圓錐曲線專題復習第十八講：蒙日圓（原卷版）

第十八講：蒙日圓【學習目標】基礎目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的簡單性質(zhì)，切線即方程的推導過程；應用目標：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的相切條件，熟練掌握交軌法得到的方程；拓展目標：能夠熟練應用切線問題，設而不求的思想，解決相關的蒙日圓問題.素養(yǎng)目標：通過數(shù)形結合，轉化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨立思考和邏輯分析能力，提升學生的數(shù)學運算和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).【基礎知識】蒙日圓：如下圖所示，過點P作橢圓的兩條切線，若這兩條切線互相垂直，則點P的軌跡是圓，該圓即為蒙日圓.蒙日圓的性質(zhì)：如下圖所示，延長、與蒙日圓分別交于點M、N，與交于點Q，則：（1）M、O、N三點共線；（2）；（3）；（4）.拓展：1、雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是圓．2、拋物線的兩條互相垂直的切線的交點在該拋物線的準線上．【考點剖析】考點一：蒙日圓方程例題1、已知橢圓的一個焦點為，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）若動點為橢圓外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程.變式訓練1、若動點為橢圓1外一點，且點到橢圓的兩條切線相互垂直，求點的軌跡方程．變式訓練2、設是圓上任意一點，由引橢圓的兩條切線．當兩條切線的斜率都存在時，證明：兩條切線斜率的積為定值．變式訓練3、過橢圓上的任意一點，向圓引兩條切線．若的斜率乘積恒為定值，求圓的面積．考點二：蒙日圓性質(zhì)例題1、給定橢圓C：(a>b>0)，稱圓心在原點O，半徑為的圓為橢圓C的“準圓”．若橢圓C的一個焦點為F(，0)，其短軸上的一個端點到F的距離為.（1）求橢圓C的方程和其“準圓”方程；（2）若點P是橢圓C的“準圓”上的動點，過點P作橢圓的切線l1，l2交“準圓”于點M，N.證明：l1⊥l2，且線段MN的長為定值．變式訓練1：已知橢圓：的長半軸長為，點（為橢圓的離心率）在橢圓上.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，為直線上任一點，過點橢圓上點處的切線為，，切點分別，，直線與直線，分別交于，兩點，點，的縱坐標分別為，，求的值.變式訓練2：已知拋物線E：過點，過拋物線E上一點作兩直線PM，PN與圓C：相切，且分別交拋物線E于M、N兩點．（1）求拋物線E的方程，并求其焦點坐標和準線方程；（2）若直線MN的斜率為，求點P的坐標．變式訓練3：給定橢圓C:，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓C的“伴隨圓”.若橢圓C的一個焦點為F1(,0)，其短軸上的一個端點到F1的距離為（1）求橢圓C的方程及其“伴隨圓”方程；（2）若傾斜角45°的直線l與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓C的伴隨圓相交于M.N兩點，求弦MN的的長；（3）點P是橢圓C的伴隨圓上一個動點，過點P作直線l1、l2，使得l1、l2與橢圓C都只有一個公共點，判斷l(xiāng)1、l2的位置關系，并說明理由.【當堂小結】1、知識清單：（1）橢圓，雙曲線，拋物線弦長公式；（2）蒙日圓方程的求解；（3）蒙日圓的相關性質(zhì)及求解思路；2、易錯點：蒙日圓的形成分析及應用；3、考查方法：數(shù)形結合思想，數(shù)與形的轉化；4、核心素養(yǎng)：數(shù)學運算，數(shù)學抽象.【過關檢測】1、過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，求證：．2、為拋物線的準線上任一點，過點作拋物線在其上點處的切線，切點分別為，直線與直線分別交于兩點，點的縱坐標分別為，求的值．3、如下圖所示，已知拋物線，點是拋物線的準線上任意一點，直線分別與拋物線相切于點，設直線的斜率分別為．證明：為定值．4、給定橢圓，稱圓為橢圓C的“蒙日圓”．已知橢圓C的焦距為，短軸長為2.（1）求橢圓C及其“蒙日圓”的方程；（2）設P是橢圓C的“蒙日圓”上的動點，過P作橢圓C的兩條切線分別交橢圓C的“蒙日圓”于A、B兩點，證明：，且為定值.5、已知橢圓，P是圓上的一個動點，、分別與橢圓C相切于點和（1）證明：點P在直線上；（2）求的面積的取值范圍.6．已知中心在原點的橢圓C1和拋物線C2有相同的焦點(1，0)，橢圓C1過點，拋物線的頂點為原點．(1)求橢圓C1和拋物線C2的方程；(2)設點P為拋物線C2準線上的任意一點，過點P作拋物線C2的兩條切線PA，PB，其中A、B為切點．設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值；②若直線AB交橢圓C1于C，D兩點，S△PAB，S△PCD分別是△PAB，△PCD的面積，試問：是否有最小值?若有，求出最小值；若沒有，請說明理由.7．已知橢圓的方程為.（1）設是橢圓上的點，證明：直線與橢圓有且只有一個公共點；（2）過點作兩條與橢圓只有一個公共點的直線，公共點分別記為?，點在直線上的射影為點，求點的坐標；（3）互相垂直的兩條直線與相交于點，且?都與橢圓只有一個公共點，求點的軌跡方程.8．已知橢圓的左、右頂點分別為，，點在橢圓上運動，若面積的最大值為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作圓：，的兩條切線，分別與橢圓交于兩點，(異于點)，當變化時，直線是否恒過某定點？若是，求出該定點坐標，若不是，請說明理由.

9．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2：＋＝1(a>b>0)，C2與C1的長軸長之比為∶1，離心率相同．(1)求橢圓C2的標準方程；(2)設點P為橢圓C2上的一點．①射線PO與橢圓C1依次交于點A，B，求證：為定值；②過點P作兩條斜率分別為k1，k2的直線l1，l2，且直線l1，l2與橢圓C1均有且只有一個公共點，求證k1·k2為定值．10．已知拋物線上一點到焦點的距離.（1）求拋物線的方程；（2）過點引圓的兩條切線，切線與拋物線的另一交點分別為，線段中點的橫坐標記為，求的取值范圍.11．如圖，已知是橢圓:上的任一點，從原點向圓：作兩條切線，分別交橢圓于點、．（1）若直線，的斜率存在，并記為，，求證：為定值；（2）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

12．已知拋物線：（）