七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題3.3 一元一次方程應(yīng)用二（知識(shí)解讀）（解析版）

/專題3.3一元一次方程應(yīng)用二（知識(shí)解讀）【直擊考點(diǎn)】【學(xué)習(xí)目標(biāo)】進(jìn)一步經(jīng)歷運(yùn)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。2、提高學(xué)生找等量關(guān)系列方程的能力。3、培養(yǎng)學(xué)生的抽象、概括、分析和解決問(wèn)題的能力?！局R(shí)點(diǎn)梳理】類型1分配問(wèn)題類型2配套問(wèn)題類型3數(shù)字與日歷問(wèn)題類型4方案選擇問(wèn)題【典例分析】【考點(diǎn)1分配問(wèn)題】【典例1】（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）學(xué)校在舉辦“讀書月”的活動(dòng)中，將一些圖書分給了七年級(jí)一班的學(xué)生閱讀，如果每人分2本，則剩余15本；如果每人分3本，則還缺20本．若設(shè)該校七年級(jí)一班有學(xué)生x人，則下列方程正確的是（）A．2x+15＝3x﹣20 B．2x﹣15＝3x+20 C．2x﹣15＝3x﹣20 D．2x+15＝3x+20【答案】A【解答】解：可列方程為2x+15＝3x﹣20．故選：A．【變式1-1】（2022?長(zhǎng)沙開學(xué)）幾個(gè)人共同種一批樹苗，如果每人種6棵，則剩下3棵樹苗未種；如果每人種8棵，則缺5棵樹苗．若設(shè)參與種樹的人數(shù)為x人，則下面所列方程中正確的是（）A．6x+3＝8x+5 B．6x﹣3＝8x+5 C．6x+3＝8x﹣5 D．6x﹣3＝8x﹣5【答案】C【解答】解：設(shè)參與種樹的人數(shù)為x人，由題意得：6x+3＝8x﹣5，故選：C．【變式1-2】（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)班的學(xué)生分成x個(gè)小組，若每組8人，則有一組多2人；若每組9人，則有一組少4人，根據(jù)題意列方程（）A．8x+2＝9x+4 B．8x﹣2＝9x+4 C．8x+2＝9x﹣4 D．8x﹣2＝9x﹣4【答案】C【解答】解：根據(jù)題意可得：8x+2＝9x﹣4．故選：C．【變式1-3】（2022春?臨汾期末）某寄宿制學(xué)校，開學(xué)安排宿舍時(shí)，如果每間宿舍安排4人，將會(huì)空出5間宿舍；如果每間宿舍安排3人，就會(huì)有100人沒(méi)床位．問(wèn)該校有多少學(xué)生住宿？如果設(shè)該校有x人住宿，那么依題意可以列出的方程（）A．+5＝ B．+5＝ C．﹣5＝ D．﹣5＝【答案】B【解答】解：設(shè)該校有x人住宿，根據(jù)題意得：．故選：B．【考點(diǎn)2配套問(wèn)題】【典例2】（2021秋?石城縣期末）石城縣礦山機(jī)械設(shè)備聞名省內(nèi)外．在某礦山機(jī)械設(shè)備車間工人正在緊張地按訂單進(jìn)度進(jìn)行生產(chǎn)，若每人每天平均可以生產(chǎn)軸承12個(gè)或者軸桿16個(gè)，1個(gè)軸承與2個(gè)軸桿組成一套，該車間共有90人，應(yīng)該怎樣調(diào)配人力，才能使每天生產(chǎn)的軸承和軸桿正好配套？【解答】解：設(shè)x個(gè)人加工軸承，（90﹣x）個(gè)人加工軸桿，才能使每天生產(chǎn)的軸承和軸桿正好配套，根據(jù)題意得：12x×2＝16（90﹣x），去括號(hào)得：24x＝1440﹣16x，移項(xiàng)合并得：40x＝1440，解得：x＝36．90﹣x＝90﹣36＝54．答：調(diào)配36個(gè)人加工軸承，54個(gè)人加工軸桿，才能使每天生產(chǎn)的軸承和軸桿正好配套．【變式2-1】（2022?上思縣模擬）某車間有18名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每小時(shí)平均能生產(chǎn)螺栓24個(gè)或螺母36個(gè)，1個(gè)螺栓需要配2個(gè)螺母，若安排m名工人生產(chǎn)螺栓時(shí)每小時(shí)生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，那么可列方程為（）A．24×m＝36×（18﹣m）×2 B．24×（18﹣m）＝36×m×2 C．24×m×2＝36×（18﹣m） D．24×（18﹣m）×2＝36×m【答案】C【解答】解：∵該車間有18名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，且安排m名工人生產(chǎn)螺栓，∴安排（18﹣m）名工人生產(chǎn)螺母．