甘肅省中學(xué)八級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《分式線性映射》課件-北師大版

甘肅省中學(xué)八級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《分式線性映射》課件-北師大版第一頁，共30頁。6.2.1分式線性映射的定義及幾何意義由函數(shù)

所確定的映射稱為分式線性映射，也稱變換。不是恒等映射的分式線性映射至多只有2個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。返回第一頁2第二頁，共30頁。分式線性在擴(kuò)充上加如下補(bǔ)充定義：

若在處，定義分式線性的逆映射：學(xué).科.網(wǎng)也是分式線性映射。分式線性映射是由下列3種特殊映射復(fù)合而成：第二頁3第三頁，共30頁。，是一個(gè)平移映射。(1)如下圖所示：圖（二）第三頁4第四頁，共30頁。(2)是一個(gè)旋轉(zhuǎn)與伸縮映射。若設(shè)那么即z先轉(zhuǎn)一個(gè)角度

再將

伸長(zhǎng)(或縮短)見圖：

倍，得到的。圖（三）第四頁5第五頁，共30頁。(3),是一個(gè)反演映射，見下圖：圖（四）第五頁6第六頁，共30頁。由定理2，可見映射

6.2.2保角性對(duì)應(yīng)的，且具有保角性。因此，有如下定理：是一一定理1分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面是一一對(duì)應(yīng)返回的，且具保角性。

第六頁7第七頁，共30頁。將圓周映射成圓周，這是因?yàn)榉质骄€性由平移、如將直線看做半徑為的圓，則分式線性映射定理2分式線性映射將擴(kuò)充復(fù)平面映射成擴(kuò)充復(fù)平面上的圓周，具有保圓性。

6.2.3保圓性

上的圓周伸縮及反演等3種映射復(fù)合而成，可以驗(yàn)證這3種映射都是將圓周映射成為圓周的，所以有：第七頁8第八頁，共30頁。6.2.4保對(duì)稱性分式線性映射還有所謂保持對(duì)稱點(diǎn)不變的性質(zhì)，我們知道對(duì)稱點(diǎn)的一個(gè)很重要特性，即

是關(guān)于圓周

是經(jīng)過

的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)的充要條件的任何圓周與

正交。見下圖:

返回圖（五）即保對(duì)稱性。第八頁9第九頁，共30頁。綜上所述，再由分式線性映射的保角性，有：

定理1設(shè)點(diǎn)

是關(guān)于圓周C一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，

那么在分式線性映射下，它們的像點(diǎn)與

也是關(guān)于C的像曲線

的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn).第九頁10第十頁，共30頁。6.2.5保交比性若

至少了3點(diǎn)是不相同的，稱

為擴(kuò)充復(fù)平面中的4個(gè)點(diǎn)，為這4點(diǎn)的交比。返回第十頁11第十一頁，共30頁。可以證明：在分式線性映射下，有：即交比在分式線性下是不變的，這就是所謂保交比性。

定理4在分式線性映射下，4點(diǎn)的交比不變。

第十一頁12第十二頁，共30頁。6.2.6唯一確定分式線性映射的條件

定理5設(shè)分式線性映射將擴(kuò)充復(fù)平面上3個(gè)相異點(diǎn)指定映射為

寫成則此分式線性映射就被唯一確定，并且可以返回第十二頁13第十三頁，共30頁。證：由定理4，只須指定3對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)：

再由保交比性

就可得到(6.2.4).設(shè)有兩個(gè)分式線性映射

同時(shí)將

分別映射為則分式線性映射有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)第十三頁14第十四頁，共30頁。因此它是恒等映射。即，故推論

設(shè)

是一分式線性映射，且可表示為

，則此分式線性映射第十四頁15第十五頁，共30頁。特別地，若,則有例1在平面上給出中心分別在與，半徑為(如下圖所示)，在映射的兩圓弧所圍的區(qū)域平面上的什么區(qū)域？下映射成第十五頁16第十六頁，共30頁。圖（六）第十六頁17第十七頁，共30頁。解：兩圓弧的交點(diǎn)為i與-i,且相互正交，交點(diǎn)I與-i分別映射為W平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和原點(diǎn)。因此所給區(qū)域經(jīng)映射后映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域，張角為

要確定角形區(qū)域的位置，只要定出它邊上異于頂點(diǎn)的任何一點(diǎn)就行。取所給圓弧C1與正實(shí)軸的交點(diǎn)第十七頁18第十八頁，共30頁。它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是：這一點(diǎn)在第三象限的分角線上,由保角性知C2映射為第二象限的分角角形區(qū)域如圖(六)所示。從而映射成的第十八頁19第十九頁，共30頁。例2求把上半平面映射成單位圓的分式線性映射。解：由于上半平面總有一點(diǎn)實(shí)軸要映射成單位圓，而與是關(guān)于實(shí)軸的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)，所以根據(jù)定理5的推論知，這個(gè)分式線性映射有如下形式：的圓心w=0.第十九頁20第二十頁，共30頁。注意到實(shí)軸上的點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)著上式兩邊取模得:此時(shí)因此|k|=1,即，這里是任意實(shí)數(shù)。上的點(diǎn)。第二十頁21第二十一頁，共30頁。故所求分式線性映射為：

由此可見，把上半平面映射成單位圓的分式線性映射不是唯一的，而是有無窮多個(gè)。特別地取則上式變?yōu)榈诙豁?2第二十二頁，共30頁。應(yīng)用中取，則其反函數(shù)把映為例3求將上半面

映射成單位圓且滿足條件

的分式線性映射。解：由條件，知所求的映射將上半平面中的點(diǎn)映射成單位圓的圓心,所以由(6.2.7)得：第二十二頁23第二十三頁，共30頁。因?yàn)閺亩蟮挠成錇椋旱诙?4第二十四頁，共30頁。例4求將單位圓

映射成單位圓

的所有分式線性映射。解：設(shè)分式線性映射把映射為，則把映射為∞，由(6.2.5)式，這種分式線性映射有形式：第二十四頁25第二十五頁，共30頁。當(dāng)時(shí)，，因此故所求的分式線性映射為：例5求將上半平面

映射成圓

且滿足條件

,的分式線性映射。

第二十五頁26第二十六頁，共30頁。解：容易看出，映射將映射成，這