關(guān)于可得與不可得的層次區(qū)分問題

關(guān)于可得與不可得的層次區(qū)分問題

近年來，一些科學(xué)家和教師開始關(guān)注“無限”這個(gè)概念。張偉平的文章《知識(shí)的學(xué)習(xí)》（以下簡稱“文章）是一篇討論相關(guān)內(nèi)容的文章。除了討論了“可再”理論和邊界概念之間的密切關(guān)系外，還介紹了所謂的“可再”和“不可再”區(qū)分模式。雖然本文中的一些術(shù)語也包含了上述兩個(gè)概念，但本文只能討論“可”和“不可”之間的區(qū)別。張偉平關(guān)于“可得”與“不可得”無限的區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)十分混亂,這種混亂源于其對文獻(xiàn)的嚴(yán)重誤讀.1無限非實(shí)無限客觀上講,張偉平本人也許不會(huì)認(rèn)為“可得”與“不可得”無限的區(qū)分是由自己提出來的,她會(huì)認(rèn)為這些無限層次區(qū)分的標(biāo)準(zhǔn)都是源于康托(Cantor)的某些認(rèn)識(shí),然后又由文作者多賓斯基(Dubinsky)等人明確提出的.為了便于參考與分析,下面將文中的相關(guān)論述分3段引述如下:論斷1:“Cantor認(rèn)為無限算術(shù)理論使Aristotle的潛無限和實(shí)無限的兩難性永遠(yuǎn)存在,他的理由是只有所有元素都有了,集合才呈現(xiàn),故集合的無限性應(yīng)看作潛無限非實(shí)無限,無限集合受數(shù)學(xué)研究的影響.集合的勢或集合序的類別被人為指定,‘具有某種界定’或是‘真正的有限’.為此,Cantor區(qū)別了這樣的集合和真正的無限集合,后者的特點(diǎn)是‘無止境,無限制的,非人為設(shè)置的,是不可得的’,而前者是‘可得的’無限.”論斷2:“他(指Cantor)進(jìn)一步指出:‘不可得’無限的多樣性是假設(shè)所有元素‘放在一起’導(dǎo)致矛盾,所以不能將多樣性看作一個(gè)整體,看作‘已成立的事情’.”“Cantor將人們的認(rèn)識(shí)劃分為3個(gè)層次:有限,可得的無限,不可得的無限.實(shí)無限可以看作可得的無限,而不可以人為實(shí)現(xiàn)的潛無限集合可以看作不可得的無限.”論斷3:“不可得的無限,如實(shí)數(shù)集,平行線,函數(shù)的單調(diào)性等.可得的無限,如無理數(shù)等.”“如果將近似取一位小數(shù),兩位小數(shù)……的數(shù)值分別列出1.4,1.41,1.414……形成的無窮數(shù)列的最終值就是.或許學(xué)生難以理解這個(gè)無限數(shù)列和的關(guān)系,這實(shí)質(zhì)是一個(gè)可得的無限.”這里除了論斷3完全是文作者自己的觀點(diǎn),前面兩個(gè)論斷卻間接來自別處.其中,論斷1是轉(zhuǎn)譯自文中轉(zhuǎn)述文和中的說法,但所給譯文并不準(zhǔn)確,是很值得商榷的;論斷2的第一部分是轉(zhuǎn)引自康托的一封信,第二部分是多賓斯基從康托這封信的內(nèi)容總結(jié)出來的觀點(diǎn).在文中,多賓斯基沒有對Moore(文[3~4]作者)的說法給與評(píng)論,也沒有更具體地說明什么是“不可得”的無限,僅強(qiáng)調(diào)在他的文章中只討論“可得無限”,至少是能“確切表述”(Cognitivelyspeaking)的無限.2康托關(guān)于“不可得”的涵義解釋了公理化集合論和范疇論關(guān)于“可思考的所有事物”作為轉(zhuǎn)譯過來的文字,論斷1表述的相當(dāng)混亂,幾乎無法理解.我們認(rèn)為張文中所給的譯文并不符合原文所要表達(dá)的思想.由于篇幅所限,我們不打算咬文嚼字地討論文作者M(jìn)oore的說法,它也并不重要,因?yàn)槎噘e斯基給出了他們自己的理解.