2023屆高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題訓(xùn)練專題15等差數(shù)列與等比數(shù)列C卷

專題15等差數(shù)列與等比數(shù)列C卷一、單選題1.已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前項(xiàng)和為(

)A. B. C. D.2.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則(

)A. B. C. D.3.已知兩個(gè)等差數(shù)列，，，，及，，，，，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列。則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為(

)A. B. C. D.4.設(shè)函數(shù)，設(shè)是公差為的等差數(shù)列，，則(

)A. B. C. D.5.已知數(shù)列的首項(xiàng)，數(shù)列為等比數(shù)列，且若，則(

)A. B. C. D.6.設(shè)是遞增的等差數(shù)列，，為，的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前項(xiàng)和為(

)A. B. C. D.7.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列是等差數(shù)列，則非零實(shí)數(shù)的值是(

)A. B. C. D.8.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且，已知，，若存在正整數(shù)，，使得，，成等差數(shù)列，則的最小值為(

)A. B. C. D.二、多選題9.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，并滿足條件，，則下列結(jié)論中正確的有(

)A. B.

C. D.是數(shù)列中的最大項(xiàng)10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是(

)A.數(shù)列為等差數(shù)列 B.對(duì)任意正整數(shù)，

C.數(shù)列一定是等差數(shù)列 D.數(shù)列一定是等比數(shù)列11.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是(

)A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.數(shù)列為等比數(shù)列

C. D.三、填空題12.已知數(shù)列滿足奇數(shù)項(xiàng)成等差，公差為，偶數(shù)項(xiàng)成等比，公比為，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．，若，則正整數(shù)

．13.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，設(shè)，若存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，則的值為

．14.張丘建算經(jīng)記載“今有女子善織布，逐日所織布以同數(shù)遞增，初日織五尺，計(jì)織三十日，共織九匹三丈，問日增幾何？”，其所描述的就是中學(xué)等差數(shù)列求和的相關(guān)知識(shí)?，F(xiàn)如今已知某化工廠污染物排放量隨產(chǎn)量增加而同數(shù)遞增，為保護(hù)環(huán)境，該廠決定斥資修復(fù)被污染的水土，經(jīng)相關(guān)機(jī)構(gòu)測(cè)算，修復(fù)被污染水土的單位費(fèi)用隨排放量的增加而成倍遞增。設(shè)該廠第年污染物排放量為個(gè)單位，修復(fù)費(fèi)用為每單位萬元，第年該廠污染物排放量為個(gè)單位，修復(fù)費(fèi)用為每單位萬元，不計(jì)科技提升帶來的影響，以此類推，則年后，該廠修復(fù)被污染水土的總費(fèi)用為

萬元，年后，該廠修復(fù)被污染水土的總費(fèi)用為

萬元．四、解答題15.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16.已知數(shù)列的首項(xiàng)，，，，．

求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

記，若，求最大的正整數(shù)．

是否存在互不相等的正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列且，，成等比數(shù)列，如果存在，請(qǐng)給出證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由．17.在各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和．求數(shù)列，的通項(xiàng)公式設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，若不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

答案和解析1.【答案】

【解析】【分析】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)性質(zhì)，等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)，然后可確定關(guān)于中心對(duì)稱，即，然后根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可知，，，即可求解．【解答】解：函數(shù)，

由，可得，

當(dāng)時(shí)，，

則關(guān)于中心對(duì)稱，

則，

等差數(shù)列中，，

則，

，則，，，

則數(shù)列的前項(xiàng)和為．

2.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．

由題意利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，，，，仍然是等差數(shù)列，由此求得的值．【解答】解：等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，，設(shè)，

則，，成等差數(shù)列，則，解得，

由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，，，，仍然是等差數(shù)列，公差為，

，

所以，

故選B．

3.【答案】

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，屬于中檔題

根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式即可得解

【解答】解：設(shè)兩個(gè)數(shù)列分別為

，由題易得

，

，

數(shù)列與首項(xiàng)，

構(gòu)成的新數(shù)列也是等差數(shù)列

，且首項(xiàng)

