初中四邊形輔助線規(guī)律

3.1一般四邊形常用的輔助線1、連對角線構(gòu)造三角形【例1】已知：如圖（1）,在四邊形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=13,AD=12,/B=90o.求四邊形ABCD的面積。分析：由/B=90o，AB=3,BC=4,聯(lián)想到連結(jié)AC，利用勾

股定理解得AC=5,又AD=12,CD=13由勾股定理的逆定理有/DAC為直角，從而S =S+S。四邊形ABCD ΔABC ^ACD解：連結(jié)AC，在RtΔABC中，AC2=AB2+BC2=32+42=25?.?CD=13,AD=12.?.AD2+AC2=CD2.?.ΔACD是直角三角形， /DAC=90o11.?.S =S+S=AB?BC+AD?AC四邊形ABCD ΔABC ΔACD 2 211=×3×4+×12×5=3622、延長對邊構(gòu)造三角形【例2】如圖（2），在四邊形ABCD中，/A=60o,/B=ZD=90o,BC=2,CD=3,則AB等于多少？分析：^A=60。,ZB=90。,如果延長AD、BC即可出現(xiàn)30。角的直角三角形，從而把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形只是解決。解：延長AD交BC的延長線于點(diǎn)G?.?ZABC=90o,ZA=600 .?ZG=300又?.?ZADC=90o??.CG=2CD=6,BG=BC+CG=8在RtΔABG中，設(shè)AB=x,則AG=2X,BG=√3^X=.?.x=—、;'3即AB=—√333、化為三角形和特殊四邊形【例3】在四邊形ABCD中，AD=3,BC=3√3,BD=7,/BAD=120。,ΛABC=90。.如圖(3),求：CD的長和AB的長。解心昨辦E_ 交上1的延長線于EzDE—EC于F■：ZABC=90c .二四邊形EBFD是矩形DE=RFrF=EB'：ZDAB=IMC /1=60C.-.AE=-AD=-.DE=^AE=—=BF1 2 1:.FC=BC-BF=上^Σ則DF為的中垂線/.DC=BD=1(2)?-EB=』BD；-DE：=-?=三AB=EB-AE= =52 2二、多邊形中常用的輔助線一般地，解決多邊形問題的思路是：轉(zhuǎn)化為三角形和特殊四邊形的問題來解決。1連對角線轉(zhuǎn)化【例4】已知：如圖（4）,求證：/A+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360。分析：要證此六角只和為360。，想到四邊形的內(nèi)角和為360。，故轉(zhuǎn)化為一個(gè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角，

由圖很容易想到連結(jié)BE。圖U)證明：連金石?.?Z1=/C+/D,Zl=/CBE+/DEB??.ZC+ZD=ZCBE+ZDEB??.ZA+ZABC+ZC+ZD+ZDEF+ZF=ZA+ZABC+ZCBE+ZDEB+ZDEF+ZF=ZA+ZABE+ZBEF+ZF=360o2延長邊的轉(zhuǎn)化【例5】如圖（5）,在六邊形ABCDEF中ZA=ZB=ZC=ZD=ZE=ZF=120。。求證：AB+BC=EF+ED。分析：由題意知各角都為120o，想到它的外角為60o，如果延長各邊，能得到等邊三角形，又由求證AB+BC=EF+ED想到延長所涉及的邊構(gòu)成線段；當(dāng)題中涉及到120。,60。,45。,30。等特殊角時(shí)，常想到把他們轉(zhuǎn)化到特殊三角形中，如等邊三角形、直角三角形等。證明；分別延長和反向延長CD,EF,得到“以■//產(chǎn)/F=I$0口—乙SAF=180c-120c=?0c同理/HFP=60E .-.NF=6嚴(yán):.AP=APAF=乙（FF即注巴IF為等邊三角形同理Δ5C^0AD成均為等邊三角形ΔP紗也為等邊三角形/.PQ=PRzΛP=PEzSC=BQzDE=胞則尸Q-PA=RP-PF即從Q=F比HR+BQ=FE+JtE,AB+BC=EF^ΣD三、平行四邊形常用的輔助線（矩形、菱形，正方形與其相同）1、過一邊兩端點(diǎn)作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題【例6】如圖（8），已知點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)

一點(diǎn)，PA=3,PB=4,PC=5,求PD的長。網(wǎng)⑻分析：利用已知條件，可過P分別作兩組對邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題。2、延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形【例7】 已知如圖（9），正方形ABCD中，E、F分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn)。求證：AP=ABo分析：F為AB的中點(diǎn)，若延長CF

交BA延長線于點(diǎn)K,則有

ACDF=AKAF,故AK=CD=AB,再利用

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半證題。證明；延長CF交3的延長線于點(diǎn)K;四邊形HD為正方形，CDAKΛzl=ZK又："=ZDAK=9。ClQF=AFACDF二^KAF..AK=CD=AB■：CE=-CD.DF=-AD ,CW=DF? ■ ,-CE=-CD.DF=-AD .CE=DF2 - 1■：ZSCD=ZD=90；BC=CD :. 二ΔCDFξz1=Z2■/√1÷Z?=9Y r,Z2+Z3=則.-.=9Ocl=ZBPF=90CE λAP=^BK=AB3、把對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線【例8】已知：如圖（11）,乙_7ABCD中，AN=BN,BE=1BC,NE交BD于點(diǎn)F。3求BF:BDo分析：N為AB的中點(diǎn)，若連結(jié)AC與BD交于點(diǎn)。，則ON為ΔABC的中位線，利用對應(yīng)線段成比例，則結(jié)論可證。解：連結(jié)AC交6。于點(diǎn)0,連結(jié)ON.。?.?四邊形48。。為平行四邊形 ??.AO=OC,BO=OD=BD21 BEBF?.?AN=BNON//BC,——=——2 ONFO1 BF2?.?BE=-BC BE:ON=2:3,—=-3 FO3BF1…BD—5BF2——BO54、把以一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段延長，構(gòu)造全等三角形【例9】如圖（12），過正方形ABCD的頂點(diǎn)B作BE//AC,

且AE=AC,又CF//AE。求證：/BCF=-/AEB。2分析：由BE//AC,CF//AE,AE=AC知四邊形AEFC

是菱形，連結(jié)BD」、AH±BE垂足為H點(diǎn)，根據(jù)正

方形的一些性質(zhì)可以知道，四邊形AHBO是正方形，從而AH=AO=-AC=-AE,可得/E=/ACF=30。,/BCF=15。2 2證明：連結(jié)BD交AC于O,作AH1BE交BE于H在正方形ABCD中，AC1BD,AO=BO又BE//AC,AH1BE???BO1BE,四邊形AOBH為正方形 AH=AO=-AC?.?AE=AC .?./AEH=30。?.?BE//AC,AE//CF 二.四邊形ACFE是菱形，/AEF=/ACF=30。???AC是正方形的對角線 ???/ACB=45。,/BCF=15。.?./BCF=-/AEB2一、新知探索例1已知，如圖：在梯形ABCD中，AD〃BC,EF與MN互相垂直平分，E、F、M、N分別為AD、BC、BD、AC的中點(diǎn).求證：AB=CD.例2.如圖，已知：正方形ABCD中，E是BC邊上的一點(diǎn)，AF平分/EAD.求證：AE=DF+BE.例3.如圖，在梯形ABCD中，點(diǎn).求證：EF=1（BC—AD