不等式劉志中

不等式不等式的概念不等式的性質(zhì)重要不等式不等式的解法不等式的證明不等式的應(yīng)用一本章知識(shí)結(jié)構(gòu)二高考復(fù)習(xí)建議:1重視數(shù)學(xué)思想方法的復(fù)習(xí):解不等式時(shí),要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的訓(xùn)練解不等式的過(guò)程是一個(gè)的等價(jià)轉(zhuǎn)化過(guò)程,通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化可簡(jiǎn)化不等式組,以快速,準(zhǔn)確求解2加強(qiáng)分類討論的復(fù)習(xí)在解不等式或證明不等式的過(guò)程中,如含參數(shù)問(wèn)題,一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論要學(xué)會(huì)分析引起分類討論的原因,合理的分類,做到不重不漏不等式茶陵一中：劉志中3加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練,不等式,函數(shù),方程三者密不可分,相互聯(lián)系,互相轉(zhuǎn)化如參數(shù)的取值范圍問(wèn)題4在不等式的證明中,加強(qiáng)化歸思想的復(fù)習(xí),證不等式的過(guò)程是一個(gè)把已知條件向要證結(jié)論的一個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程,既要基礎(chǔ)知識(shí),以要分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,證明不等式是高考考查同學(xué)們代數(shù)推理能力的重要素材,因此要重視利用函數(shù)f=a/a>0的單調(diào)性解決有關(guān)最值問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)2加強(qiáng)不等式的應(yīng)用:高考中除單獨(dú)考查不等式的試題外,常在一些函數(shù),數(shù)列,立幾,解幾和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的試題中涉及不等式的知識(shí)要加強(qiáng)不等式的應(yīng)用能力,是提高解綜合題能力的關(guān)鍵提高應(yīng)用意識(shí),總結(jié)不等式的應(yīng)用規(guī)律,如在實(shí)際問(wèn)題應(yīng)用中,主要有構(gòu)造函數(shù)求最值等方法,求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件,避免不必要的錯(cuò)誤不等式的性質(zhì):一單向性:二雙向性:傳遞性,注意找中間量注意條件為正注意乘的數(shù)的正負(fù)算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)1如果,且n>1,那么叫做這n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)2定理:如果,那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”號(hào)推論:二元均值不等式如果a,b是正數(shù),那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取“=”號(hào)重點(diǎn)難點(diǎn)1二元均值不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能2創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件:合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧,而拆與湊成因在于使等號(hào)能夠成立3“和定積最大,積定和最小”,即2個(gè)正數(shù)的和為定值,即可求其積最大值;積為定值,則可求其和的最小值

應(yīng)用此結(jié)論時(shí)注意:一正各項(xiàng)或因式非負(fù);二定和或積為定值;三相等各項(xiàng)或各因式都能取得相等的值必要時(shí)要作適當(dāng)?shù)淖冃?以滿足上述前提不等式的證明:一比較法:1差比法:要證a>b,只須證a-b>02商比法:要證a>b,b>0,只須證a/b>1步驟:作差變形判斷差式的正負(fù)作商變形判斷商式與1的大小注意:差比法變形主要是分解多個(gè)因式的積商或多個(gè)式子的平方和,必須分解徹底商比法變形主要是通過(guò)適當(dāng)放大或適當(dāng)縮小從而利用不等式的傳遞性判斷與1的大小處理絕對(duì)值:*由定義討論去掉絕對(duì)值符號(hào),**利用平方去掉絕對(duì)值符號(hào)如:解:∵a,b是不相等的正數(shù)1.設(shè)a,b是兩個(gè)不相等的正數(shù), 試比較A,G,H,Q的大小. 此題應(yīng)先從特殊的角度去探索,令a=1,b=3,則從而明確了比較方向.故由得又故2.在等比數(shù)列和中,試比較和的大小.解:設(shè)的公比為q,的公差為d,則說(shuō)明:通過(guò)d與q的關(guān)系,把與都用與q表示,是解題的關(guān)鍵3、絕對(duì)值小于的數(shù)的集合為S，在S中定義一種運(yùn)算*，使得，求證：如a,b∈Ｓ則a*b∈Ｓ．證明：∵a,b∈S∴-1<a<1,-1<b<1∴<0即：:已知且,求4a-2b的范圍不少同學(xué)采用下面的方法求解

一個(gè)典型題目的典型錯(cuò)解解:由于1212得34+(-1)1得2上述解法似乎每一步合情合理,實(shí)際上是錯(cuò)的,先看不等式 什么時(shí)候取等號(hào),由上述知當(dāng)a=3/2且b=3/2時(shí)才取等號(hào),而此時(shí)a-b=0,不滿足1式,故4a-2b是不能等于3的同理驗(yàn)證4a-2b也不能等于12,原因是“同向不等式兩邊分別相加所得不等式與原不等式同向“這一性質(zhì)中單向的,(-2)得43用它來(lái)做同解變形,是非同解變形,上述解法為了求得a,b范圍,多次應(yīng)用了這一性質(zhì),必然使所求范圍擴(kuò)大了,因此是錯(cuò)誤的因而用“同向不等式相加法則”盡量只用一次正確解法:待定系數(shù)法設(shè)解得又即換元法令則由解得而則數(shù)形結(jié)合法在坐標(biāo)平面a0b上,作出直線ab=2,ab==1,a-b=2,則和表示平面上的陰影部分包括邊界如圖所示,令4a-2b=m,則b=2a-m/2,顯然m為直線4a-2b=m在b軸上截距2倍的相反數(shù),易看出,直線4a-2b=m過(guò)陰影最左邊的點(diǎn)A3/2,1/2時(shí),m取最小值得;過(guò)陰影最右邊的點(diǎn)C3,1時(shí),m取最大值10baoa-b=1a-b=2a+b=2a+b=4ABCD,b,c>0,求證:分析:運(yùn)用均值不等式易得但只能得到無(wú)法證出:因此,應(yīng)另尋突破口事實(shí)上,注意此式左右特點(diǎn)聯(lián)想應(yīng)用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于其幾何平均數(shù),為此將左邊的兩個(gè)數(shù)相加變成三個(gè)數(shù)相加即此題用“很自然”的思路,受困,分析原因,捕捉信息,最后走出困境二綜合法:利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式作為基礎(chǔ),再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求的不等式這種證明方法叫做綜合法即:由因?qū)Ч缱C模式為三分析法:從證的不等式出發(fā),分析使這個(gè)不等式成立的充分條件,把證明這個(gè)不等式的問(wèn)題轉(zhuǎn)化這些條件具備的問(wèn)題如果能肯定這些條件都具備,那么就可以判定所證的不等式成立這種證明方法叫做分析法即:執(zhí)果索因模式為:四、換元法:通過(guò)換元減少變量從而繁化簡(jiǎn)主要增量代換,三角代換如:轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解題五判別式法:它是利用二次方程是否有解條件的知識(shí) 有解

恒正六放縮法:就是利用不等式的傳遞性把其一邊適當(dāng)增大或縮小七利用單調(diào)性法:構(gòu)造一個(gè)單調(diào)函數(shù),而不等式的兩端恰好是這個(gè)函數(shù)的