在文的第345頁,有如下一段話:“康托關(guān)于不能賦值或賦予序的匯集類(collections)是無法測度的巨大,或是不可得(unattainable)的說法可見證于他給戴德金(Dedekind)的一封信中:如果一種多樣性,當(dāng)其所有元素被假設(shè)‘都已存在’時(shí)會(huì)導(dǎo)致矛盾,那么這個(gè)多樣性是不可能被理解為一個(gè)單位(個(gè)體)的,或被理解為‘一個(gè)完成的對象’.我將這類多樣性稱為絕對或不協(xié)調(diào)的多樣性.例如,我們不難看出,像‘所有可思考的事物’就是這樣一種多樣性.”根據(jù)上面的引文,以近現(xiàn)代所發(fā)展起來的公理化集合論為基礎(chǔ),并結(jié)合其歷史淵源,我們不難弄清楚康托當(dāng)年關(guān)于“不可得”多樣性的含義.但文與文中卻沒有從現(xiàn)代集合論出發(fā)說明這一點(diǎn).如果我們從積極的角度揣測,文與文的作者們可能不愿受囿于現(xiàn)代較為形式化的數(shù)學(xué),仍然期望以樸素的直觀認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)討論無限,但這樣做的消極影響也很明顯,因?yàn)榛乇馨儆嗄陻?shù)學(xué)和邏輯思想的研究成果談?wù)摕o限集合,難免產(chǎn)生一些誤解和混亂(這一點(diǎn)從文中的個(gè)別內(nèi)容也可以看出來).當(dāng)年康托就意識(shí)到,對于將所有的序數(shù)匯集起來的類On={α|α是序數(shù)}是無法賦以序型(序數(shù))的.類似的,對于V={x|x是集合}也無法確定其基數(shù).所以他認(rèn)為這些“匯集”不應(yīng)看作數(shù)學(xué)所要探討的集合.后來還有羅素,他給弗雷格的信中指出,存在著不能明確給定集合的命題函項(xiàng),比如:“x?x”.當(dāng)然,依據(jù)現(xiàn)代的公理集合論,上述的On,V以及{x∈V|x?x}都已經(jīng)從集合論中排除掉了,它們都被稱為“真類”.這些所謂的真類,便都屬于當(dāng)年康托所說的“不可得”的多樣性,因?yàn)樗鼈儗?dǎo)致“不協(xié)調(diào)”.盡管如此,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中,將真類看成一個(gè)完成了的對象個(gè)體也并不會(huì)產(chǎn)生矛盾.了解范疇論的人都知道,這些“真類”在范疇論中經(jīng)常被討論.只有將這些真類看作集合(即作為公理集合論論域中的個(gè)體元)才會(huì)產(chǎn)生矛盾.但在康托時(shí)代,集合論還是建立在樸素實(shí)在論的基礎(chǔ)上,那種關(guān)于概念本體實(shí)在性的觀念還有較重的殘余.以至于概念與思維都比較混亂,沒能搞清楚區(qū)分概念層次在邏輯分析中的重要性,所以產(chǎn)生了悖論.盡管如此,在康托自己的表述中,他還是十分謹(jǐn)慎地將set(集合)與collection(匯集)予以區(qū)別,這說明康托已經(jīng)初步意識(shí)到了概念層次的區(qū)別問題.但文卻忽略了這個(gè)區(qū)別.順便提及,在現(xiàn)代的公理集合論中,康托所說的“可思考的所有事物”連真類也不是.因?yàn)橐袁F(xiàn)代數(shù)學(xué)語言,無論是集合論語言還是范疇論語言,都無法將“可思考”表述成一個(gè)謂詞,因此上述康托所說的匯集便不在數(shù)學(xué)研究的論域之內(nèi).但若將其理解為“所有的集合”,那它恰好是一個(gè)典型的真類.回頭審視文,我們可以清楚地看出,多賓斯基之所以談?wù)摗安豢傻谩倍鄻有?其目的在于從樸素集合論的角度排除可能的悖論.但有一點(diǎn)可以肯定,現(xiàn)代集合論中的那些集合,在多賓斯基看來,都是“可得的”無限.在承認(rèn)選擇公理和良序原理的前提下,這些集合都是可以賦值(基數(shù))或賦予良序結(jié)構(gòu)的,特別的,實(shí)數(shù)集理所當(dāng)然是“可得的”.3不可得與無限層次的區(qū)分盡管上面的分析已經(jīng)搞清了文是怎樣誤讀了康托和多賓斯基,但其文章中的某些說法還需進(jìn)一步澄清.