數(shù)學解題技巧導數(shù)

第十講導數(shù)【考點透視】1．認識導數(shù)觀點的某些實質(zhì)背景（如剎時速度、加快度、圓滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義；理解導函數(shù)的觀點．2．熟記基本導數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導法例．認識復(fù)合函數(shù)的求導法例，會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)．3．理解可導函數(shù)的單一性與其導數(shù)的關(guān)系；認識可導函數(shù)在某點獲得極值的必需條件和充分條件（導數(shù)在極值點雙側(cè)異號）；會求一些實質(zhì)問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值．【例題分析】考點1導數(shù)的觀點對觀點的要求：認識導數(shù)觀點的實質(zhì)背景，掌握導數(shù)在一點處的定義和導數(shù)的幾何意義，理解導函數(shù)的觀點.例1．f(x)是f(x)1x32x1的導函數(shù)，則f(1)的值是．3[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導數(shù)和計算等基礎(chǔ)知識和能力.[解答過程]Qf(x)x222,f(1)123.故填3.例2.設(shè)函數(shù)f(x)xa,會合M='(x)0},若MP,則實數(shù)a的取值范圍是{x|f(x)0},P={x|fx1()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D.[1,+∞)[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導數(shù)和會合等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.[解答過程]由xa0,當a>1時,1xa;當a<1時,ax1.x1綜上可得MP時,a1.考點2曲線的切線（1）對于曲線在某一點的切線求曲線y=f(x)在某一點線在該點的切線的斜率

.

P（x,y

）的切線，即求出函數(shù)

y=f(x)

在P點的導數(shù)就是曲2）對于兩曲線的公切線若向來線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.典型例題例3.已知函數(shù)f(x)1x31ax2bx在區(qū)間[11)，，(13]，內(nèi)各有一個極值點．32（I）求a24b的最大值；（II）當a24b8時，設(shè)函數(shù)yf(x)在點A(1，f(1))處的切線為l，若l在點A處穿過函數(shù)yf(x)的圖象（即動點在點A鄰近沿曲線yf(x)運動，經(jīng)過點A時，從l的一側(cè)進入另一側(cè)），求函數(shù)f(x)的表達式．思路啟示：用求導來求得切線斜率.解答過程：（I）因為函數(shù)f(x)1x31ax2bx在區(qū)間[11)，，(13]，內(nèi)分別有一個極值32點，所以f(x)x2axb0在[11)，，(1，3]內(nèi)分別有一個實根，設(shè)兩實根為x1，x2（x1x2），則x2x1a24b，且0x2x1≤4．于是0a20a24b≤16，且當x11，x23，即a2，b3時等號成立．故4b≤4，a24b的最大值是16．（II）解法一：由f(1)1ab知f(x)在點(1，f(1))處的切線l的方程是yf(1)f(1)(x1)，即y(1ab)x21a，32因為切線l在點A(1，f(x))處空過yf(x)的圖象，所以g(x)f(x)[(1ab)x21a]在x1兩邊鄰近的函數(shù)值異號，則321不是g(x)的極值點．而g(x)1x31ax2bx(1ab)x21a，且3232g(x)x2axb(1ab)x2axa1(x1)(x1a)．若11a，則x1和x1a都是g(x)的極值點．所以11a，即a2，又由a24b8，得b1，故f(x)1x3x2x．3解法二：同解法一得g(x)21f(x)[(1ab)xa]321(x1)[x2(13a)x(23a)]．322因為切線l在點A(1，f(1))處穿過yf(x)的圖象，所以g(x)在x1兩邊鄰近的函數(shù)值異號，于是存在m1，m2（m11m2）．當m1x1時，g(x)0，當1xm2時，g(x)0；或當m1x1時，g(x)0，當1xm2時，g(x)0．設(shè)h(x)x213ax23a，則22當m1x1時，h(x)0，當1xm2時，h(x)0；或當m1x1時，h(x)0，當1xm2時，h(x)0．由h(1)0知x1是h(x)的一個極值點，則h(1)2113a0，2所以a2，又由a24b8，得b1，故f(x)1x3x2x．3例4.若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直，則l的方程為（）A．4xy30B．x4y50C．4xy30D．x4y30[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.[解答過程]與直線x4y80垂直的直線l為4xym0，即yx4在某一點的導數(shù)為4，而y4x3，所以yx4在(1，1)處導數(shù)為4，此點的切線為4xy30.應(yīng)選A.例5．過坐標原點且與

x2+y2

-4x+2y+5=0相切的直線的方程為2A.y=-3x

或y=1x3

B.

