(30)-5.3講義 期權(quán)產(chǎn)品的定價原理

第三節(jié)期權(quán)產(chǎn)品的定價原理3.1期權(quán)定價——二叉樹簡介1979年，Cox,JohnC.,StephenA.Ross將二叉樹模型用于期權(quán)定價中，迄今為止，這種模型已經(jīng)成為金融界最基本的期權(quán)定價方法之一。其基本思想是資產(chǎn)在市場上交易時，是隨著時間在連續(xù)在變動的。所以如果我們把這個時間點看得很小的話，那么從一個時間點到下一個時間點，資產(chǎn)價格可能的變化，可以認(rèn)為它只有兩種可能。二叉樹模型的基本假設(shè)資本市場完全競爭的市場無摩檫的（無交易費用和稅收)、市場交易可以連續(xù)進(jìn)行不存在無風(fēng)險套利機會股票和期權(quán)是無限可分下一期的股票價格只取兩種可能的值歐式期權(quán)單期二叉樹假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價為20元，我們知道在3個月后，該股票價格要么是22元，要么是18元。假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險年利率等于10%（連續(xù)復(fù)利），現(xiàn)在我們要找出一份3個月期協(xié)議價格為21元的該股票歐式看漲期權(quán)的價值。無套利定價思想1.（復(fù)制待定價的產(chǎn)品）我們構(gòu)造這樣一個投資組合，以便使它與看漲期權(quán)的價值完全相同：以無風(fēng)險利率r借入一部分資金B(yǎng)，同時在股票市場上購入N股標(biāo)的股票。該組合的期初價值是20N-B，到了期末，該組合的價值V是V=對應(yīng)于S1的兩種可能，V有兩個取值：如果S1=22,則

V=1=

22N-如果S1=18,則

V=0=

18N-利用兩式聯(lián)立的方程組，可解得N和B，即：&N=0.25將其代入初始組合，即可得到期權(quán)的價值C=0.25無套利定價思想2.（復(fù)制無風(fēng)險組合）建立一個包含衍生品頭寸和基礎(chǔ)資產(chǎn)頭寸的無風(fēng)險的資產(chǎn)組合。若數(shù)量適當(dāng)，基礎(chǔ)資產(chǎn)多頭的贏利就會與衍生品的空頭虧損相抵，無風(fēng)險。無風(fēng)險組合的收益率必須等于無風(fēng)險利率。為了找出該期權(quán)的價值，可構(gòu)建一個由一單位看漲期權(quán)空頭和Δ單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。為了使該組合在期權(quán)到期時無風(fēng)險，Δ必須滿足下式：222218無風(fēng)險意味著：22Δ－1=18Δ，即：Δ=0.25該無風(fēng)險組合的現(xiàn)值應(yīng)為：4.5由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場為20元，因此：20無套利定價思想3：風(fēng)險中性定價思想在風(fēng)險中性世界中，我們假定該股票上升的概率為p，下跌的概率為1?p，則eP=0.6266這樣，根據(jù)風(fēng)險中性定價原理，我們就可以給出該期權(quán)的價值：e3.2期權(quán)定價——二叉樹模型一般形式假設(shè)一個無紅利支付的股票，當(dāng)前時刻t股票價格為S，基于該股票的某個期權(quán)的價值是f，期權(quán)的有效期是T，在這個有效期內(nèi)，股票價格或者上升到Su=S

