深圳市XX中學(xué)必修五第三章《不等式》測(cè)試卷(答案解析)

一、選擇題1．若正數(shù)，滿足，則的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．82．若正實(shí)數(shù)a，b滿足lga＋lgb＝1，則的最小值為（）A． B．2 C． D．23．已知，不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，且，使得成立，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．4．已知x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A．3 B． C．1 D．5．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A．2 B．1 C． D．26．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，，則的最小值為（）A．9 B． C． D．27．已知，滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．設(shè)滿足約束條件，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．109．已知實(shí)數(shù)滿足不等式組,若目標(biāo)函數(shù)的最大值不超過4,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．[10．已知實(shí)數(shù)，滿足若目標(biāo)函數(shù)的最大值為，最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．下列函數(shù)中，最小值為4的是（）A． B．C． D．12．已知直線l的方程為2x+3y＝5，點(diǎn)P（a，b）在l上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題13．已知正數(shù)，滿足，則的最小值是________．14．若實(shí)數(shù)和滿足，則的取值范圍為______．15．若關(guān)于的不等式和的解集分別為和,則稱這兩個(gè)不等式為“對(duì)偶不等式”.若不等式和不等式為“對(duì)偶不等式”,且,則______.16．已知實(shí)數(shù)，滿足則函數(shù)的最大值為__________．17．已知點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，設(shè)z為在上的投影，則z的取值范圍是__________.18．設(shè)，滿足約束條件則的最小值為__________．19．設(shè)、滿足約束條件，則的最大值是__________．20．已知a＞0，b＞0，則p＝﹣a與q＝b﹣的大小關(guān)系是_____．三、解答題21．設(shè)函數(shù)．（1）若不等式的解集為，求的值；（2）若，求的最小值．22．已知，命題：對(duì)任意，不等式恒成立；命題：存在，使得成立．（1）若為真命題，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若為真，為假，求的取值范圍．23．已知實(shí)數(shù)，滿足不等式組，求目標(biāo)函數(shù)的最值及相應(yīng)的最優(yōu)解．24．已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且.（1）求和的解析式；（2）設(shè)（其中），解不等式.25．已知函數(shù).（1）若的定義域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的值；（2）若的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍.26．已知函數(shù)．（1）若不等式的解集為，求m，n;（2）設(shè)，且，求的取值范圍．【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除一、選擇題1．D解析：D【分析】由，對(duì)乘以，構(gòu)造均值不等式求最值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴.故選：D【點(diǎn)睛】利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：“一正、二定、三相等”(1)“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；(2)“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方．如果等號(hào)成立的條件滿足不了，說明函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間單調(diào)，可以利用單調(diào)性求最值或值域．2．D解析：D【分析】應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算得到，由目標(biāo)式結(jié)合基本不等式有即可求其最小值.【詳解】∵，即，∴，而，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴的最小值為2.故選：D【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方3．D解析：D【分析】根據(jù)條件對(duì)于一切實(shí)數(shù)不等式恒成立和使得方程成立結(jié)合二次不等式、二次方程、二次函數(shù)，可得，將化成，再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁綄?duì)于一切實(shí)數(shù)恒成立，所以，又因?yàn)?，使得成立，所以，所以，即，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.故選：D.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.4．A解析：A【分析】由題意首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解最大值即可.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值，當(dāng)時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.5．D解析：D【解析】分析：根據(jù)基本不等式的性質(zhì)求出2a+b+c的最小值即可．詳解：由題得：因?yàn)閍2+ac+ab+bc=2，∴（a+b）（a+c）=2，又a，b，c均為正實(shí)數(shù)，∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)a+b=a+c時(shí)，即b=c取等號(hào)．故選D.點(diǎn)睛：本題考查了絕對(duì)值的意義，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．6．B解析：B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前項(xiàng)和公式求得，然后由“1”的代換應(yīng)用基本不等式求得最小值．【詳解】由題意，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查基本不等式求最值．