y=-3x

或y=-

1x3

C.

y=-3x

或

y=-

1x3

D.

y=3x或

y=1x3[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.[解答過程]解法1：設(shè)切線的方程為ykx,kxy0.2y125,圓心為2,1.又x22應(yīng)選A.解法2:由解法1知切點坐標為(1,3),3,1,由2222應(yīng)選A.例6.已知兩拋物線C1:yx22x,C2:yx2a,a取何值時C1，C2有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.思路啟示：先對C:yx2xC:yx2a求導數(shù).12,2解答過程：函數(shù)yx22x的導數(shù)為y'2x2，曲線C1在點P(x1,x122x1)處的切線方程為y(x22x)2(x2)(xx)，即y2(x11)xx2①11111曲線C1在點Q(x2,x22a)的切線方程是y(x2a)2x2(xx2)即y2x2xx22a②若直線l是過點P點和Q點的公切線，則①式和②式都是l的方程，故得x11x2,x12x221，消去x2得方程，2x122x11a0若△=442(1a)0，即a1時，解得x11，此時點P、Q重合.22∴當時a1，C和C有且只有一條公切線，由①式得公切線方程為yx1.1242考點3導數(shù)的應(yīng)用中學階段所波及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導函數(shù)，導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特別是對于函數(shù)的單一性，以“導數(shù)”為工具，能對其進行全面的剖析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值供給了一種簡潔易行的方法，從而與不等式的證明，議論方程解的狀況等問題聯(lián)合起來，極大地豐富了中學數(shù)學思想方法.復(fù)習時，應(yīng)高度重視以下問題:1..求函數(shù)的分析式;2.求函數(shù)的值域;3.解決單一性問題;4.求函數(shù)的極值（最值）;結(jié)構(gòu)函數(shù)證明不等式.典型例題例7．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a,b)，導函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象以下圖，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點（）A．1個B．2個C．3個D．4個[考察目的]此題主要考察函數(shù)的導數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.[解答過程]由圖象可見,在區(qū)間(a,0)內(nèi)的圖象上有一個極小值點.應(yīng)選A.例8.設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時獲得極值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若對于隨意的x[0，3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范圍．思路啟示：利用函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時獲得極值結(jié)構(gòu)方程組求a、的值．解答過程：（Ⅰ）f(x)6x26ax3b，因為函數(shù)f(x)在x1及x2獲得極值，則有f(1)0，f(2)0．即66a3b0，2412a3b0．解得a3，b4．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)．當x(01)，時，f(x)0；當x(1，2)時，f(x)0；當x(2，3)時，f(x)0．所以，當x1時，f(x)獲得極大值f(1)58c，又f(0)8c，f(3)98c．則當x0，3時，f(x)的最大值為f(3)98c．因為對于隨意的x0，3，有f(x)c2恒成立，所以98cc2，解得c1或c9，所以c的取值范圍為(，1)U(9，)．例9.函數(shù)y2x4x3的值域是_____________.思路啟示：求函數(shù)的值域，是中學數(shù)學中的難點，一般能夠經(jīng)過圖象察看或利用不等式性質(zhì)求解，也能夠利用函數(shù)的單一性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，采納導數(shù)法求解較為簡單。解答過程：由2x40得，x2，即函數(shù)的定義域為[2,).x30y'112x32x4，2x42x322x4x3又2x32x42x8，x32x24當x2時，y'0，函數(shù)y2x4x3在(2,)上是增函數(shù)，而f(2)1，y2x4x3的值域是[1,).例10．已知函數(shù)fx4x33x2cos3cos，此中xR,為參數(shù)，且02．161）當時cos0，判斷函數(shù)fx能否有極值；2）要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；（3）若對（2）中所求的取值范圍內(nèi)的隨意參數(shù)，函數(shù)fx在區(qū)間2a1,a內(nèi)都是增函數(shù)，務(wù)實數(shù)a的取值范圍．[考察目的]本小題主要考察運用導數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單一性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考察綜合剖析和解決問題的能力，以及分類議論的數(shù)學思想方法.[解答過程]（Ⅰ）當cos0時，f(x)4x3，則f(x)在(,)內(nèi)是增函數(shù)，故無極值.