依題意得：24×m×2＝36×（18﹣m）．故選：C．【變式2-2】（2022春?泰山區(qū)校級(jí)月考）某車間有28名工人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的產(chǎn)品，每人每天生產(chǎn)螺母12個(gè)或螺栓22個(gè)．若分配多少名工人生產(chǎn)螺栓，其他工人生產(chǎn)螺母，恰好使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母配套．【解答】解：設(shè)分配x名工人生產(chǎn)螺栓，則分配（28﹣x）名工人生產(chǎn)螺母，依題意得：2×22x＝12（28﹣x），解得：x＝6．答：分配6名工人生產(chǎn)螺栓，其他工人生產(chǎn)螺母，恰好使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母配套．【變式2-3】（2021秋?頭屯河區(qū)期末）某車間有38名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個(gè)甲型零件或2000個(gè)乙型零件．2個(gè)甲型零件要配3個(gè)乙型零件，為使每天生產(chǎn)的兩種型號(hào)的零件剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)甲型零件和乙型零件的工人各多少名？【解答】解：設(shè)生產(chǎn)甲種零件的工人有x人，則生產(chǎn)乙種零件的工人有（38﹣x）人，1200x×3＝2000（38﹣x）×2，解得，x＝20，∴38﹣x＝38﹣20＝18，答：安排生產(chǎn)甲、乙兩種零件的工人分別為20人、18人．【考點(diǎn)3數(shù)字與日歷問(wèn)題】【典例3】（2017秋?越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖1是2017年10月的日歷．（1）如圖1所示，用一個(gè)圈豎著圈住3個(gè)數(shù)，若被圈住的三個(gè)數(shù)的和為60，則這三個(gè)數(shù)分別為：．（2）在任意圈出一豎列的三個(gè)數(shù)中，若k為最大數(shù)減去其它兩數(shù)的和，則k與這三個(gè)數(shù)中的中間那個(gè)數(shù)的和是否與所圈的數(shù)值無(wú)關(guān)？為什么？（3）如圖1所示，若任意圈一個(gè)十字框，設(shè)一個(gè)十字框里的五個(gè)數(shù)為a、b、c、d、e，具體見如圖2，若a+b+c+d＝48，e的值為．（4）如圖1所示，若任意圈一個(gè)十字框，設(shè)一個(gè)十字框里的五個(gè)數(shù)為a、b、c、d、e，具體見如圖2，是否存在e的值，使得a+b+c+d＝100，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）設(shè)這三個(gè)數(shù)中中間的數(shù)為x，則另外兩個(gè)數(shù)分別為x﹣7、x+7，根據(jù)題意得：x﹣7+x+x+7＝60，解得：x＝20，∴x﹣7＝13，x+7＝27．故答案為：13、20、27．（2）根據(jù)題意得：k＝x+7﹣（x﹣7+x）＝14﹣x，∴k+x＝14﹣x+x＝14，∴k與這三個(gè)數(shù)中的中間那個(gè)數(shù)的和與所圈的數(shù)值無(wú)關(guān)．（3）觀察表1可知：a＝e﹣7，b＝e﹣1，c＝e+7，d＝e+1，∴a+b+c+d＝（e﹣7）+（e﹣1）+（e+7）+（e+1）＝4e＝48，∴e＝12．故答案為：12．（4）不存在，理由如下：假設(shè)存在，根據(jù)題意得：4e＝100，解得：e＝25，∴e+7＝32，∵32＞31，∴假設(shè)不成立，∴不存在e的值，使得a+b+c+d＝100．【變式3-1】（2018秋?高港區(qū)校級(jí)月考）觀察某月日歷，回答下列問(wèn)題：（1）觀察圖中的陰影部分9個(gè)數(shù)，你知道它們之間有什么關(guān)系嗎？寫出你認(rèn)為正確的2個(gè)結(jié)論．（2）小強(qiáng)一家外出游玩了5天，這5天的日期之和是75，小強(qiáng)一家是幾號(hào)外出的？【解答】解：（1）由圖形可得：①上下相差7；②左右相差1．（2）設(shè)小強(qiáng)一家x號(hào)外出，根據(jù)題意得：x+x+1+x+2+x+3+x+4＝75，解得：x＝13．答：小強(qiáng)一家是13號(hào)外出．【變式3-2】（2022春?