2023屆高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題訓(xùn)練專題16數(shù)列求和-倒序相加

專題16數(shù)列求和—倒序相加已知函數(shù)，當(dāng)、，且時(shí)，總有．

求的值．

設(shè)，求．2.一般地，如果函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，那么對(duì)定義域內(nèi)的任意，則恒成立已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．Ⅰ求常數(shù)的值；Ⅱ解方程：；Ⅲ求證：3.已知函數(shù)在上的最大值與最小值之和為，記．求的值；求證：為定值；求的值．4.已知函數(shù)．若，求的值；求的值．5.設(shè)，是函數(shù)的圖象上的任意兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求的值；設(shè)，其中，求；6.已知函數(shù)滿足，．求實(shí)數(shù)和的值；若，其中，求的值．7.已知且是上的奇函數(shù)，且．

求的解析式；若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)解，求取值集合；設(shè)，記，是否存在正整數(shù)，使不等式對(duì)一切均成立？若存在，求出所有的值，若不存在，說明理由．8.設(shè)，且為奇函數(shù)．

Ⅰ求實(shí)數(shù)的值；

Ⅱ設(shè)函數(shù)，令，求；

Ⅲ是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意的及任意銳角都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

答案和解析1.【答案】解

取，則，所以．

因?yàn)楫?dāng)、，且時(shí)，總有，

所以，，

因?yàn)椋?/p>

故

兩式相加得：

，

所以．

【解析】本題考查函數(shù)的求值，考查數(shù)列的求和方法：倒序相加求和，考查運(yùn)算能力，屬于較易題．

由題意，可令，代入函數(shù)，計(jì)算即可得到；

由當(dāng)、，且時(shí)，總有，運(yùn)用倒序相加求和方法，即可得到．

2.【答案】解：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，

，

；

解：由知，

或

；

證明：設(shè)可寫成

兩式相加，由于，

，

所以．

【解析】本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性，考查倒序相加法求和及求解對(duì)數(shù)方程，屬于中檔題．

利用函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得，代入化簡，可得結(jié)論；

由知，，代入化簡方程，可求方程的解；

利用，倒序相加，可得結(jié)論．

3.【答案】解：函數(shù)在上的最大值與最小值之和為，

而函數(shù)在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，

，

解得，或舍去，

；

證明：由知，，

，

由知，．

，，，，

令

則

得

．

【解析】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡求值，倒序相加的求和思想，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力．

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，所以最大值和最小值一定取到端點(diǎn)處，列方程即可解得值；利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，代入函數(shù)解析式即可化簡證明；注意到和式中的自變量的特點(diǎn)，利用的結(jié)論，運(yùn)用倒序相加即可得到

4.【答案】解：函數(shù)，

，

．

【解析】本題主要考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的基本運(yùn)算，考查了函數(shù)值的求法以及倒序相加法求和，屬于中檔題．

由函數(shù)，將和代入，結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得當(dāng)時(shí)，，

由的結(jié)論，兩兩結(jié)合，即可得到答案．

5.【答案】解：，是函數(shù)的圖象上的任意兩點(diǎn)，，，且時(shí)，即，

；由可得，，，，得，，，

．

【解析】本題考查函數(shù)值的求法，數(shù)列的前項(xiàng)和的求法，考查運(yùn)算能力，解題時(shí)要注意倒序求和法的合理運(yùn)用．由，推導(dǎo)出；由可得，利用倒序相加求和法得到，由此能求出．

6.【答案】解：滿足，，

解得

，；

由可知，

，

，

而，

，

，

．

【解析】本題考查了函數(shù)的解析式、倒序相加求和，考查了學(xué)生的觀察分析能力．

待定系數(shù)法聯(lián)立方程組可解得，的值，

由，先求出的值，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可求得．

7.【答案】解：由奇函數(shù)的性質(zhì)可得：，解方程可得：．

此時(shí)，滿足，即函數(shù)是奇函數(shù)．

，或負(fù)值舍去，的解析式為：；

函數(shù)的解析式為，

結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，是定義域內(nèi)的增函數(shù)，

由，

即，

由是定義域內(nèi)的增函數(shù)，可得在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)解．

轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)解．

當(dāng)時(shí)，，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，解得，

此時(shí)對(duì)稱軸為直線，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，若，解得且，顯然滿足題意；

若，解得，此時(shí)對(duì)稱軸為直線，

可得在內(nèi)有兩解，，不滿足題意．

綜上，取值集合或．

函數(shù)是奇函數(shù)．

關(guān)于對(duì)稱，

，

，

，

得．

，

，即，

當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，，

，解得且，

當(dāng)時(shí)，，

時(shí)，，

，解得且，

綜上，不存在滿足條件的，

所以不存在正整數(shù)，使不等式對(duì)一切均成立．

【解析】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的應(yīng)用，不等式恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題．

利用奇函數(shù)得到關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解方程求得，再代入的值求出；

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化求解即可；

由函數(shù)的對(duì)稱性及圖象平移規(guī)律可得，，代入，分類討論即可求解．

8.【答案】解：Ⅰ依題意，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；

Ⅱ，

又，

，

，

；

Ⅲ易知在上為增函數(shù)，則原不等式等價(jià)于，

即，

由于，故，兩邊同時(shí)除以得，，

令，

又令，

則，

，

令，

由于，故

，

而當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，

其有最小值，

存在符合要求的實(shí)數(shù)，且．

【解析】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查換元