，公差為和的最小公倍數(shù)，

所以

，，且

，

解得

，即新數(shù)列有項(xiàng)，

前項(xiàng)和為．

故選C．

4.【答案】

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．【解答】解：，

可令，則其是定義在上的奇函數(shù)，

是公差為的等差數(shù)列，

，

，，

．

5.【答案】

【解析】【分析】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，等比數(shù)列的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．

由題知，，，，，從而得，由即可求出答案．【解答】解：因?yàn)?，所以，，，，所以?/p>

又?jǐn)?shù)列是等比數(shù)列，且，

所以．

故選A．

6.【答案】

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，以及數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查方程思想和運(yùn)算能力．

設(shè)等差數(shù)列的公差為，由等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得公差，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；求得，運(yùn)用數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，

由為，的等比中項(xiàng)，可知，

即，整理，得，

解得，舍去，

故；

由，

設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，

所以．

所以．

故選：．

7.【答案】

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列求和，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解參數(shù)問題，分類討論，屬于較難題．

根據(jù)求出通項(xiàng)公式，利用可求出，求出，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，分類討論確定的范圍即可得到選項(xiàng)．【解答】解：因?yàn)榈缺葦?shù)列的前項(xiàng)和，

當(dāng)時(shí)，，

則當(dāng)時(shí)，，

而等比數(shù)列，滿足，則，

所以，

則，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

若時(shí)，則，，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以滿足題意．

若時(shí)，則，則，

因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，，

即，解得，與矛盾，

綜上所述：，

故選：．

8.【答案】

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和，等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．

由數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)，，結(jié)合等比數(shù)列的前項(xiàng)和可得得到再由，，成等差數(shù)列，得到，整理可得，再由，得，滿足條件，使得，則答案可求．【解答】解：數(shù)列是等比數(shù)列，且首項(xiàng)，，

則，

化簡(jiǎn)得：，

，．

則．

又，，成等差數(shù)列，，

上式兩邊同時(shí)除以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，

整理可得，

又，，滿足條件，使得，此時(shí)，．

故選：．

9.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，遞推關(guān)系，不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．

根據(jù)題意分析可得：，，，逐一分析各選項(xiàng)即可【解答】解：依題意等比數(shù)列滿足條件：，，；

若，則，，

則，，則，與已知條件矛盾，

所以不符合題意，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由于，，，

結(jié)合上述分析可得，

所以，，，

，，所以，選項(xiàng)正確；因此，前項(xiàng)都大于，從第項(xiàng)開始起都小于，因此的值是中最大的項(xiàng)，所以選項(xiàng)正確．

故選BCD．

10.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查等比等差數(shù)列的通項(xiàng)，前項(xiàng)和公式，屬于中檔題．

由等差數(shù)列定義判斷，；由等比數(shù)列通項(xiàng)和基本不等式判斷；由等比數(shù)列定義判斷．【解答】解：對(duì)于，，，

所以，

所以數(shù)列為等差數(shù)列，故A正確；

對(duì)于，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成成立，故B正確；

對(duì)于，，

，故C正確；

對(duì)于，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，所以不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤．

故選ABC．

11.【答案】

【解析】【分析】本題考查數(shù)列遞推式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于難題．

已知，兩邊同時(shí)加上，即可判斷選項(xiàng)A，兩邊同時(shí)減去，即可判斷選項(xiàng)B，由，中等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得，從而判斷選項(xiàng)C，利用分組求和及等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式即可求解，從而判斷選項(xiàng)D．【解答】解：，，

因?yàn)?，所以?/p>

，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

所以，故選項(xiàng)A正確；

，

，

，，

所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

，故選項(xiàng)B正確；

，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

，故選項(xiàng)D正確．

故選：．

12.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查對(duì)數(shù)列抽出的項(xiàng)構(gòu)成等差、等比數(shù)列的綜合問題的研究．

先由，，；

先對(duì)進(jìn)行分類正奇數(shù)與正偶數(shù)，分別求通項(xiàng)公式，對(duì)進(jìn)行分類正奇數(shù)與正偶數(shù)，利用求得的通項(xiàng)公式分別求滿足題意的即可．【解答】解：因?yàn)椋?，所以，，即解得，?/p>