（Ⅱ）f'(x)12x26xcos，令f'(x)0，得x0,x2cos.12由（Ⅰ），只需分下邊兩種狀況議論.①當cos0時，隨x的變化f'(x)的符號及f(x)的變化狀況以下表：x0+0-0+↗極大值↘極小值↗所以，函數(shù)f(x)在xcos處獲得極小值f(cos)，且f(cos)1cos33222416.要使f(cos)0，必有1cos(cos23)0，可得0cos3.2442因為0cos3，故62或311.226②當時cos0，隨x的變化，f'(x)的符號及f(x)的變化狀況以下表：+0-0+極大值極小值所以，函數(shù)f(x)在x0處獲得極小值f(0)，且f(0)3cos.16若f(0)0，則cos0.矛盾.所以當cos0時，f(x)的極小值不會大于零.綜上，要使函數(shù)f(x)在(,)內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為(,)(3,11).6226（III）解：由（II）知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(,)與(cos,)內(nèi)都是增函數(shù)。2由題設(shè)，函數(shù)f(x)在(2a1,a)內(nèi)是增函數(shù)，則a須知足不等式組2a1a2a1a或1cosa02a12由（II），參數(shù)時(,)(3,11)時，0cos3.要使不等式2a11cos對于參數(shù)622622恒成立，必有2a13，即43a.48綜上，解得a0或43a1.8所以a的取值范圍是(,0)[43,1).8例11．設(shè)函數(shù)f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，此中a-1，求f(x)的單一區(qū)間.[考察目的]此題考察了函數(shù)的導數(shù)求法,函數(shù)的極值的判斷,考察了應(yīng)用數(shù)形聯(lián)合的數(shù)學思想剖析問題解決問題的能力[解答過程]由已知得函數(shù)f(x)的定義域為(1,)，且f'(x)ax1(a1),x1（1）當1a0時，f'(x)0,函數(shù)f(x)在(1,)上單一遞減，（2）當a0時，由f'(x)0,解得x1.af'(x)、f(x)隨x的變化狀況以下表—0+極小值從上表可知當x(1,1)時，f'(x)0,函數(shù)f(x)在(1,1)上單一遞減.aa當x(1,)時，f'(x)0,函數(shù)f(x)在(1,)上單一遞加.aa綜上所述：當1a0時，函數(shù)f(x)在(1,)上單一遞減.當a0時，函數(shù)f(x)在(1,1)上單一遞減，函數(shù)f(x)在(1,)上單一遞aa增.例12．已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在點x0處獲得極大值5，其導函數(shù)yf'(x)的圖象經(jīng)過點(1,0)，(2,0)，以下圖.求：（Ⅰ）x0的值；（Ⅱ）a,b,c的值.[考察目的]本小題考察了函數(shù)的導數(shù),函數(shù)的極值的判斷,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值,函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)變等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用,考察了應(yīng)用數(shù)形聯(lián)合的數(shù)學思想剖析問題解決問題的能力[解答過程]解法一：（Ⅰ）由圖像可知，在,1上f'x0，在1,2上f'x0，在2,上f'x0,故f(x)在（-，1），（2，+）上遞加，在(1,2)上遞減，所以fx在x1處獲得極大值，所以x01（Ⅱ）f'(x)3ax22bxc,'''1）＝5，由f（1）=0，（f2）＝0，（f得3a2bc0,12a4bc0,abc5,解得a2,b9,c12.解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）設(shè)f'(x)m(x1)(x2)mx23mx2m,又f'(x)3ax22bxc,所以a,bm,c2mm332由f(1)即m32m5,得m6,5，m32所以a2,b9,c12例13．設(shè)x3是函數(shù)fxx2axbe3xxR的一個極值點.（Ⅰ）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求fx的單一區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)a0，gxa225ex.若存在1,20,4使得f1g21成立，求a的取值范圍.4[考察目的]本小題主要考察函數(shù)、不等式和導數(shù)的應(yīng)用等知識，考察綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.[解答過程]（Ⅰ）f`(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a]e3－x,由f`(3)=0，得－[32＋(a－2)3＋b－a]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，則f`(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a]e3－x＝－[x2＋(a－2)x－3－3a]e3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e3－x.令f`(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，因為x＝3是極值點，所以x+a+1≠0，那么a≠－4.當a<－4時，x2>3＝x1，則在區(qū)間（－∞，3）上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間（3，―a―1）上，f`(x)>0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間（―a―1，＋∞）上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù).