相關(guān)與回歸分析

第九章相關(guān)與回歸分析第一節(jié)相關(guān)分析一、相關(guān)分析的概念現(xiàn)實(shí)世界中的各種現(xiàn)象之間相互聯(lián)系、相互制約、相互依存，某些現(xiàn)象發(fā)生變化時(shí)，另一現(xiàn)象也隨之發(fā)生變化。如商品價(jià)格的變化會(huì)刺激或抑制商品銷售量的變化；勞動(dòng)力素質(zhì)的高低會(huì)影響企業(yè)的效益；直接材料、直接人工的價(jià)格變化對產(chǎn)品銷售成本有直接的影響，居民收入的高低會(huì)影響對該企業(yè)產(chǎn)品的需求量等等。研究這些現(xiàn)象之間的依存關(guān)系，找出它們之間的變化規(guī)律，是對經(jīng)搜集、整理過的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，為客觀、科學(xué)地統(tǒng)計(jì)提供依據(jù)?，F(xiàn)象間的依存關(guān)系大致可以分成兩種類型：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系。1、函數(shù)關(guān)系。它反映著現(xiàn)象之間存在著嚴(yán)格的依存關(guān)系，在這種關(guān)系中，對于某一變量的每一個(gè)數(shù)值，都有另一個(gè)變量的確定值與之相對應(yīng)，并且這種關(guān)系可以用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式反映起來。例如，s=nr2，在這里圓的面積是隨著半徑大小而變動(dòng)的。自然界中，廣泛存在著函數(shù)關(guān)系。2、相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是指客觀現(xiàn)象之間確實(shí)存在的，但數(shù)量上不是嚴(yán)格對應(yīng)的依存關(guān)系。在這種關(guān)系中，對于某一現(xiàn)象的每一數(shù)值，可以有另一現(xiàn)象的若干數(shù)值與之相對應(yīng)。例如，勞動(dòng)生產(chǎn)率與工資水平的關(guān)系、投資額和國民收入的關(guān)系、商品流轉(zhuǎn)規(guī)模與流通費(fèi)用的關(guān)系等等都屬于相關(guān)關(guān)系。具有相關(guān)關(guān)系的某些現(xiàn)象可表現(xiàn)為因果關(guān)系，即某一或若干現(xiàn)象的變化是引起另一現(xiàn)象變化的原因，它是可以控制、給定的值，將其稱為自變量；另一個(gè)現(xiàn)象的變化是自變量變化的結(jié)果，它是不確定的值，將其稱為因變量。如資金投入與產(chǎn)值之間，前者為自變量，后者為因變量。但具有相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象并不都表現(xiàn)為因果關(guān)系，如生產(chǎn)費(fèi)用和生產(chǎn)量、商品的供求與價(jià)格等。這是由于相關(guān)關(guān)系比因果關(guān)系包括的范圍更廣泛。相關(guān)關(guān)系和函數(shù)關(guān)系既有區(qū)別，又有聯(lián)系。有些函數(shù)關(guān)系往往因?yàn)橛杏^察或測量誤差以及各種隨機(jī)因素的干擾等原因，在實(shí)際中常常通過相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來；而在研究相關(guān)關(guān)系時(shí)，其數(shù)量間的規(guī)律性了解得越深刻的時(shí)候，則相關(guān)關(guān)系越有可能轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系或借助函數(shù)關(guān)系來表現(xiàn)。二、相關(guān)關(guān)系的種類現(xiàn)象之間的相關(guān)關(guān)系從不同的角度可以區(qū)分為不同類型。1、按照相關(guān)關(guān)系涉及變量（或因素）的多少分為單相關(guān)和復(fù)相關(guān)兩個(gè)因素之間的相關(guān)關(guān)系叫做單相關(guān)，即研究時(shí)只涉及一個(gè)自變量和一個(gè)因變量。三個(gè)或三個(gè)以上因素相關(guān)的關(guān)系叫做復(fù)相關(guān)，即研究涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量和因變量2、按照相關(guān)形式不同分為直線相關(guān)和非線性相關(guān)直線相關(guān)，是指當(dāng)一個(gè)變量變動(dòng)時(shí)，另一變量隨之發(fā)生大致均等的變動(dòng)，從圖形上看，其觀察點(diǎn)的分布近似地表現(xiàn)為一條直線；例如，人均消費(fèi)水平與人均收入水平通常呈線性關(guān)系。