古縣期末）2022年是共青團(tuán)建團(tuán)100周年.1922年5月5日，中國(guó)社會(huì)主義青年團(tuán)第一次全國(guó)代表大會(huì)在廣州召開，標(biāo)志中國(guó)青年團(tuán)組織的正式成立．從此，青年團(tuán)作為中國(guó)共產(chǎn)黨的助手和后備軍，在黨的領(lǐng)導(dǎo)下團(tuán)結(jié)帶領(lǐng)全國(guó)各族青年，積極投身到振興中華，實(shí)現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的事業(yè)中．在5月日歷表上隨意用一個(gè)正方形方框圈出4個(gè)數(shù)（如圖所示），若圈出的這四個(gè)數(shù)的和是64，求這個(gè)最小數(shù)（請(qǐng)用方程知識(shí)解答）．【解答】解：設(shè)這個(gè)最小數(shù)為x，其他三個(gè)數(shù)分別為：（x+1），（x+7），（x+8），依題意得：x+x+1+x+7+x+8）＝64，整理得：4x＝48，解得：x＝12，答：這個(gè)最小數(shù)為4．【變式3-3】（汨羅市期中）（1）小明同學(xué)在某月的日歷上圈出2×2個(gè)數(shù)，正方形的方框內(nèi)的4個(gè)數(shù)的和是32，那么第1個(gè)數(shù)m是．（2）瑪麗也在上面的日歷上圈出2×2個(gè)數(shù)，斜框內(nèi)的4個(gè)數(shù)的和是（用含a的代數(shù)式表示）；（3）某月有5個(gè)星期日的和是75，則這個(gè)月中最后1個(gè)星期日是號(hào)；（4）變式拓展：若干個(gè)偶數(shù)按每行8個(gè)數(shù)排成如圖：①如圖①，長(zhǎng)方形方框內(nèi)的9個(gè)數(shù)的和為180．②如圖②，小麗所畫的斜框內(nèi)9個(gè)數(shù)，若它們的和為n，則中間的數(shù)△為（用含n的代數(shù)式表示）．【解答】解：（1）∵第1個(gè)數(shù)為m，∴另外3個(gè)數(shù)分別為m+1，m+7，m+8．∵4個(gè)數(shù)的和是32，∴m+（m+1）+（m+7）+（m+8）＝32，解得：m＝4．故答案為：4．（2）∵第1個(gè)數(shù)為a，∴另外3個(gè)數(shù)分別為a+1，a+6，a+7，∴4個(gè)數(shù)之和為a+（a+1）+（a+6）+（a+7）＝4a+14．故答案為：4a+14．（3）設(shè)第1個(gè)星期日是x號(hào)，則另外4個(gè)星期日分別是x+7，x+14，x+21，x+28號(hào)，根據(jù)題意得：x+（x+7）+（x+14）+（x+21）+（x+28）＝75，解得：x＝1，∴x+28＝29．故答案為：29．（4）①2+4+6+18+20+22+34+36+38＝180．故答案為：180．②設(shè)中間數(shù)為y，則另外8個(gè)數(shù)分別為y﹣16，y﹣14，y﹣12，y﹣2，y+2，y+12，y+14，y+16，根據(jù)題意得：（y﹣16）+（y﹣14）+（y﹣12）+（y﹣2）+y+（y+2）+（y+12）+（y+14）+（y+16）＝n，解得：y＝．故答案為：．【典例4】（2021秋?高新區(qū)校級(jí)期末）《探尋神奇的幻方》一課的學(xué)習(xí)激起了小楊的探索興趣，他在如圖的3×3方格內(nèi)填入了一些表示數(shù)的代數(shù)式．若圖中各行、各列及對(duì)角線上的各數(shù)之和都相等，則x+y的值為（）A．﹣2 B．4 C．6 D．8【答案】C【解答】解：依題意得：﹣2+y+4＝0+y+2y，解得：y＝1，∴x+y＝4+2y＝4+2×1＝6．故選：C．【變式4-1】（2021秋?霸州市期末）如圖，在2022年2月的日歷表中用優(yōu)美的“”形框住五個(gè)數(shù)，框出1，3，8，10，16五個(gè)數(shù)，它們的和為38，移動(dòng)“”的位置又框出五個(gè)數(shù)，已知這五個(gè)數(shù)的和是53，則它們中最小兩個(gè)數(shù)的和是（）A．9 B．10 C．11 D．19【答案】B【解答】解：設(shè)最小的數(shù)是x，則x+x+2+x+7+x+9+x+15＝53．解得x＝4．所以x+x+2＝10．即它們中最小兩個(gè)數(shù)的和是10．故選：B．【變式4-2】（2022春?諸暨市期末）如圖，現(xiàn)有3×3的方格，每個(gè)小方格內(nèi)均有不相同的個(gè)位數(shù)字，要求方格內(nèi)每一行每一列以及每一條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和均相等，記三個(gè)數(shù)字之和為P，則P的值為（）A．21 B．24 C．27 D．