當a>－4時，x2<3＝x1，則在區(qū)間（－∞，―a―1）上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù)；在區(qū)間（―a―1，3）上，f`(x)>0，f(x)為增函數(shù)；在區(qū)間（3，＋∞）上，f`(x)<0，f(x)為減函數(shù).（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當a>0時，f(x)在區(qū)間（0，3）上的單一遞加，在區(qū)間（3，4）上單一遞減，那么f(x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[min(f(0)，f(4))，f(3)]，而f(0)＝－（2a＋3）e3<0，f(4)＝（2a＋13）e－1>0，f(3)＝a＋6，那么f(x)在區(qū)間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6].又g(x)(a225)ex在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)，4且它在區(qū)間[0，4]上的值域是[a2＋25，（a2＋25）e4]，44因為（a2＋25）－（a＋6）＝a2－a＋1＝（a1）2≥0，所以只須僅須442（a2＋25）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<3.42故a的取值范圍是（0，3）.2例14已知函數(shù)f(x)1ax3bx2(2b)x13在xx1處獲得極大值，在xx2處獲得極小值，且0x11x22．1）證明a0；2）若z=a+2b,求z的取值范圍。[解答過程]求函數(shù)f(x)的導數(shù)f(x)ax22bx2b．（Ⅰ）由函數(shù)f(x)在xx1處獲得極大值，在xx2處獲得極小值，知x1，x2是f(x)0的兩個根．所以f(x)a(xx1)(xx2)當xx1時，f(x)為增函數(shù)，f(x)0，由xx10，xx20得a0．f(0)02b0（Ⅱ）在題設(shè)下，0x11x22等價于f(1)0即a2b2b0．f(2)04a4b2b02b0化簡得a3b20．4a5b20此不等式組表示的地區(qū)為平面aOb上三條直線：2b0，a3b20，4a5b20．所圍成的△ABC的內(nèi)部，其三個極點分別為：46，，，．A，，7716z在這三點的值挨次為，6，8．16所以z的取值范圍為，8．小結(jié)：此題的新奇之處在把函數(shù)的導數(shù)與線性規(guī)劃有機聯(lián)合．考點4導數(shù)的實質(zhì)應(yīng)用成立函數(shù)模型,利用典型例題例15.用長為18cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大概積是多少？[考察目的]本小題主要考察函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用等基本知識，考察運用數(shù)學知識分析和解決實質(zhì)問題的能力.[解答過程]設(shè)長方體的寬為x（m），則長為2x(m)，高為1812xx＜x＜3.24故長方體的體積為從而V(x)18x18x2(4.53x)18x(1x).令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，所以x=1.當0＜x＜1時，V′（x）＞0；當1＜x＜2時，V′（x）＜0，3故在x=1處V（x）獲得極大值，而且這個極大值就是V（x）的最大值。2332m，高為1.5m.從而最大概積V＝V′（x）＝9×1-6×1（m），此時長方體的長為答：當長方體的長為2m時，寬為1m，高為1.5m時，體積最大，最大概積為33m。例16．統(tǒng)計表示，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）對于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)分析式能夠表示為：1x33x8(0x120).已知甲、乙兩地相距100千米.12800080I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？II）當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？[考察目的]本小題主要考察函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用等基本知識，考察運用數(shù)學知識分析和解決實質(zhì)問題的能力.[解答過程]（I）當x40時，汽車從甲地到乙地行駛了100小時，2.540要耗沒(14033（升）.12800080答：當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油17.5升。（II）當速度為x千米/小不時，汽車從甲地到乙地行駛了100小時，設(shè)耗油量為h(x)x升，依題意得h(x)(1x33x8).1001x280015(0x120),12800080x1280x4令h'(x)0,得x80.當x(0,80)時，h'(x)0,h(x)是減函數(shù)；當x(80,120)時，h'(x)0,h(x)是增函數(shù).當x80時，h(x)取到極小值h(80)11.25.因為h(x)在(0,120]上只有一個極值，所以它是最小值.答：當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升.【專題訓練】一、選擇題1.y=esinxcos(sinx)，則y′(0)等于()A.0B.1C.－1D.22.經(jīng)過原點且與曲線y=x9相切的方程是()x5A.x+y=0或