非線性相關(guān)是指某個(gè)變量變動(dòng)時(shí)，另一變量也隨之發(fā)生變動(dòng)，但這種變動(dòng)不是均等的，從圖形上看，其觀察點(diǎn)的分布近似地表現(xiàn)為一條曲線，如拋物線、指數(shù)曲線等，因此也稱曲線相關(guān)。例如，產(chǎn)品的平均成本與產(chǎn)品總產(chǎn)量就是一種非線性相關(guān)。3、按照相關(guān)現(xiàn)象變化的方向不同分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)正相關(guān)是指當(dāng)一個(gè)變量的值增加或減少，另一個(gè)變量的值也隨之增加或減少。如工人勞動(dòng)生產(chǎn)率提高，產(chǎn)品產(chǎn)量也隨之增加；居民的消費(fèi)水平隨個(gè)人所支配收入的增加而增加。負(fù)相關(guān)是指當(dāng)一個(gè)變量的值增加或減少時(shí)，另一變量的值反而減少或增加。如商品流轉(zhuǎn)額越大，商品流通費(fèi)用越低；利潤隨單位成本的降低而增加。4、按相關(guān)程度分為完全相關(guān)、不完全相關(guān)和不相關(guān)完全相關(guān)是指當(dāng)一個(gè)變量的數(shù)量完全由另一個(gè)變量的數(shù)量變化所確定時(shí)，二者之間即為完全相關(guān)。例如，在價(jià)格不變的條件下，銷售額與銷售量之間的正比例函數(shù)關(guān)系即為完全相關(guān)，此時(shí)相關(guān)關(guān)系便成為函數(shù)關(guān)系，因此也可以說函數(shù)關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的一個(gè)特例。不完全相關(guān)又稱零相關(guān)，當(dāng)變量之間彼此互不影響，其數(shù)量變化各自獨(dú)立時(shí)，則變量之間為不相關(guān)。例如，股票價(jià)格的高低與氣溫的高低一般情況下是不相關(guān)的。不相關(guān)是指如果兩個(gè)變量的關(guān)系介于完全相關(guān)和不相關(guān)之間，稱為不完全相關(guān)。由于完全相關(guān)和不相關(guān)的數(shù)量關(guān)系是確定的或相互獨(dú)立的，因此統(tǒng)計(jì)學(xué)中相關(guān)分析的主要研究對象是不完全相關(guān)。第二節(jié)相關(guān)表、相關(guān)圖和相關(guān)系數(shù)一、相關(guān)表編制相關(guān)表，必須具有若干個(gè)自變量和因變量的對應(yīng)資料。例如身高和體重的對應(yīng)資料、施肥量和單位面積產(chǎn)量的對應(yīng)資料等。而且這些資料要有一定的數(shù)量，如有全面的資料則更好。通過這些資料編制相關(guān)表，可以直觀地判斷變量之間大致上呈現(xiàn)何種關(guān)系形式。根據(jù)資料是否分組，相關(guān)表有簡單相關(guān)表和分組相關(guān)表兩種。（一）簡單相關(guān)表簡單相關(guān)表是利用未分組的原始資料，將兩個(gè)變量的值一一對應(yīng)地填列在同一張表格上，這張表格就叫簡單相關(guān)表。其編制程序是：首先是確定自變量和因變量；其次將兩個(gè)變量的變量值一一對應(yīng)，按自變量值從小到大的順序排列即可。例如，為了研究家庭收入與家庭消費(fèi)支出的關(guān)系，通過調(diào)查獲得了40個(gè)家庭的月收入與月消費(fèi)支出的資料，以月收入為自變量，月消費(fèi)支出為因變量編制相關(guān)表如表6-1所示。表9-1家庭月收入與月支出資料表月收入月支出月收入月支出月收入月支出月收入月支出85679986582088585790285385679987081088580902869858800870830898855902872858802880840898858902873862803880845898861915850862805880851898863915859862810880853898866915863865805880855898867915868865808885850898890915875865815885852902850915898從表9-1可以直觀地看出，盡管在月收入相同的情況下，家庭月支出互不相同，但隨著家庭月收入的增加,家庭月支出呈增長的趨勢。（二）分組相關(guān)表