15【答案】D【解答】解：個(gè)位數(shù)字由1到9，它們的和是：（1+9）×9÷2＝45共有三列，和又相等，故每三個(gè)數(shù)的和是45÷3＝15．故選：D．【考點(diǎn)4方案選擇問(wèn)題】【典例5】（2021秋?息縣期末）2021年“雙十一”期間，很多國(guó)貨品牌受到人們的青睞，銷量大幅增長(zhǎng)．某平臺(tái)的體育用品旗艦店實(shí)行優(yōu)惠銷售，規(guī)定如下：對(duì)原價(jià)160元/件的某款運(yùn)動(dòng)速干衣和20元/雙的某款運(yùn)動(dòng)棉襪開展促銷活動(dòng)，活動(dòng)期間向客戶提供兩種優(yōu)惠方案．方案A：買一件運(yùn)動(dòng)速干衣送一雙運(yùn)動(dòng)棉襪；方案B：運(yùn)動(dòng)速干衣和運(yùn)動(dòng)棉襪均按9折付款．某戶外俱樂(lè)部準(zhǔn)備購(gòu)買運(yùn)動(dòng)速干衣30件，運(yùn)動(dòng)棉襪x雙（x≥30）．（1）若該戶外俱樂(lè)部按方案A購(gòu)買，需付款元（用含x的式子表示）；若該戶外俱樂(lè)部按方案B購(gòu)買，需付款元（用含x的式子表示）；（2）若x＝40，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)按哪種方案購(gòu)買較為合算；（3）當(dāng)購(gòu)買運(yùn)動(dòng)棉襪多少雙時(shí)兩種方案付款相同．【解答】解：（1）按方案A購(gòu)買，需付款：30×1600+20（x﹣30）＝20x+4200，即需要付款（20x+4200）元；按方案B購(gòu)買，需付款：30×160×0.9+20×0.9x＝18x+4320，即需要付款（18x+4320）元．故答案是：（20x+4200），（18x+4320）；（2）當(dāng)x＝40時(shí)，方案A：20×40+4200＝5000（元）．方案B：18×40+4320＝5040（元）．因?yàn)?000＜5040，所以按方案A購(gòu)買較為合算；（3）根據(jù)題意，得20x+4200＝18x+4320．解得x＝60．答：當(dāng)購(gòu)買運(yùn)動(dòng)棉襪60雙時(shí)，兩種方案付款相同．【變式5-1】（2021秋?黔西南州期末）小商品批發(fā)市場(chǎng)內(nèi)，某商品的價(jià)格按如下優(yōu)惠：購(gòu)買不超過(guò)300件時(shí)，每件3元；超過(guò)300件但不超過(guò)500件時(shí)，每件2.5元；超過(guò)500件時(shí)，每件2元．某客戶欲采購(gòu)這種小商品700件．（1）現(xiàn)有兩種購(gòu)買方案：①分兩次購(gòu)買，第一次購(gòu)買200件，第二次購(gòu)買500件；②一次性購(gòu)買700件．按哪種方案購(gòu)買更省錢？說(shuō)明理由．（2）若該客戶分兩次購(gòu)買該商品共700件（第一次購(gòu)買不超過(guò)300件），共付費(fèi)1860元，求第一次和第二次分別購(gòu)買該商品多少件．【解答】解：（1）購(gòu)買方案②費(fèi)用較省，理由如下：購(gòu)買方案①所需費(fèi)用為3×200+2.5×500＝1850（元），購(gòu)買方案②所需費(fèi)用為2×700＝1400（元）．∵1850＞1400，∴購(gòu)買方案②費(fèi)用較?。?）設(shè)第一次購(gòu)買該商品x件，則第二次購(gòu)買該商品（700﹣x）件．①當(dāng)0＜x＜200時(shí)，3x+2（700﹣x）＝1860，解得：x＝460（不合題意，舍去）；②200≤x≤300時(shí)，3x+2.5（700﹣x）＝1860，解得：x＝220，∴700﹣x＝700﹣220＝480．答：第一次購(gòu)買該商品220件，第二次購(gòu)買該商品480件．【變式5-2】（2021秋?南昌縣期末）為了慶祝商都正式營(yíng)業(yè)，商都推出了兩種購(gòu)物方案，方案一：非會(huì)員購(gòu)物所有商品價(jià)格可獲得九五折優(yōu)惠：方案二：如交納300元會(huì)費(fèi)成為該商都會(huì)員，則所有商品價(jià)格可獲九折優(yōu)惠．（1）以x（元）表示商品價(jià)格，分別用含有x的式子表示出兩種購(gòu)物方案中支出金額．（2）若某人計(jì)劃在商都買價(jià)格為5000元的電視機(jī)一臺(tái)，請(qǐng)分析選擇哪種方案更省錢？（3）哪種情況下，兩種方案下支出金額相同？【解答】解：（1）方案一支出金額：0.95x元，方案二支出金額：（300+0.9x）元；（2）買價(jià)格為5000元的電視機(jī)，方案一支出金額：0.95x＝0.95×5000＝4750（元）