隨機(jī)過程論(錢敏平第3版)-習(xí)題及答案 【ch01】引論

引論1.Benoulli序列定義的概率空間（Ω,×,P）包括：Ω:所有可能的結(jié)果組成的樣本空間，即{0,1}的集合，其中0表示失敗，1表示成功；×:事件的集合，即所有可能的子集；P:概率測度，表示事件發(fā)生的概率。隨機(jī)過程是一個(gè)隨機(jī)變量集合的序列，其中每個(gè)隨機(jī)變量都代表了一次試驗(yàn)的結(jié)果。在Benoulli序列中，隨機(jī)過程是一個(gè)由0和1組成的無限序列，其中每個(gè)元素代表了一次成功或失敗的試驗(yàn)結(jié)果。每次試驗(yàn)都是獨(dú)立的，且每次試驗(yàn)成功的概率為p，失敗的概率為1-p，其中p是常數(shù)，表示成功的概率。略3.略4.略5.6.略7.略9.證明命題1.4中各條件的等價(jià)性。略10.獨(dú)立增量過程是指具有獨(dú)立增量性質(zhì)的隨機(jī)過程，即對(duì)于任意的時(shí)刻序列t1<t2<…<tn和任意的正整數(shù)m<n，增量X(t_n)-X(t_m)與歷史信息X(t_1),X(t_2),…,X(t_m)獨(dú)立。要證明獨(dú)立增量過程是馬氏過程，需要證明滿足馬氏性質(zhì)，即對(duì)于任意的時(shí)刻t≥0，狀態(tài)X(t)在給定過去歷史信息X(s)，其中0≤s≤t，的條件下，未來（t+h，其中h>0）的變化只依賴于當(dāng)前狀態(tài)X(t)。首先，我們考慮一個(gè)獨(dú)立增量過程的定義。對(duì)于獨(dú)立增量過程，我們可以將時(shí)間分割成若干個(gè)離散的時(shí)間步長t1<t2<…<tn，并且每個(gè)時(shí)間步長的增量X(t_i)-X(t_i-1)是獨(dú)立同分布的。根據(jù)獨(dú)立增量的定義，對(duì)于任意的m<n，增量X(t_n)-X(t_m)與歷史信息X(t_1),X(t_2),…,X(t_m)獨(dú)立?，F(xiàn)在，我們將時(shí)間步長逐漸縮小，使得步長趨近于0。在這種情況下，獨(dú)立增量過程可以看作是連續(xù)時(shí)間下的馬氏過程，即滿足馬氏性質(zhì)。對(duì)于任意的時(shí)刻t≥0，我們考慮一個(gè)時(shí)間步長h>0。根據(jù)獨(dú)立增量的定義，我們可以將時(shí)間間隔(t,t+h]分割成若干個(gè)離散的步長ti<ti+1，其中i=1,2,…,n。根據(jù)獨(dú)立增量的性質(zhì)，增量X(ti+1)-X(ti)與歷史信息X(t),X(t1),X(t2),…,X(ti)獨(dú)立。由此可見，未來的變化X(t+h)-X(t)只依賴于當(dāng)前狀態(tài)X(t)，即獨(dú)立增量過程滿足馬氏性質(zhì)。因此，獨(dú)立增量過程是馬氏過程。11.12.略13.14.略15.16.17.命題1.12是否可以推廣到Gau