第01講 曲線與方程（解析幾何）（解析版）

第01講曲線與方程知識與方法解析幾何主要研究兩方面的內(nèi)容:一是根據(jù)條件求曲線的方程(即軌跡方程)，二是根據(jù)曲線方程,研究曲線的性質(zhì).1.求軌跡方程求曲線的軌跡方程是高考命題的熱點,其一般步驟為:建(坐標(biāo)系)、設(shè)(動點坐標(biāo))、限(限制條件,點滿足的條件)、代(坐標(biāo)代入)、化(化簡整理),最后檢驗軌跡的純粹性與完備性.即:=1\*GB3①建系;②設(shè)點;③列式;④化簡;⑤檢驗.求軌跡方程的常用方法:已知曲線類型——待定系數(shù)法未知曲線類型——①定義法:②直接法:③代入法;④交軌法;⑤參數(shù)法.2.研究曲線的性質(zhì)主要是圖形形狀、對稱性、范圍、最值等.典型例題【例1】已知點集，則平面直角坐標(biāo)系中區(qū)域的面積是（）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由題意，當(dāng)時，只需滿足，；當(dāng)時，對不等式兩側(cè)平方，整理得，綜上可得集合對應(yīng)的圖象，如圖所示，所以其面積為．【例2】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C:就是其中之一(如圖).給出下列三個結(jié)論:=1\*GB3①曲線C恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)；=2\*GB3②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過;=3\*GB3③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中,所有正確結(jié)論的序號是()A.① B.② C.①② D.①②③【答案】C【解析】由得，，，，，所以可為的整數(shù)有0，，1，從而曲線C：恰好經(jīng)過，，，，，六個整點，結(jié)論①正確.由得，，解得，所以曲線上任意一點到原點的距離都不超過.結(jié)論②正確.如圖所示，易知，，，，四邊形ABCD的面積，很明顯“心形”區(qū)域的面積大于，即“心形”區(qū)域的面積大于3，說法③錯誤.【例3】在數(shù)學(xué)中有這樣形狀的曲線:.關(guān)于這種曲線，有以下結(jié)論：=1\*GB3①曲線恰好經(jīng)過9個整點（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）;②曲線上任意兩點之間的距離都不超過2;③曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域的面積大于5.其中正確的結(jié)論有（）A.①③B.②③C.①②D.①②③【答案】A【解析】如圖，圖象由四個圓的部分圖像和原點組成，且四個圓都可過原點，①曲線中，，,經(jīng)過的整點有:,,,,,,,,共9個，命題①正確;②如圖，曲線上任意兩點距離范圍為，即兩點距離范圍為，命題②錯誤;③曲線所圍成的“花瓣”形狀區(qū)域可看成四個半圓和一個正方形組成，設(shè)它的面積為，，命題(3)正確.故選：A.【例4】（多選題）雙扭線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點,距離之積等于的點的軌跡稱為雙扭線.已知點是雙扭線上一點，下列說法中正確的有（）A.雙扭線關(guān)于原點中心對稱;B.;C.雙扭線上滿足的點有兩個;D.的最大值為.【答案】ABD【解析】對，設(shè)動點，由題意可得的軌跡方程為.把關(guān)于原點對稱的點代入軌跡方程，顯然成立；對，因為，故.又，所以，即，故.故正確；對，若，則在的中垂線即軸上．故此時，代入，可得，即，僅有一個，故錯誤；對，因為，故，因為，，故.即，所以.又，當(dāng)且僅當(dāng)，，共線時取等號．故，即，解得，故正確.故選：.【例5】（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，為曲線上一點，則（） A．曲線關(guān)于原點對稱 B． C．曲線圍成的區(qū)域面積小于18 D．到點的最近距離為【答案】ACD【解析】當(dāng)，時，曲線即，將中心平移到位于第一象限的部分；因為點，，都在曲線上，所以曲線圖象關(guān)于軸，軸和原點對稱，作出圖象如圖所示:對于選項：由圖知曲線關(guān)于原點對稱，故選擇項正確；對于選項：令中令得，向右平移一個單位可得橫坐標(biāo)為3，根據(jù)對稱性可知，故選項不正確；對于選項：令中可得，向上平移個單位可得縱坐標(biāo)最大值為，曲線第一象限的部分被包圍在矩形內(nèi)，矩形面積為，所以曲線圍成的區(qū)域面積小于，故選項正確；對于選項：令中，可得，所以到點的最近距離為，故選項正確；綜上所述，選.【例6】（多選題）數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形象美，對稱美，和諧美的結(jié)合產(chǎn)物，曲線：恰好是四葉玫瑰線.給出下列結(jié)論正確的是（）.