我們知道,僅僅舉例子是不能將概念含義界定清楚的,更何況在論斷3中舉的3個(gè)“不可得”無限的例子居然沒有統(tǒng)一的特征.尤其將“單調(diào)性”作為不可得無限更是匪夷所思.因?yàn)槎x在一個(gè)有限數(shù)集上的函數(shù)也可以具有單調(diào)性,這與無限有什么關(guān)系呢?而且這里還將對象與對象性質(zhì)混為一談.另外兩個(gè)例子雖然與無限有聯(lián)系,但它們?yōu)槭裁磿?huì)是“不可得”的呢?這里最令人奇怪的是文似乎完全不考慮康托的說法而自行解釋“可得”與“不可得”的無限.文中寫到:實(shí)數(shù)集之“不可得”是因?yàn)樗摹俺?jīng)驗(yàn)性”.于是人們?yōu)榱藦闹庇^上認(rèn)識(shí)它,只好借用“數(shù)軸”來代替它.可是數(shù)軸也是“無限長”的直線,同樣是超經(jīng)驗(yàn)的!這種轉(zhuǎn)化有意義嗎?文中沒有回答.接著又說:“平行線也是個(gè)體無法感知的,實(shí)質(zhì)是不可得無限.”綜上可知,文作者認(rèn)為,凡是無法從經(jīng)驗(yàn)(直觀)感知的無限就是“不可得”無限.那么,在文作者看來,什么是“可得”無限呢?論斷3中說:是可得無限.文給出的理由是:它是一個(gè)有理數(shù)列的“最終值”.但文作者可能忘記了,那個(gè)無法描述清楚的無窮數(shù)列也是不能憑經(jīng)驗(yàn)感知的,它不是“不可得”無限嗎?難道所謂的“可得”無限就是由“不可得”無限最終達(dá)到的個(gè)體對象嗎?如果這樣的話,0也是一個(gè)可得無限,因?yàn)樗彩且粋€(gè)數(shù)列的極限,那么有限是什么呢?按文的區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)看康托(或戴德金)的實(shí)數(shù)理論,每一個(gè)實(shí)數(shù)(包括有理數(shù))都該被看作所謂的不可得無限.因?yàn)槿魏我粋€(gè)“基本列的等價(jià)類”(或者戴德金分割)肯定是不能被經(jīng)驗(yàn)所感知的.依然按照文所提出的無限層次區(qū)分標(biāo)準(zhǔn),回顧一百多年來理論數(shù)學(xué)的內(nèi)容發(fā)展和語言變化,我們看到的是:數(shù)學(xué)家們不僅沒有將“不可得”無限轉(zhuǎn)化為“個(gè)體可感知的直觀對象”,反而是將某些原本“有限”的對象轉(zhuǎn)化為所謂的“不可得”無限了.不知道這個(gè)情況是否會(huì)讓文作者感到失望.從上面的分析不難看出,如果不能將文中所提出的無限層次區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)澄清,在數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中必然會(huì)引起極大的認(rèn)知混亂.4無限的區(qū)別標(biāo)準(zhǔn)下面整理一下本文的主要觀點(diǎn):(1)現(xiàn)代數(shù)學(xué)為排除邏輯悖論,以公理化的方式界定了集合論的論域.而關(guān)于“無限”之間關(guān)系的數(shù)學(xué)探討(主要是關(guān)于勢與序型的理論)也僅限于集合論.康托當(dāng)年將“不可得”無限從他的集合論中排除掉,是因?yàn)樗鼈儗?dǎo)致邏輯上的“不協(xié)調(diào)”.但是實(shí)數(shù)集合作為一種無限,在康托眼里肯定是可得的.順便說一下,在拓?fù)鋵W(xué)中,作為空間,標(biāo)準(zhǔn)實(shí)數(shù)空間與一個(gè)有限長度的開區(qū)間沒有本質(zhì)區(qū)別.(2)以個(gè)體能否通過經(jīng)驗(yàn)直觀感知作為無限層次的區(qū)別標(biāo)準(zhǔn),是一種退步.實(shí)際是回到了一般孩提時(shí)代對無限認(rèn)知的朣朦狀態(tài),會(huì)引出大量的表述混亂.(3)文中不止一次將對