分組相關(guān)表是在簡單相關(guān)表分組的基礎(chǔ)上，將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行分組后再制成表。分組相關(guān)表可以分為單變量分組相關(guān)表和雙變量分組相關(guān)表兩種。1、單變量分組相關(guān)表有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量中，只根據(jù)一個(gè)變量進(jìn)行分組，另一個(gè)變量不進(jìn)行分組，只是計(jì)算出次數(shù)和平均數(shù)，這種表叫做單變量分組表。表9-2單變量分組相關(guān)表家庭月收入（元）家庭個(gè)數(shù)（個(gè)）家庭月平均支出（元）8562799.008582801.008623806.008654812.008702820.008805848.808854659.758987865.719025863.409156868.83這種單變量分組表是實(shí)際工作中使用得很多的一種，它能使資料簡化，并且反映出兩個(gè)現(xiàn)象間的互相依存關(guān)系。單變量分組表也可以作為以后計(jì)算的依據(jù)。和簡單相關(guān)表不同的是，在計(jì)算相關(guān)系數(shù)等指標(biāo)的時(shí)候，采用加權(quán)法，因?yàn)槊總€(gè)組代表的原始資料數(shù)目是不相同的。2、雙變量分組相關(guān)表這是將自變量和因變量都進(jìn)行分組而制成的相關(guān)表。這種表的形狀如同棋盤，故又稱棋盤式表。表9-3雙變量分組相關(guān)表家庭月家庭月收入（元）支出（元）855~865865~875875~885885~895895~905905~915合計(jì)895?90511885?89511875?88511865?875516855?86512429845?85532218835?84511825?83511815?82522805?815235795?80555雙變量分組表也可以作為以后計(jì)算分析指標(biāo)的依據(jù)。由于對兩個(gè)變量都進(jìn)行了分組，加權(quán)的方法要復(fù)雜一些。一般情況下很少使用雙變量分組表進(jìn)行計(jì)算。二、相關(guān)圖相關(guān)圖又稱散點(diǎn)圖，它是用直角坐標(biāo)系的X軸代表自變量，y軸代表因變量，將兩個(gè)變量間相對應(yīng)的變量值用坐標(biāo)點(diǎn)的形式描繪出來，用以表明相關(guān)點(diǎn)分布狀況的圖形。三、相關(guān)系數(shù)相關(guān)表和相關(guān)圖可反映兩個(gè)變量之間的相互關(guān)系及其相關(guān)方向，但無法確切地表明兩個(gè)變量之間相關(guān)的程度。為了從數(shù)量上測量現(xiàn)象相關(guān)關(guān)系的密切程度，就要計(jì)算相關(guān)系數(shù)。(一)相關(guān)系數(shù)的意義相關(guān)系數(shù)是表明兩個(gè)變量在直線相關(guān)形式下，相關(guān)關(guān)系密切程度的統(tǒng)計(jì)分析數(shù)據(jù)，通常用r來表示。其計(jì)算公式為：nLxy-LxSyr=-\-nLx2-(Lx)2"Ry2-(Sy)2相關(guān)系數(shù)的值介于-1與+1之間，即-lWrW+1。其性質(zhì)如下：1、當(dāng)r>0時(shí)，表示兩變量正相關(guān)，r<0時(shí)，兩變量為負(fù)相關(guān)。2、當(dāng)lrl=1時(shí)，表示兩變量為完全線性相關(guān)，即為函數(shù)關(guān)系。3、當(dāng)r=0時(shí)，表示兩變量間無線性相關(guān)關(guān)系。4、當(dāng)Ovlrlv1時(shí)，表示兩變量存在一定程度的線性相關(guān)。且Irl越接近1,兩變量間線性關(guān)系越密切；lrI越接近于0,表示兩變量的線性相關(guān)越弱。5、一般可按三級劃分：IrIv0.4為低度線性相關(guān)；0.4WIrIv0.7為顯著性相關(guān)；0.7WIrlv1為高度線性相關(guān)。(二)相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法根據(jù)簡單相關(guān)表，計(jì)算相關(guān)系數(shù)的公式如下nSxy一SxSyr=~xnLx2一(Sx)2丫nSy2一(Sy)2例：9-4相目關(guān)系數(shù)計(jì)算表廣告投入(萬月均銷售額(萬序號(hào)元)元)x2y2xyxy112.521.2156.25449.44265.00215.323.9234.09571.21365.67323.232.9538.241082.41763.28426.434.1696.961162.81900.24533.542.51122.251806.251423.75634.443.21183.361866.241486.08739.449.01552.362401.001930.60845.252.82043.042787.842386.56955.459.43069.163528.363290.761060.963.53708.814032.253867.15合計(jì)346.2422.514304.519687.816679.0219