×u，或者下降到S當(dāng)股票價格上升到Su時，我們假設(shè)期權(quán)的收益為fu，如果股票的價格下降到Sd時，期權(quán)的收益為fd。無套利定價法的思路首先，構(gòu)造一個由Δ股股票多頭和一個期權(quán)空頭組成的證券組合，使得該組合為無風(fēng)險組合，即：SSSΔ由此計算出該組合為無風(fēng)險時的Δ值。Δ=如果無風(fēng)險利率用r表示，則該無風(fēng)險組合的現(xiàn)值一定是（SuΔ-fSΔ所以f=e-驗證：S=e-股票未來期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價格！風(fēng)險中性定價的思路假定風(fēng)險中性世界中股票的上升概率為p，由于股票未來期望值按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于該股票目前的價格，因此該概率可通過下式求得：fffufdS=e-所以優(yōu)點：利用風(fēng)險中性概率對期權(quán)進(jìn)行定價時，只需把二叉樹上面對應(yīng)的兩個節(jié)點上的期權(quán)價值進(jìn)行無風(fēng)險中性概率的折現(xiàn)，就可以得到期權(quán)在期初時的公平價格。不用再去計算到底復(fù)制需要多少份標(biāo)的資產(chǎn)，計算更加簡便。練習(xí)：求歐式看跌期權(quán)的價值，執(zhí)行價格X=21,到期期限T=3個月，無風(fēng)險利率r=0.1小結(jié)：在二叉樹模型計算歐式看漲期權(quán)價值中，不難發(fā)現(xiàn)：風(fēng)險中性概率只依賴股票價格S變動范圍（即u,d的值），u，d衡量的是股票價格的波動率，以后會在BS模型中看到波動率的重要性。計算公式中沒有出現(xiàn)股票實際上漲或下跌的概率，也沒有描述投資者對于風(fēng)險偏好程度的變量。所以對于所有投資者來說，無論他對未來股票價格漲跌的概率有什么預(yù)期，或他對風(fēng)險厭惡程度如何，都能對看漲期權(quán)的“公平”或“正確”價格達(dá)成一致。P稱為股票價格的風(fēng)險中性概率。不要與股票價格上漲的實際概率相混肴，實際概率并不影響期權(quán)價格，P也稱為等價鞅測度概率。無套利假設(shè)等價于存在對未來不確定狀態(tài)的某一等價概率測度，使得每一種金融資產(chǎn)對該等價概率測度的期望收益都等于無風(fēng)險證券的收益率。表明了無套利定價與風(fēng)險中性定價的關(guān)系是等價的。3.3期權(quán)定價——兩步二叉樹一、兩期二叉樹模型2020221824.219.816.2每個步長為3個月，X=21,u=1.1,d=0.9,r=12%，風(fēng)險中性概率P=二、歐式看漲期權(quán)定價20201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEFX=21B結(jié)點處的價值：eA結(jié)點處的價值：e三、歐式看跌期權(quán)的定價X=21根據(jù)平價公式：c+X四、一般情況每期二叉樹的步長為??t,風(fēng)險中性概率為pSSfufufABCDEFududfd2dfdff=五、Delta(?)定義:賣出一份期權(quán)時，需要持有的股票數(shù)量。由單步二叉樹的套利定價法可知，Delta(Δ)為期權(quán)價值變化與股票價值變化的比值，對于單步二叉樹：Δ=f201.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF3.4美式期權(quán)定價——二叉樹一、單期二叉樹：美式期權(quán)的單期定價u=1.1,d=0.9,r=12%,步長T=3個月風(fēng)險中性概率P=針對美式期權(quán)，需要考慮提前執(zhí)行的價值與不提前執(zhí)行的價值哪一個是最優(yōu)的，因此即使在單步的二叉樹下美式與歐式的估值也是不同的。所以利用二叉樹對美式期權(quán)進(jìn)行定價時，需要比較這個期權(quán)立刻行權(quán)所獲收益與等待到下一個時刻再去行權(quán)時收益的折現(xiàn)值的大小，去選擇何時行權(quán)。美式看跌期權(quán)X=22的價值為：2歐式看跌期權(quán)X=22的價值為：1.46ffffufdf