曲線經(jīng)過5個整點（即橫，縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）.曲線上任意一點到坐標(biāo)原點的距離都不超過2.曲線圍成區(qū)域的面積大于.方程表示的曲線在第一象限和第三象限【答案】【解析】把，代入曲線，可知等號兩邊成立，所以曲線在第一象限過點，由曲線的對稱性可知，該點的位置是圖中的點對于選項，只需要考慮曲線在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整點即可，把，和代入曲線的方程驗證可知，等號不成立，所以曲線在第一象限內(nèi)不經(jīng)過任何整點，再結(jié)合曲線的對稱性可知，曲線只經(jīng)過整點，即錯誤；對于選項，因為，所以，所以，所以，即正確．對于選項，以為圓點，為半徑的圓的面積為，顯然曲線圍成的區(qū)域的面積小于圓的面積，即錯誤；對于選項，因為，所以與同號，僅限與第一和三象限，即正確．故選：．【例7】(雙空題)曲線是平面內(nèi)到定點的距離與到定直線的距離之和為3的動點P的軌跡．則曲線與軸交點的坐標(biāo)是_______；又已知點(為常數(shù))，那么的最小值______．【答案】【解析】(1)設(shè)點坐標(biāo))為，因為動點P到定點的距離與到定直線的距離之和為，所以，當(dāng)時，代入求得，所以與軸交點為.（2）當(dāng)時，曲線可以化為當(dāng)時，曲線可以化為，令，則或，解得或；=1\*GB3①當(dāng)或時,,所以;=2\*GB3②當(dāng)時當(dāng)直線與相交時,交點滿足取得最小值因為拋物線準線方程為,所以直線與準線交點坐標(biāo)為,此時;=3\*GB3③當(dāng)時當(dāng)直線與相交時,交點滿足取得最小值此為拋物線準線方程為所以直線與準線交點坐標(biāo)為,此時.綜上所述,【例8】如圖所示,直線和相交于點,點,以端點的曲線段上任一點到的距離與到點的距離相等，若是銳角三角形,且,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線的方程.【答案】.【解析】解法1:已知曲線類型,-待定系數(shù)法為軸,線段的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示,依題意知:曲線段是以點為焦點,為準線的拋物線的一段,其中分別為的端點.設(shè)曲線段的方程為，其中，分別為、橫坐標(biāo)，，∴，，由，得：=1\*GB3①=2\*GB3②解由=1\*GB3①、=2\*GB3②組成的方程組得，代入=1\*GB3①并由解得或，因為是銳角三角形，∴，故應(yīng)舍去，所以，.由點在曲線段上，得，綜上，得曲線段的方程為.解法2：利用拋物線定義求標(biāo)準方程以為軸，線段的垂直平分線為軸建立直角坐標(biāo)系如圖所示，依題意知：曲線段以點為焦點，為準線的拋物線的一段，過點作，垂線，垂足分別為、，由拋物線定義可知，則，，，所以，即，故拋物線的方程為.由，結(jié)合拋物線定義，得，所以.綜上，得曲線的方程為.【注】求曲線方程時，為了使得最終的結(jié)果具有簡單的形式，需要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般要考慮兩點:①圖形的對稱性;②使盡可能多的點落在坐標(biāo)軸上.【例9】已知雙曲線的左、右頂點分別為，點是雙曲線上不同的兩個動點，求直線與交點的軌跡的方程.【答案】且【解析】由題設(shè)知，則有①，②解法1：聯(lián)立①②解得交點坐標(biāo)為，即③，則，而點在雙曲線上，所以，將③式帶入上式，整理得所求軌跡的方程為且.解法1：設(shè)是直線與交點，①②兩式相乘得（3）而點在雙曲線上，所以，即，代入（3）式整理得.因為是雙曲線上不同的兩點，所以他們與點均不重合，故點不在軌跡上.過點，以及的直線的防塵為，解方程組得.所以直線與雙曲線只有唯一交點，故軌跡不經(jīng)過點，同理軌跡也不經(jīng)過點.綜上，軌跡的方程為且.【注】用交軌法求曲線方程時，要特別注意變量的取值范圖.【例10】如圖,設(shè)點和為拋物線上除原點以外的兩個動點,已知,則點的軌跡方程為（） A.(原點除外) B.（原點除外) C.(原點除外) D.(原點除外) 【答案】A【解析】當(dāng)斜率存在時,設(shè),直線的方程為,由得,聯(lián)立和,消去得,所以,所以,由得,所以,所以,所以,把代入得,當(dāng)斜率不存在時,設(shè)直線的方程為,由得點在軸上,即,∵,又點在拋物線上,故,整理得,故點,滿足方程,綜上所述：動點的軌跡方程為（除原點外)故選：.強化訓(xùn)練1.如果把一個平面區(qū)域內(nèi)兩點間的距離的最大值稱為此區(qū)域的直徑，那么曲線圍成的平面區(qū)域的直徑為（）A.B.C.D.【答案】【解析】的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）曲線是關(guān)于點中心對稱的圖形，所以曲線上點到原點距離為直徑長的一半，當(dāng)時，取得最大值為，所以直徑為.2.