解題基礎(chǔ)是掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，掌握基本不等式求最值中“1”的代換法．7．A解析：A【解析】分析：該問題是已知不等關(guān)系求范圍的問題，可以用待定系數(shù)法來解決．詳解：設(shè)α+3β=λ（α+β）+v（α+2β）=（λ+v）α+（λ+2v）β．比較α、β的系數(shù)，得，從而解出λ=﹣1，v=2．分別由①、②得﹣1≤﹣α﹣β≤1，2≤2α+4β≤6，兩式相加，得1≤α+3β≤7．故α+3β的取值范圍是[1，7]．故選A點(diǎn)睛：本題考查待定系數(shù)法，考查不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．B解析：B【分析】結(jié)合題意畫出可行域，然后運(yùn)用線性規(guī)劃知識(shí)來求解【詳解】如圖由題意得到可行域，改寫目標(biāo)函數(shù)得，當(dāng)取到點(diǎn)時(shí)得到最小值，即故選【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用線性規(guī)劃求解最值問題，一般步驟：畫出可行域，改寫目標(biāo)函數(shù)，求出最值，需要掌握解題方法9．D解析：D【分析】將化為,作出可行域和目標(biāo)函數(shù)基準(zhǔn)直線(如圖所示),當(dāng)直線將左上方平移時(shí),直線在軸上的截距增大,由圖象,得當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),取得最大值,聯(lián)立,得,則,解得;故選D.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.需要注意的是：一、準(zhǔn)確無誤地作出可行域；二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線時(shí)，要注意與約束條件中的直線的斜率進(jìn)行比較，避免出錯(cuò)；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得.10．C解析：C【解析】試題分析：畫出可行域如下圖所示，依題意可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)取得最大值，在點(diǎn)取得最小值.由圖可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故取值范圍是.考點(diǎn)：線性規(guī)劃.11．C解析：C【分析】逐個(gè)分析每個(gè)選項(xiàng)，結(jié)合基本不等式和函數(shù)性質(zhì)即可判斷.【詳解】A項(xiàng)，沒有最值，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，令，則，，由于函數(shù)在上是減函數(shù)，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為，故C項(xiàng)正確；D項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12．C解析：C【分析】由題意可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），將所求式子化為b的關(guān)系式，由基本不等式可得所求最小值．【詳解】直線l的方程為2x+3y＝5，點(diǎn)P（a，b）在l上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，可得2a+3b＝5，a，b＞0，可得4a＝10﹣6b，（3b＜5），則[（11﹣6b）+（9+6b）]（）（7），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即b，a，上式取得最小值，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查變形能力和化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題13．9【分析】由已知結(jié)合基本不等式即可直接求解【詳解】為正實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)即解得：或（舍去）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)即的最小值是9故答案為：9【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了利用基本不等式求最值解題的關(guān)鍵解析：9【分析】由已知結(jié)合基本不等式，即可直接求解．【詳解】，為正實(shí)數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，，即解得：或（舍去），，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值是9．故答案為：9【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵是利用基本不等式將已知條件轉(zhuǎn)換成關(guān)于的一元二次不等式，進(jìn)而解不等式得解，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】設(shè)方程化簡(jiǎn)為得到再結(jié)合基本不等式得到根據(jù)一元二次不等式不等式的解法即可求解【詳解】設(shè)因?yàn)榭傻盟越獾没蛴钟僧?dāng)且僅當(dāng)時(shí)即時(shí)等號(hào)成立整理得解得所以即則的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)利解析：.【分析】設(shè)，方程化簡(jiǎn)為，得到，再結(jié)合基本不等式，得到，根據(jù)一元二次不等式不等式的解法，即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，可得，所以，解得或，又由，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，整理得，解得，所以，即則的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)，利用換元法把方程化簡(jiǎn)為，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式，得出不等式和是解答的關(guān)鍵.15．【分析】由對(duì)偶不等式的定義結(jié)合一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系以及韋達(dá)定理可得化簡(jiǎn)得即可得解【詳解】設(shè)不等式和不等式的解集分別為和則為方程的兩個(gè)根為方程的兩個(gè)根由韋達(dá)定理得所以即又所以所以即故答案解析：【分析】由對(duì)偶不等式的定義結(jié)合一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系以及韋達(dá)定理可得，，，，化簡(jiǎn)得，即可得解.【詳解】設(shè)不等式和不等式的解集分別為和，則，為方程的兩個(gè)根，，為方程的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，，，，所以即，又，所以，所以即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式和一元二次方程之間的關(guān)系，考查了對(duì)于新概念的理解和三角函數(shù)的以值求角，屬于中檔題.16．