x25

+y=0

B.x－y=0

或

x+y=025C.x+y=0或

x25

－y=0

D.x－y=0

或

x－y=0253.設(shè)f(x)可導，且f′(0)=0,又limf(x)=－1,則f(0)()x0xA.可能不是f(x)的極值B.必定是f(x)的極值C.必定是f(x)的極小值D.等于04.設(shè)函數(shù)fn(x)=n2x2(1－x)n(n為正整數(shù))，則fn(x)在［0,1］上的最大值為()A.0B.1C.(12)nD.4(n)n12nn25、函數(shù)y=(x2-1)3+1在x=-1處()A、有極大值B、無極值C、有極小值D、沒法確立極值狀況6.f(x)=ax3+3x2+2，f’(-1)=4，則a=()A、10B、13C、16D、1933337.過拋物線

y=x

2上的點

M（1,2

1）的切線的傾斜角是4

(

)A、300B、450C、600D、9008.函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是()A、（0，1）B、（-∞，1）C、（0，+∞）D、（0，1）29.函數(shù)y=x3-3x+3在[3,5]上的最小值是()22A、89B、1C、33D、58810、若f(x)=x3+ax2+bx+c，且f(0)=0為函數(shù)的極值，則()A、c≠0B、當a>0時，f(0)為極大值C、b=0D、當a<0時，f(0)為極小值11、已知函數(shù)y=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值，則該函數(shù)的一個遞加區(qū)間是()A、（2，3）B、（3，+∞）C、（2，+∞）D、（-∞，3）12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的實數(shù)解的會合中()A、起碼有2個元素B、起碼有3個元素C、至多有1個元素D、恰巧有5個元素二、填空題13.若f′(x0)=2,limf(x0k)f(x0)=_________.k02k設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),則f′(0)=_________.函數(shù)f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的單一區(qū)間_________.在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當?shù)走吷细邽開________時它的面積最大.三、解答題17.已知曲線C：y=x3－3x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(x0,y0)(x0≠0)，求直線l的方程及切點坐標.求函數(shù)f(x)=p2x2(1-x)p(p∈N+)，在[0，1]內(nèi)的最大值.證明雙曲線xy=a2上隨意一點的切線與兩坐標軸構(gòu)成的三角形面積等于常數(shù).求函數(shù)的導數(shù)(1)y=(x2－2x+3)e2x;(2)y=3x.1x21.有一個長度為5m的梯子貼靠在筆挺的墻上，假定其下端沿地板以3m/s的速度走開墻腳滑動，求當其下端走開墻腳1.4m時，梯子上端下滑的速度.22.乞降Sn=12+22x+32x2++n2xn－1,(x≠0,n∈N*).23.設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個單一區(qū)間，試確立a的取值范圍，并求其單一區(qū)間.設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點.(1)試確立常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值仍是極小值，并說明原因.已知a、b為實數(shù)，且b＞a＞e,此中e為自然對數(shù)的底，求證：ab＞ba.設(shè)對于x的方程2x2－ax－2=0的兩根為α、β(α＜β),函數(shù)f(x)=4xa.21求f(α)·f(β)的值；證明f(x)是［α，β］上的增函數(shù)；當a為什么值時，f(x)在區(qū)間［α，β］上的最大值與最小值之差最??？【參照答案】一、1.分析：y′=sinx［coscos(sinx)－cossin(sinx)］,y′(0)=0(1－0)=1.exxe答案：B2.分析：設(shè)切點為(x0,y0),則切線的斜率為k=y0,另一方面，y′=(x9)′=4,故x0x5(x5)2y′(x0)=k,即4y0x02(1)(2)=－15,對應(yīng)有9或x0+18x0+45=0得x0=－3,y0(x05)2x0x0(x05)y0(1)=3,y0(2)=1593,所以得兩個切點A(－3，3)或B(－15,3),從而得y′(A)=415555(35)3=－1及y′(B)=41,因為切線過原點，故得切線：lA:y=－x或lB:y=－x.