拋物線知識點歸納

拋物線方程及其性質(zhì)拋物線定義：平面內(nèi)到一定點Fl的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．拋物線四種標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)：圖形p開口方向

參數(shù)p表示焦點到準(zhǔn)線的距離，p越大，開口越闊.右 左 上 下標(biāo)準(zhǔn)方程

y22px(p0) y2p0) x22py(p

x22py(p0)焦點位置 X正 X負(fù) Y正 Y負(fù)焦點坐標(biāo)

p( 2

(p2

,0)

p(0, 2

(0,p)2準(zhǔn)線方程

xp2

xp2

yp2

yp2范圍x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR對稱軸X軸X軸Y軸Y軸頂點坐標(biāo)（0,0）離心率通徑e12pA(x,y

AFx

AFxp

AFy

AFyp1 1 1 2 1 2 1 2 1 2

(xx1

)p (x1

x)p (y2

y)p (y2

y)p2AB

以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線l相切的補充

若AB的傾斜角為， 2pABsin2

AB的傾斜角為AB

2pcos2A(x,y)1 1

xx p2 yy p2B(x,y)2 2

12 4 121 1 AFBF AB 2AF BF AFBF AFBF py22pxp0的幾何性質(zhì)：范圍：因為p>0，由方程可知x≥0，yxy|明拋物線向右上方和右下方無限延伸．對稱性：對稱軸要看一次項，符號決定開口方向．(3)頂點（0，0），離心率：

e

F

p

，準(zhǔn)線

x

p，焦準(zhǔn)距p．2 2(4)y

2pxp0ABA(xy1 1

),B(x,y2

),則|AB|x x1 2

p．|AB|=x+x+px=x2p。1 2 1 2焦點弦的相關(guān)性質(zhì)：ABA(x,y1 1

),B(x,y2

)，焦點F p( 2( p2若AB是拋物線2px(p0)的焦點弦（過焦點的弦且,y)，B(x,y)，則：xx ，1 1 2 2

12 4yyp2。12AB0)的焦點弦，且直線ABα，則AB

2P （α0。sin2已知直線ABy2

2pxp0)焦點F

1 1 AFBF AB 2AF BF AFBF AFBF p2p。通徑：過焦點垂直于焦點所在的軸的焦點弦叫做通徑．12以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切。5、焦半徑公式AFpx BFP

AFp-x BF P-x 2 1

2 2 1 2 2AF

p相同1AF1BF相同1AF1BF2P

BF

p AF1cos

p1cos

BF p1-cosSOABPSOABP22sin6S OABP2S OABP21 1

),B(x,y2

)是拋物線上兩點，則1AB (x1

x)2(y2

y)2 1k2|xx2 1

| 1k2

|y y |1 2直線，拋物線直線，拋物線，，消y得：k=0l與拋物線的對稱軸平行，有一個交點；，消y得：k≠0Δ＞0，直線l與拋物線相交，兩個不同交點；Δ=0，直線l與拋物線相切，一個切點；Δ＜0，直線l與拋物線相離，無公共點。若直線與拋物線只有一個公共點,則直線與拋物線必相切嗎?（不一定）9、過拋物線內(nèi)一點作直線只與拋物線有一個交點點在拋物線內(nèi)直線有1點在拋物線內(nèi)直線有1條（1交）點在拋物線上直線有2條（11切）點在拋物線外直線有3條 （1交2切）直線l直線lykxb拋物線，(p 0)①聯(lián)立方程法：ykxby2

2

k2x22(kbp)xb20設(shè)交點坐標(biāo)為A(x,y1 1

),B(x,y2

)，則有 0,以及x1

x,xx2 1

，還可進(jìn)一步求出yy1 2

kx1

bkx2

bk(x1

x)2b，yy2 1

(kx1

b)(kx2

b)k2xx12

kb(x1

x)b22在涉及弦長，中點，對稱，面積等問題時，常用此法，比如ABAB

xx11k2

1k1k2 (xx)24xx1k2 a或 AB

yy 1111k211k2(yy)24yy1 2 1 21k2 aM(xy0 0

),x 0

xx1 2，y2

yy 1 22②點差法：設(shè)交點坐標(biāo)為A(x,y1 1

)，B(x,y2

)，代入拋物線方程，得y22px1 1

y22px2 2將兩式相減，可得(yy1 2

)(y1

y)2p(x2

x)2yy1 2xx

2py1 2 1 22p在涉及斜率問題時，k AB

yy1 2

yy

2p 2p p在涉及中點軌跡問題時AB的中點為M(xy，

2 ，即k p，AB