【解析】作出不等式所表示的平面區(qū)域如圖所示由得作出直線并平移由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)縱截距最小此時(shí)最大聯(lián)立得即故解析：【解析】作出不等式所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由得，作出直線，并平移，由圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，縱截距最小，此時(shí)最大，聯(lián)立，得，即，故．17．【分析】作出可行域根據(jù)投影的定義得數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍即求z的取值范圍【詳解】作出可行域如圖所示∴當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃和向量的投影屬于中檔題解析：【分析】作出可行域.根據(jù)投影的定義得，數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍，即求z的取值范圍.【詳解】作出可行域，如圖所示.，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃和向量的投影，屬于中檔題.18．2【分析】由約束條件作出可行域化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論【詳解】畫出表示的可行域如圖由可得將變形為平移直線由圖可知當(dāng)直經(jīng)解析：2【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得結(jié)論.【詳解】畫出表示的可行域，如圖，由可得，將變形為，平移直線，由圖可知當(dāng)直經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，最大值為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中，利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.19．16【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域由可得則表示直線在軸上的截距截距越大越大結(jié)合圖象即可求解的最大值【詳解】作出滿足約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示：由可得則表示直線在軸上的截距截距越大越大作直線然解析：16【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，由可得，則表示直線在軸上的截距，截距越大，越大，結(jié)合圖象即可求解的最大值．【詳解】作出、滿足約束條件表示的平面區(qū)域，如圖所示：由可得，則表示直線在軸上的截距，截距越大，越大作直線，然后把該直線向可行域平移，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，最大由可得，此時(shí)．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃知識(shí)的應(yīng)用，求解的關(guān)鍵是明確目標(biāo)函數(shù)中的幾何意義．屬于中檔題.20．【分析】由已知結(jié)合作差法進(jìn)行變形后即可比較大小【詳解】因?yàn)榕c所以時(shí)取等號(hào)所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式大小的比較作差法的應(yīng)用是求解問題的關(guān)鍵解析：【分析】由已知結(jié)合作差法進(jìn)行變形后即可比較大小．【詳解】因?yàn)?，，與，所以，時(shí)取等號(hào)，所以．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式大小的比較，作差法的應(yīng)用是求解問題的關(guān)鍵．三、解答題21．（1）；（2）．【分析】（1）由不等式的解集．，是方程的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可求，值；（2）由，得到，將所求變形為展開，利用基本不等式求最小值．【詳解】解：（1）∵的解集為，是的兩根，．（2）由于，，，則可知，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)成立，所以的最小值為.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：在用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.22．（1）；（2）．【分析】（1）由為真命題，若，只需恒成立，即可求的取值范圍；（2）若為真時(shí)，結(jié)合已知條件：討論真假、假真，分別求得的范圍，取并集即可.【詳解】解：（1）對(duì)任意，不等式恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，即，解得．因此，當(dāng)為真命題時(shí)，的取值范圍是．（2）當(dāng)時(shí)，若為真命題，則存在，使得成立，所以；故當(dāng)命題為真時(shí)，．又∵，中一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題．當(dāng)真假時(shí)，由，得；當(dāng)假真時(shí)，有或，且，得．綜上所述，的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）函數(shù)不等式在閉區(qū)間內(nèi)恒成立，有求參數(shù)范圍.（2）由復(fù)合命題的真假討論簡(jiǎn)單命題的真假組合，并求對(duì)應(yīng)參數(shù)范圍取并集即可.23．在時(shí)，取得最小值，在時(shí)，取得最大值．【分析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），由得，由得，由得，作直線，向上平移直線，減小，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值；向下平移直線，增大，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值；所以目標(biāo)函數(shù)在時(shí)，取得最小值，在時(shí)，取得最大值．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，解題方法是作出可行域，作出線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，平移直線求得最優(yōu)解，如果目標(biāo)函數(shù)不是線性的，則可根據(jù)其幾何意義求解，如直線的斜率、兩點(diǎn)間的距離等，屬于中檔題．24．(1)，；(2)答案見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)利用方程組法即可求f（x）和g（x）的解析式；（2）即，討論當(dāng)當(dāng)時(shí)，即，對(duì)應(yīng)方程的兩個(gè)根為，，比較與-3的大小，進(jìn)行討論；試題（1）由題意，即，又聯(lián)立得，.（2）由題意不等