二、兩期二叉樹模型20201.0591220.40491824.2019.81.216.24.82.3793ABCDEF執(zhí)行價格為x=21f

總結(jié)：對于美式期權(quán)價值，第一步可以計算出相對應(yīng)的歐式期權(quán)的無風(fēng)險中性概率P，通過折現(xiàn)得出歐式期權(quán)的價值。由于美式期權(quán)有選擇的權(quán)利，行權(quán)或是不行權(quán)完全取決于這兩個點上誰收益更多，所以第二步需要去比較立刻行權(quán)帶來的收益和等待，不行權(quán)帶來的收益哪一個大，大者即為美式期權(quán)價值。3.5期權(quán)定價——障礙期權(quán)的二叉樹定價一、障礙期權(quán)的二叉樹定價1.障礙期權(quán)的性質(zhì)障礙期權(quán)是路徑依賴期權(quán)，它們的回報以及它們的價值要受到資產(chǎn)到期前遵循的路徑的影響。（1）敲入障礙（knockinoption）敲入期權(quán)在沒有到達(dá)障礙水平時，期權(quán)價值為0。對于敲入期權(quán)來說，其價值在于到達(dá)障礙的可能性。如果是一個向上敲入期權(quán)，那么在資產(chǎn)價格到達(dá)上限的時候，合約的價值就等于一個相應(yīng)的常規(guī)期權(quán)價值。（2）敲出期權(quán)（knockoutoption）當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格達(dá)到敲出障礙水平H時，期權(quán)合約作廢。2.二叉樹模型下敲出（down-out）期權(quán)的定價假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票,其當(dāng)前市場價為100元,無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利為5%，u=1.1,d=0.9,二叉樹步長為1周，試計算該股票3周的，協(xié)議價格為X=105元，障礙水平為95元的向下敲出歐式看漲期權(quán)的價值。障礙水平為普通看漲期權(quán)價值為11.87，障礙期權(quán)比較便宜。二、回望期權(quán)（look-backoption）的二叉樹模型1.回望期權(quán)的收益依附于標(biāo)的資產(chǎn)在某個確定的時段（稱為回望時段）中達(dá)到的最大或最小價格（又稱為回望價），根據(jù)是資產(chǎn)價還是執(zhí)行價采用這個回望價格，回望期權(quán)可以分為：（1）固定執(zhí)行價期權(quán)（2）浮動執(zhí)行價期權(quán)2.二叉樹模型下回望期權(quán)的定價S=100，d=0.9，u=1.1，執(zhí)行價格X=105利用3步二叉樹計算到期日為3年的固定執(zhí)行價的歐式回望看漲期權(quán)的價格。股價二叉樹如下所示：Pu執(zhí)行價X=3.6Black-Scholes期權(quán)定價模型簡介一、歐式期權(quán)定價期權(quán)定價是一件非常具有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。在20世紀(jì)的前面70多年里，眾多經(jīng)濟學(xué)家做出無數(shù)努力，試圖解決期權(quán)定價的問題，但都未能獲得令人滿意的結(jié)果。在探索期權(quán)定價的漫漫征途中，具有里程碑意義的工作出現(xiàn)在1973年——金融學(xué)家F.Black與M.Scholes發(fā)表了“期權(quán)定價與公司負(fù)債”的著名論文。該論文推導(dǎo)出了確定歐式期權(quán)價值的解析表達(dá)式——Black-Scholes歐式期權(quán)定價公式，探討了期權(quán)定價在估計公司證券價值方面的應(yīng)用，更重要的是，它采用的動態(tài)復(fù)制方法成為期權(quán)定價研究的經(jīng)典方法二、風(fēng)險中性定價公式風(fēng)險中性環(huán)境，歐式看漲期權(quán)，其中EQ為風(fēng)險中性概率期權(quán)是標(biāo)的資產(chǎn)的衍生工具，其價格波動的來源就是標(biāo)的資產(chǎn)價格的變化，期權(quán)價格受到標(biāo)的資產(chǎn)價格的影響，因而要為期權(quán)定價首先必須研究標(biāo)的資產(chǎn)的價格。而資產(chǎn)的未來價格總是不確定的，資產(chǎn)價格隨時間變動的過程形成一個隨機變量序列，稱之為隨機過程。研究資產(chǎn)價格過程，可以幫助我們了解在特定時刻，變量取值的概率分布情況。三、股票價格的幾何布朗運動GBM（GeometricBrownianmotion）股票價格的對數(shù)過程為帶漂移的Brown運動dln得到：ln因此在t1時刻，我們有：ln上述模型表示為St微分形式為：d股票價格服從的上述模型稱之為幾何布朗運動模型（GBM），股票價格的解析式為：S四、Black-Scholes期權(quán)定價公式假設(shè)1.股價過程為幾何布朗運動（GBM）2.賣空無限制3.沒有交易成本、稅收，證券是無限可分的4.標(biāo)的資產(chǎn)不產(chǎn)生紅利5.不存在套利機會6.證券可以連續(xù)交易7.所有期限的無風(fēng)險利率同為常數(shù)五、Black-Scholes-Merton公式背后思想1.期權(quán)和股票受到同樣的不確定的影響2.通過構(gòu)造股票和期權(quán)的組合可以得到無風(fēng)險的組合，可以消除所有的風(fēng)險3.在市場沒有套利的前提下，無風(fēng)險的資產(chǎn)3.7期權(quán)定價_PDE推導(dǎo)一、Black-Scholes期權(quán)定價PDE推導(dǎo)在風(fēng)險中性下股票St的動態(tài)過程為：d股票價格服從的上述模型稱之為幾何布朗運動模型（GBM），股票價格的解析式為：S二、Black-Scholes微分方程推導(dǎo)在幾何布朗運動的框架下，股票的價格為：Δ對于任意衍生品，如果其價格??依賴于標(biāo)的資產(chǎn)的價格和時間，即：f(S,t)。則根據(jù)ITO公式可以得到Δ我們構(gòu)造如下的投資組合：一份期權(quán)的空頭+??份標(biāo)的資產(chǎn)該投資組合在期初的價值為：Π通過帶入f的表達(dá)式，Π的動態(tài)變化過程可以表示為：ΔΠ為了使得投資組合Π是無風(fēng)險的，只需要消除唯一的隨機因素ΔW。因此，我們選取δ=這時，我們可以得到：ΔΠ現(xiàn)在Π變成了無風(fēng)險的資產(chǎn)了，能夠獲得的收益率只能是無風(fēng)險利率。由此，我們有：ΔΠ整理后，我們有：?f該方程就是:Black-Scholes-Merton方程。該方程不單用于期權(quán)，任何的衍生品，如果價格依賴于標(biāo)的資產(chǎn)和時間都可以運用。如果要得到f的解，我們只需要確定??的邊界條件即可。例如：對于歐式看漲期權(quán)f(三、應(yīng)用到遠(yuǎn)期合約在遠(yuǎn)期合約到期時，其價值為f上面即為Black-Scholes-Merton方程的邊界條件，由此我們可以得到：f四、永續(xù)衍生品對于永續(xù)衍生品，由于沒有到期時間，所以其價格不是時間的函數(shù)，由此可以得到：rs3.8Black-Scholes期權(quán)定價公式一、Black-Scholes期權(quán)定價公式Black-Scholes期權(quán)定價公式：C其中，r為無風(fēng)險利率，