(155)22525答案：A3.分析：由limf(0)=－1,故存在含有0的區(qū)間(a,b)使當x∈(a,b),x≠0時f(0)＜0,于x0xx是當x∈(a,0)時f′(0)＞0,當x∈(0,b)時，f′(0)＜0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減.答案：B4.分析：∵f2n32－x)n-12n-1－x)－nx］,令f′′n(x)=2xn(1－x)－nx(1=nx(1－x)［2(1n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=2,易知fn(x)在x=2時獲得最大值，最大值2n2n22222n2n+1f()=n()(1－)=4·().n2n2n2n2n答案：D5、B6、A7、B8、D9、B10、C11、B12、C二、13.分析：依據(jù)導數(shù)的定義：f′(x0)=limf[(x0(k)]f(x0)(這時xk)k0k答案：－114.分析：設(shè)g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),則f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·n=n！答案：n!15.分析：函數(shù)的定義域是x＞1或x＜－2,f′(x)=logae.(3x2+5x－2)′33x25x2=(6x5)logae,(3x1)(x2)①若a＞1,則當x＞1時，logae＞0,6x+5＞0,(3x－1)(x+2)＞0,∴f′(x)＞0,∴函數(shù)3(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)，x＜－2時，f′(x)＜0.∴函數(shù)f(x)在(－∞,－2)上是3減函數(shù).②若0＜a＜1,則當x＞1時，f′(x)＜0,∴f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù)，當x＜－233時，′(x)＞0,∴f(x)在(－∞,－2)上是增函數(shù).答案：(－∞,－2)16.分析：設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長為2x,高為h，那么h=AO+BO=R+R2x2,解得x2=h(2R－h(huán)),于是內(nèi)接三角形的面積為=·=2(2Rh34),Sxh(2Rhh)hh從而S11(2Rh3h4)2(2Rh3h4)2134123h2(3R2h)22(2Rhh)(6Rh4h)3(2Rh)h.令S′=0,解得h=3R,因為不考慮不存在的狀況，所在區(qū)間(0,2R)上列表以下：2h(0,3R(3,2223R)R)2S+0－′增函最大減函S數(shù)值數(shù)由此表可知，當x=3R時，等腰三角形面積最大.2答案：3R2三、17.解：由l過原點，知k=y032+2x0,(x0≠0),點(x0,y0)在曲線C上，y0=x0－3x0x0y0=x02－3x0+2,y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2x0又k=y0,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2,2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=3.x02由x≠0,知x0=3,2y0=(3)3－3(3)2+2·3=－3.∴k=y0=－1.2228x04∴l(xiāng)方程y=－1x切點(3，－3).42818.f'(x)p2x(1x)p1[2(2p)x],令f’(x)=0得，x=0，x=1，x=2,2p在[0，1]上，f(0)=0，f(1)=0，f(2)4(p)p2.2p2p∴[f(x)]max4(p2p.)2p19.設(shè)雙曲線上任一點P（x0，y0）,ky|xx0a2,2x0a2,∴切線方程yy02(xx0)x0令y=0，則x=2x0令x=0，則y2a2.0∴S1|x||y|2a2.2解：(1)注意到y(tǒng)＞0,兩頭取對數(shù)，得lny=ln(x2－2x+3)+lne2x=ln(x2－2x+3)+2x,兩頭取對數(shù)，得ln|y|=1(ln|x|－ln|1－x|),3兩邊解x求導，得21.解：設(shè)經(jīng)時間t秒梯子上端下滑s米,則s=5－259t2,當下端移開1.4m時，t0=147,3151又s′=－1(25－9t2)2·(－9·2t)=9t1,2259t2所以s′(t0)=9×71=0.875(m/s).259(7)215解：(1