nLxy一ExEynLx2一(Ex)2nEy2一(Ey)210x16679.09―346.2x422.510x14304.52—346.22門0x19687.81—422.52=0.9942相關(guān)系數(shù)為0.9942，說明廣告投入費(fèi)與月平均銷售額之間有高度的線性正相關(guān)關(guān)系。根據(jù)分組相關(guān)表資料計(jì)算相關(guān)系數(shù)，相對較復(fù)雜些，本書只介紹根據(jù)單變量分組相關(guān)表的資料計(jì)算相關(guān)系數(shù)的方法。其計(jì)算公式如下：（工f）（工xyf）一（工xf）（工yf）Xxyf)—(Xxf)(Xyf)；（Xf）（Xx2f）—（Xxf）S.;（^f）（Xy2f）Xxyf)—(Xxf)(Xyf)現(xiàn)以表9-5的資料為例說明單變量分組資料相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法表9-5單變量分組資料相關(guān)系數(shù)計(jì)算表產(chǎn)品產(chǎn)量（件）X單位成本（元）y企業(yè)個(gè)數(shù)（個(gè)）fxfyfx2fy2fxyf252241048540820835426108185832324452312156488112624448312144486912576548420192100921696064621292724232552合計(jì)——1666796294397123244r_…_(Xf)(…v(Xf)(Xx2f)—(Xxf)^；(Xf)(Xy2f)—(Xyf)216x3244—66x796=；'16x294—662xJ16x39712—796251904—52536348^''1776—632=J618048心-0.804計(jì)算結(jié)果表明產(chǎn)品產(chǎn)量與產(chǎn)品單位成本高度直線負(fù)相關(guān)。第三節(jié)回歸分析一、回歸分析的意義和種類對現(xiàn)象間變量關(guān)系的研究，一般是從兩個(gè)方面來進(jìn)行的：一方面，研究變量間聯(lián)系的密切程度，稱相關(guān)分析。對于直線相關(guān)，用相關(guān)系數(shù)來表示；對于曲線相關(guān)，用相關(guān)指數(shù)來表示。實(shí)際上，相關(guān)系數(shù)還可表明變量的變動(dòng)方向，但不能根據(jù)一個(gè)變量的值，估計(jì)推算出另一個(gè)變量的值。另一方面，研究變量之間的變動(dòng)關(guān)系，并用數(shù)學(xué)方程式表示，稱回歸分析。具體講，就是把兩個(gè)或兩個(gè)以上的變量之間的變動(dòng)關(guān)系數(shù)學(xué)模型化，求出回歸方程，以便進(jìn)行估計(jì)推算?；貧w有不同種類，按照自變量的個(gè)數(shù)分，有一元回歸和多元回歸。只有一個(gè)自變量的叫一元回歸，有兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的叫多元回歸；按照回歸曲線的形態(tài)分，有線性（直線）回歸和非線性（曲線）回歸。實(shí)際分析時(shí)應(yīng)根據(jù)客觀現(xiàn)象的性質(zhì)、特點(diǎn)、研究目的和任務(wù)選取回歸分析的方法。本節(jié)僅討論一元線性回歸分析。二、相關(guān)與回歸分析的關(guān)系（一）相關(guān)分析與回歸分析的聯(lián)系1、相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)和前提一般先進(jìn)行相關(guān)分析，對相關(guān)關(guān)系的密切程度做出判斷，進(jìn)而決定是否需要進(jìn)行回歸分析。如果缺少相關(guān)分析，沒有對相關(guān)關(guān)系的密切程度做出判斷，就不能進(jìn)行回歸分析。因此，相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)和前提。2、回歸分析是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)回歸分析是指把相關(guān)變量的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)關(guān)系，并建立變量關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，來研究變量之間數(shù)量變動(dòng)關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析方法。如果僅有回歸分析而缺少相關(guān)分析，將會(huì)因?yàn)槿狈Ρ匾幕A(chǔ)和前提而影響回歸分析的可靠性；如果僅有相關(guān)分析而缺少回歸分析，就會(huì)降低相關(guān)分析的意義。只有把兩者結(jié)合起來，才能達(dá)到分析研究的目的。（二）相關(guān)分析與回歸分析的區(qū)別1、在相關(guān)分析中涉及的變量不存在自變量和因變量的劃分問題，變量之間的關(guān)系是對等的；而在回歸分析中，則必須根據(jù)研究對象的性質(zhì)和研究分析的目的，對變量進(jìn)行自變量和因變量的劃分。