已知該種型號的日光燈平均壽命為1500小時。標(biāo)準(zhǔn)差為800小時。分別按照重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣兩種方法計算樣本平均壽命小于1550小時的概率。正確答案：(1)按照重復(fù)抽樣的方法由中心極限定理知，樣本平均壽命，則～N(0，1)，所以＝∮(2．5)＝0．9938即在重復(fù)抽樣的方法下，樣本平均壽命小于1550小時的概率為0．9938。(2)按照不重復(fù)抽樣的方法由于是對有限樣本的不重復(fù)抽樣，所以樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差。由中心極限定理知，樣本平均壽命，即即在不重復(fù)抽樣的方法下，樣本平均壽命小于1550小時的概率為0．9988。涉及知識點：統(tǒng)計量及其抽樣分布20．某批發(fā)商店的經(jīng)理正考慮一新的銷售計劃。已知每個顧客購買額的均值為200元，標(biāo)準(zhǔn)差為15元。如果隨機抽取36名顧客，試計算平均購買額超過204元的概率。正確答案：由于n＝36＞30，由中心極限定理可得：統(tǒng)計量z＝近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。當(dāng)＝204時，z＝＝1．6所以隨機抽取36名顧客，平均購買額超過204元的概率為：P(＞204)＝1－P(＜204)＝1－P(≤1．6)＝1－∮(1．6)＝1－0．9452＝0．0548涉及知識點：統(tǒng)計量及其抽樣分布21．從一個均值為40，方差等于144的無限總體中按不重復(fù)簡單隨機抽樣抽出樣本量n＝36的樣本。(1)求樣本均值的抽樣分布；(2)如果P(≥a)＝0．05。求a的值。正確答案：(1)對于無限總體，抽樣可以看成是重復(fù)抽樣。于是又n＝36＞30，所以由中心極限定理可知，樣本均值近似服從N(40，4)。(2)由(1)可得：即則＝1．645，解得：a＝43．29。涉及知識點：統(tǒng)計量及其抽樣分布22．某市在第五次人口普查顯示。該市老年人口老齡化(65歲以上)比率為14．7％?，F(xiàn)隨機調(diào)查了400名當(dāng)?shù)厥忻?，則其老齡化率為10％和16％之間的概率為多少?正確答案：由于n較大，p較小，np＝400×14．7％＝58．8＞5，n(1－p)：400×85．3％＝341．2＞5。因此，可利用正態(tài)近似處理，即可認(rèn)為樣本比率p的抽樣分布近似服從平均值μp＝0．147和方差的正態(tài)分布。將p值變換為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的z值，即：z＝～N(0，1)。則P{10％＜p＜16％}＝P＝∮(0．734)－∮(－2．655)＝∮(0．734)＋(2．655)－1＝0．7646即老齡化率為10％和16％之間的概率為76．46％。涉及知識點：統(tǒng)計量及其抽樣分布23．某調(diào)查員要對A、B兩個地區(qū)居民用于某類消費品的年支出數(shù)額進(jìn)行比較分析，在兩地各抽取400戶居民，調(diào)查得到A地區(qū)平均每戶日支出數(shù)額為250元，標(biāo)準(zhǔn)差為47元。B地區(qū)平均每戶日支出數(shù)額為150元，標(biāo)準(zhǔn)差為20元。問樣本差大于100的概率有多大?正確答案：假定這兩個樣本是相互獨立的。因為在A、B兩地各抽取了400個樣本，樣本的容量足夠大。因此，根據(jù)中心極限定理，的抽樣分布服從均值為(μA－μB)，方差為的近似正態(tài)分布。故＝1－∮(0)－∮(－78．311)＝0．5