第四節(jié)空間向量及其坐標(biāo)表示講義（原卷版）

第四節(jié)空間向量及其坐標(biāo)表示考點(diǎn)梳理一、空間直角坐標(biāo)系及點(diǎn)的坐標(biāo)從空間某一定點(diǎn)引三條互相垂直且有相同單位長(zhǎng)度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，軸、軸、軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每?jī)蓷l確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別是平面、平面、平面.在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.3.空間點(diǎn)的坐標(biāo)空間內(nèi)的任意點(diǎn)和三元有序?qū)崝?shù)組構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們把這組數(shù)稱為點(diǎn)的坐標(biāo)，記做，并依次稱為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).4.空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法通過(guò)該點(diǎn)，作兩條軸所確定平面的平行平面，此平面交另一軸于一點(diǎn)，交點(diǎn)在這條軸上的坐標(biāo)就是已知點(diǎn)相應(yīng)的一個(gè)坐標(biāo).特殊點(diǎn)的坐標(biāo)：原點(diǎn)；軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.5.空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則有點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于豎軸(z軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是.例題分析例1、（1）（2022·廣州市協(xié)和中學(xué)高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)M是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則M的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．（2）（2022·廣東佛山·高二期末）已知，記M到x軸的距離為a，到y(tǒng)軸的距離為b，到z軸的距離為c，則（

）A． B．C． D．二、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、空間兩點(diǎn)間的距離公式若，則即:一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)..2、空間線段的中點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)空間兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.3、向量加減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算若，則①;②;③;例題分析例2、（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若△頂點(diǎn)，且，，則點(diǎn)C坐標(biāo)是___________.例3、（2022·廣東潮州·高二期末）（多選）已知向量，則與共線的單位向量（

）A． B． C． D．例4、（2022·廣東·紅嶺中學(xué)高二期末）已知向量,,并且?共線且方向相同,則______.例5、（2022·廣東惠州·高二期末）已知，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．例6、（2021秋·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，點(diǎn)，則的最小值是，的最大值是.三、空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算1、若，則即：空間兩個(gè)向量的數(shù)量積等于他們的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和.2、空間向量長(zhǎng)度及兩向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式若，則（1）；（2）.注意：夾角的范圍是3、空間向量平行和垂直的條件若，則（1）；（2）.規(guī)定：與任意空間向量平行或垂直感悟與升華空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的公式與法則與平面向量相應(yīng)坐標(biāo)運(yùn)算的公式與法則是相同的，只是從二維空間推廣到了三維空間，多了一個(gè)豎坐標(biāo)而已.例題分析例7、（2022·江蘇·東?？h教育局教研室高二期中）已知，，則_______.例8、（2022·廣東深圳·高二期末）若向量，，則（

）A． B． C． D． 四、綜合運(yùn)用能力提高例9、（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知空間直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．例10、（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考）在