因此，在回歸分析中，變量之間的關(guān)系是不對等的。2、在相關(guān)分析中所有的變量都必須是隨機(jī)變量；而在回歸分析中，自變量是給定的，因變量才是隨機(jī)的，即將自變量的給定值代入回歸方程后，所得到的因變量的估計(jì)值不是惟一確定的，而會(huì)表現(xiàn)出一定的隨機(jī)波動(dòng)性。3、相關(guān)分析主要是通過一個(gè)指標(biāo)即相關(guān)系數(shù)來反映變量之間相關(guān)程度的大小，由于變量之間是對等的，因此相關(guān)系數(shù)是惟一確定的。而在回歸分析中，對于互為因果的兩個(gè)變量（如人的身高與體重，商品的價(jià)格與需求量），則有可能存在多個(gè)回歸方程。需要指出的是，變量之間是否存在“真實(shí)相關(guān)”，是由變量之間的內(nèi)在聯(lián)系所決定的。相關(guān)分析和回歸分析只是定量分析的手段，通過相關(guān)分析和回歸分析，雖然可以從數(shù)量上反映變量之間的聯(lián)系形式及其密切程度，但是無法準(zhǔn)確判斷變量之間內(nèi)在聯(lián)系的存在與否，也無法判斷變量之間的因果關(guān)系。因此，在具體應(yīng)用過程中，一定要始終注意把定性分析和定量分析結(jié)合起來，在準(zhǔn)確的定性分析的基礎(chǔ)上展開定量分析。三、簡單直線回歸方程（一）簡單直線回歸方程的概念簡單直線回歸就是對具有顯著直線相關(guān)的兩個(gè)變量變化的一般關(guān)系進(jìn)行測定，只研究一個(gè)因變量與與一個(gè)自變量的線性關(guān)系，就叫一元線性回歸分析，亦稱直線回歸分析，其回歸方程最簡單，故又稱為簡單直線回歸分析。簡單直線回歸方程，即借助于數(shù)學(xué)中的直線方程，近似地反映兩個(gè)變量間的一般線性數(shù)量關(guān)系，并以此根據(jù)自變量的變動(dòng)來推算因變量的發(fā)展趨勢和水平。假設(shè)有兩個(gè)現(xiàn)象分別表現(xiàn)為自變量x和因變量y,已知一組x,y的對應(yīng)值:x,x,x,...,x123ny1，y2，y3，...，yn假定兩現(xiàn)象滿足上述前提條件，給x,y配合一元線性回歸方程:y=a+bxc式中：yc表示因變量的估計(jì)值（回歸理論值）；a,b是待定參數(shù)，其中a是回歸直線的起始值（截距），即x為0時(shí)yc的值，從數(shù)學(xué)意義上理解，它表示在沒有自變量x的影響時(shí)，其它各種因素對因變量y的平均影響；b是回歸系數(shù)（直線的斜率），表示自變量x每變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)，因變量y平均變動(dòng)b個(gè)單位。一元線性回歸方程中的待定參數(shù)是用最小二乘法確定的。S（y-y）2=最小值c把yc=a+bx代入Q，得:Q二(y—a—bx)2二最小值求偏導(dǎo)數(shù)得工xy=a工x+bSx2工y=na+b工x整理得：nLxy—ZxSyb=nLx2—（Xx）2SySxa=y—bx=—bnn當(dāng)a,b求出后，一元線性回歸方程yc=a+bx便可確定了。例：大龍電器有限公司2007年1－10月份產(chǎn)量與制造費(fèi)用資料見表9-5。解：分析制造費(fèi)用對產(chǎn)量之間的數(shù)量關(guān)系。設(shè)回歸方程為y=a+bx，x為產(chǎn)量，y為制造費(fèi)用，計(jì)算如下表9-5

9-5成本回歸分析計(jì)算表月份產(chǎn)量（件）x制造費(fèi)用（元）yx2(104)y2(104)xy(104)136000525001296002756251890002405005430016402529484921991534270056400182329318096240828445800615002097643782252816705460005850021160034222526910064850061300235225375769297305752300638002735294070443336748540006600029160043560035640095580067050311364449570.3374139105900068900348100474721406510合計(jì)480600610250235713637517242968541工x=480600工x=480600工y=610250n二10工x2=23571360000工xy=29685410000代入方程組工xy=代入方程組工xy=a工x+x2工y=na+b》x解得a=24821.62b=0.753171故有制造費(fèi)用對產(chǎn)量的回歸方程y=24827.62+0.753171x。四、回歸估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差回歸方程的一個(gè)重要作用在于根據(jù)自變量的已知值估計(jì)因