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則

綜上；

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由，

即，當(dāng)時(shí)，不合題；

當(dāng)時(shí)，右邊小于，左邊大于，等式不成立；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以．

綜上，；

故答案為．

13.【答案】

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列概念與的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，對(duì)邏輯推理和代數(shù)運(yùn)算能力有較高要求．

解答本題，首先要討論數(shù)列的公差是否為，當(dāng)?shù)墓顬闀r(shí)，易判斷不合條件；當(dāng)?shù)墓顣r(shí)，利用等比數(shù)列的求和公式化簡(jiǎn)求出，再根據(jù)，，求出，然后對(duì)一般情況作出驗(yàn)證即可．【解答】解：由已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，

，

．

于是，若存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列，

當(dāng)時(shí)，，

．

即為非零常數(shù)，則，且

，

解之，得，不合條件；

當(dāng)時(shí)，

記為非零常數(shù)，則，

，，，

首先，由，

得：，

化簡(jiǎn)，得：．

當(dāng)時(shí)，，

這時(shí)，

這說明，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列成等比數(shù)列．

故答案為：．

14.【答案】

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯推理能力和計(jì)算能力，屬于較難題．

根據(jù)題意用等差數(shù)列表示第年污染物排放量，用等比數(shù)列表示第年每單位修復(fù)費(fèi)用，用表示第年修復(fù)總費(fèi)用，則表示年后，該廠修復(fù)被污染水土的總費(fèi)用；再由錯(cuò)位相減法求出的前項(xiàng)和即可得年后，該廠修復(fù)被污染水土的總費(fèi)用．【解答】解：由題意，用表示第年污染物排放量，是一個(gè)等差數(shù)列，

且，

用表示第年每單位修復(fù)費(fèi)用，是一個(gè)等比數(shù)列，且，

用表示第年修復(fù)總費(fèi)用，則，

所以年后，該廠修復(fù)被污染水土的總費(fèi)用為萬元；

年后，該廠修復(fù)被污染水土的總費(fèi)用：

，

則，

得，

，

，即年后，該廠修復(fù)被污染水土的總費(fèi)用為．

故答案為：；．

15.【答案】證明：當(dāng)時(shí)，，又，

所以，

當(dāng)時(shí)，由，得，

兩式相減得，即，

所以，

即，又，

數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

，即

由可得，

當(dāng)不等式對(duì)于任意的恒成立時(shí)，即恒成立，

令，

當(dāng)時(shí)，恒成立，則滿足條件

當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知不等式不恒成立，則不滿足條件

當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞減，

所以恒成立，則滿足條件，

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是

【解析】本題考查等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，數(shù)列的單調(diào)性，一元二次不等式恒成立，屬于中檔題．

由題意求，兩式相減得，進(jìn)而得到，即可求解；

先求，代入得不等式對(duì)任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性解決．

16.【答案】解：證明：因?yàn)?，所以?/p>

所以，化為，

又因?yàn)?，所以?/p>

所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；

由可得，所以，

，

若，則，

因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)增，

時(shí)，，時(shí)，，

所以最大正整數(shù)的值為；

假設(shè)存在，則，，

因?yàn)椋?/p>

所以，

化簡(jiǎn)得，

因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)，

又，，互不相等，所以不存在．

【解析】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)以及等比數(shù)列求和．

根據(jù)題意整理項(xiàng)，可得，變形可得，又，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即證明為等比數(shù)列；

先由得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)分組方法并結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，則不等式可化簡(jiǎn)為，又函數(shù)單調(diào)遞增，由此可得最大整數(shù)的值；

假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)、、，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的性質(zhì)得，，由知，化簡(jiǎn)可得，又因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又、、互不相等，所以，與假設(shè)矛盾，由此可得答案．

17.【答案】解：由題意設(shè)數(shù)列的公差為，則，，

，，成等比數(shù)列，

，即，

整理得，解得舍去或，

；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

，

驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)，滿足上式，

數(shù)列的通項(xiàng)公式為

由得，，

．

所以，令，

則在恒成立，

所以在上