高數(shù)課件第一章第三節(jié)函數(shù)極限

1第三節(jié)函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限三、函數(shù)極限的性質四、小結思考題2【數(shù)列極限】——

整標函數(shù)【函數(shù)的極限】有兩大類情形3單擊任意點開始觀察一、自變量x→∞時,的極限1.【引例】單擊任意點開始觀察單擊任意點開始觀察單擊任意點開始觀察單擊任意點開始觀察單擊任意點開始觀察單擊任意點開始觀察

觀察完畢4通過上面演示實驗的觀察:【問題2】如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近”.是在x

∞

的過程中實現(xiàn)的即x→∞時,f(x)→0.2.【直觀定義】在x→∞時，函數(shù)值f(x)無限接近于一個確定的常數(shù)A,稱A為f(x)當x→∞時的極限.53.【精確定義】①如果對于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小)，總存在著正數(shù)X

，使得當|x|>X

時，恒有|f(x)-A|<ε

成立，則稱x

趨于無窮大時函數(shù)f(x)

以A為極限。記為：②【“ε-

X

”

定義】—分析定義③

x→+∞及x→-∞情形【定理】64.【幾何意義】7【例1】【證】5.【水平漸近線】8二、自變量有限值時,函數(shù)的極限1.【引例】①

函數(shù)在處的極限為②函數(shù)在處的極限為③函數(shù)在處的極限為２２２yAx１２３x→x0時函數(shù)f(x)的極限是否存在,與f(x)在x0處是否有定義并無關系.結論9它是在的過程中實現(xiàn)的【問題】如何用數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近”.2.【直觀定義】103.【精確定義】②

“ε-δ”定義①設f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義，如果對于任意給定的e>0,

總存在

d

>0,使得當0<|x-x0

|<d,恒有|f(x)-A|<e成立，則稱x→x0時函數(shù)f(x)以常數(shù)

A為極限，記為【注意】意味著（但不是函數(shù)關系，因δ不唯一）114.【幾何意義】極限存在函數(shù)局部有界(P36定理2)這表明:12【例2】【證】【例3】【證】13【例4】【證】函數(shù)在點x=1處沒有定義.但不影響考察該點極限的存在性14【例5】【證】155.【單側極限】【例如】16①【左極限】②【右極限】【注意】17左右極限存在但不相等,【例6】【證】［課后習題第8題（自證）］③【極限存在定理】18三、函數(shù)極限的性質1.【唯一性】【注】以下僅以形式為代表給出函數(shù)極限的一些定理，其它形式類推之?！咀C明】（略）（自證）19【定理2】【證】有則定理2得證2.【局部有界性】203.【局部保號性】【證】有【證完】容易推得下面更強的結論：【定理3】21③【定理3*】【補證】有（1）由（1）式得22【推論】【證明】利用定理3反證之（略）.由（1）式得【證完】234.【子列收斂性】(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系)①【定義】②【定理4】24【分析】【證】25【例如】【證完】綜合上述畫線部分即得26函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系（海因定理）函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.【說明】常用海因定理來判斷函數(shù)在某變化過程中的極限不存在③【推廣】［方法一］：找兩子列，求得對應的兩函數(shù)值子列極限值不相等.或找一個子列，對應的函數(shù)值子列的極限值不存在.［方法二］：27【例7】（補）【證】28二者不相等,【補充練習】【解】驗證不存在取和但由海因定理故原極限不存在令29四、小結【數(shù)列、函