由曲線圍成的圖形面積為（）A.B.C.D.【答案】【解析】由題意，作出如圖的圖形，由曲線關(guān)于原點對稱，當(dāng)，時，解析式為，故可得此曲線所圍成的圖形由一個邊長為的正方形與四個半徑為的半圓組成，所圍成的面積是，故選.3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，曲線（實線部分）的方程可以是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因為曲線表示折線段的一部分和雙曲線，A選項，等價于或，表示折線的全部和雙曲線，故錯誤；B選項，等價于或，又表示折線的全部，故錯誤；C選項，等價于或，表示折線在雙曲線外部（包含有原點）的部分，表示雙曲線，符合題中的圖象，故C正確；D選項，等價于或，表示折線在雙曲線外部（包含有原點）的部分，和表示雙曲線在軸正文的部分，故錯誤．4.方程所表示的曲線是( )A.一個圓B.兩個圓C.半個圓D.兩個半圓【答案】A【解析】,表示一個圓,選A.5.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結(jié)論：①曲線C有四條對稱軸；②曲線C上的點到原點的最大距離為；③曲線C第一象限上任意一點作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④【答案】C【解析】①當(dāng)x變?yōu)椋瓁時，不變，所以四葉草圖象關(guān)于y軸對稱；當(dāng)y變?yōu)椋瓂時，不變，所以四葉草圖象關(guān)于x軸對稱；當(dāng)y變?yōu)閤時，不變，所以四葉草圖象關(guān)于y＝x軸對稱；當(dāng)y變?yōu)椋瓁時，不變，所以四葉草圖象關(guān)于y＝－x軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；②因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；③設(shè)任意一點P（x，y），所以圍成的矩形面積為xy，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④由②可知，所以四葉草包含在圓的內(nèi)部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選:C.6.曲線C為：到兩定點、距離乘積為常數(shù)16的動點的軌跡.以下結(jié)論正確的個數(shù)為（）(1)曲線C一定經(jīng)過原點；(2)曲線C關(guān)于x軸、y軸對稱；(3)△的面積不大于8；(4)曲線C在一個面積為64的矩形范圍內(nèi).A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】設(shè)點的坐標(biāo)為，由題意可得，對于命題(1)，將原點坐標(biāo)代入方程得，所以命題(1)錯誤；對于命題(2)，點關(guān)于x軸、y軸的對稱點分別為，，∵∵則點,都在曲線C上，所以，曲線C關(guān)于x軸、y軸對稱，命題(2)正確；對于命題(3)，設(shè)，，,則，由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，則為銳角，所以，，則△的面積為命題(3)正確；對于命題(4)，，可得，得，解得，由（3）知，，得，曲線在一個面積為的矩形內(nèi)，命題（4）正確.因此，正確的命題序號為（2）（3）（4）.故選C.7.雙曲線最早于1694年被瑞士數(shù)學(xué)家雅各布伯努利用來描述他所發(fā)現(xiàn)的曲線.在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點，的距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線.已知點是雙紐線上一點，下列說法中正確的有()①雙紐線關(guān)于原點中心對稱；②；③雙紐線上滿足的點P有兩個；④的最大值為.A.①②B.①②④C.②③④D.①③【答案】B【解析】對①，設(shè)動點，由題可得的軌跡方程，把關(guān)于原點對稱的點代入軌跡方程顯然成立.故①正確；對②因為，故又，所以,即，故，②正確.對③，若，則在的中垂線即軸上.故此時，代入，可得,即,僅有一個.故③錯誤;對④,因為,故,即，因為,故.即,所以.又,當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號.故,即,解得.故④正確.故①②④正確.故選：B8.已知點,動點滿足且,則點的軌跡方程為.【答案】【解析】由已知得,,即由余弦定理得,,即整理得,故的軌跡是以為焦點的橢圓,其中,故所求軌跡方程為.9.設(shè)圓與兩圓中的一個內(nèi)切,另一個外切.求的圓心軌跡的方程.【答案】【解析】（1）設(shè)，，圓的半徑為，則，的圓心軌跡是以，為焦點的雙曲線，，，，的圓心軌跡的方程為.10.已知橢圓的左、右焦點分別是，，是橢圓外的動點，滿足，點是線段與該橢圓的交點，點在線段上，并且滿足，，求點的軌跡的方程.【答案】【解析】方法一：設(shè)