第四章-水文統(tǒng)計(jì)(修改)

工程水文學(xué)第四章水文統(tǒng)計(jì)云南農(nóng)業(yè)大學(xué)水利水電學(xué)院4.1概述水文現(xiàn)象是自然現(xiàn)象的一種，在其發(fā)生和演變過程中，包含著必然性的一面，也包著偶然性的一面。必然想象是指事物在發(fā)生、變化中必然會(huì)出現(xiàn)的現(xiàn)象。偶然現(xiàn)象是指在事物發(fā)展、變化過程中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象。統(tǒng)計(jì)學(xué)的任務(wù)就是從偶然現(xiàn)象中揭露事物的規(guī)律，這種規(guī)律需要從大量的隨機(jī)現(xiàn)象中統(tǒng)計(jì)出來。稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的學(xué)科稱為概論論，而有隨機(jī)現(xiàn)象的一部分實(shí)測資料去研究總體現(xiàn)象的數(shù)字特征和規(guī)律的學(xué)科稱為數(shù)量統(tǒng)計(jì)學(xué)。數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)必須以概率論為基礎(chǔ)，概率論往往把由數(shù)理統(tǒng)計(jì)所揭示的事實(shí)提高到理論認(rèn)識(shí)。水文統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是將將數(shù)學(xué)上的概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)應(yīng)用到水文上來，通過分析研究大量實(shí)測水文資料，尋找其統(tǒng)計(jì)規(guī)律，并有統(tǒng)計(jì)規(guī)律對(duì)合理未來可能出現(xiàn)的長期變化作出概率預(yù)估，為水利水電工程建設(shè)提供合理的水文數(shù)據(jù)。4.2概率的基本概念與定理一、事件事件是指隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。必然事件：如果可以斷定某一事件在試驗(yàn)中必然發(fā)生，稱此事件必然事件。不可能事件：可以斷定試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事件。隨機(jī)事件：某種事件在試驗(yàn)結(jié)果中可以發(fā)生也可以不發(fā)生，這樣的事件就稱為隨機(jī)事件。二、概率

為了比較某隨機(jī)事件出現(xiàn)（或不出現(xiàn))的可能性大小，必然賦予一種量化的（以數(shù)量表示)指標(biāo)，這個(gè)數(shù)量指標(biāo)就是事件的概率。

式中，P(A)：一定條件下隨機(jī)事件A的概率；

n

：試驗(yàn)中所有可能的出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；

m

：出現(xiàn)隨機(jī)事件A的結(jié)果數(shù)。簡單(古典)的隨機(jī)事件的概率定義用下式表示：古典的隨機(jī)試驗(yàn)是指所有試驗(yàn)的可能結(jié)果都是等可能的，而且試驗(yàn)的可能結(jié)果的總數(shù)是有限的。但水文事件不一定符合這種性質(zhì)。對(duì)于不是古典概型事件，只能通過多次重復(fù)試驗(yàn)來估計(jì)事件的概率。設(shè)事件A在n次隨機(jī)試驗(yàn)中出現(xiàn)了m次，則稱：三.頻率為事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。注意：n

不是所有可能的結(jié)果總數(shù)，僅是隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)。

頻率:

頻率是通過若干次試驗(yàn)后才能求得的經(jīng)驗(yàn)值，事先不能確定，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n愈大，即當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，理論上，n變成試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果總數(shù)，則頻率愈接近概率。概率和頻率的區(qū)別：

概率:

在等可能條件下，表達(dá)事件客觀上出現(xiàn)的可能性大小，是一個(gè)理論值。四．概率加法定理和乘法定理

１．概率加法定理Ｐ（Ａ＋Ｂ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）－Ｐ（ＡＢ）式中，Ｐ（Ａ＋Ｂ）－事件Ａ與Ｂ之和的概率；

Ｐ（Ａ）－事件Ａ的概率；

Ｐ（Ｂ）－事件Ｂ的概率。

Ｐ（ＡＢ）－事件Ａ和Ｂ共同發(fā)生的概率。2、概率乘法定理

Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ／Ａ）

＝Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ／Ｂ）式中，Ｐ（Ａ／Ｂ）－事件Ａ在事件Ｂ已發(fā)生情況下的概率，簡稱為Ａ的條件概率

Ｐ（Ｂ／Ａ）－事件Ｂ在事件Ａ已發(fā)生情況下的概率，簡稱為Ｂ的條件概率對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立事件：

Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）事件關(guān)系分析互斥P（AB）＝0P（A＋B）＝P（A）＋P（B）對(duì)立（兩個(gè)互斥事件必有一個(gè)發(fā)生）P（A）＋P（B）＝1P（A）＝1－P（B）獨(dú)立P（AB）＝P（A）P（B）

P（A/B）＝P（A）不獨(dú)立P（AB）＝P（A）P（B/A）＝P（B）P（A/B）1.隨機(jī)變量

用以表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)數(shù)量(事先是未知的)，由于它事先不能確定，是隨機(jī)的，稱為隨機(jī)變量。水文現(xiàn)象中的隨機(jī)變量，一般指某個(gè)水文特征值(如年徑流量、年降雨量、洪峰流量等)。4.3隨機(jī)變量及其分布參數(shù)

總體

在統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)中，把某種隨機(jī)變量所取數(shù)值的全體，稱為總體。如年徑流量的總體數(shù)是無窮的。統(tǒng)計(jì)學(xué)中幾個(gè)概念：

樣本

從總體中不帶主觀成分任意抽取的一部分，稱為樣本。樣本所包含的項(xiàng)數(shù)，稱為樣本容量。如實(shí)測的水文資料是有限的，是一樣本。

它是指隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)數(shù)量。在水文學(xué)中，常用大寫字母表示，記作X，而隨機(jī)變量的可能取的值記作x，即：

X=x1,X=x2,

X=xn

一般稱之為隨機(jī)系列或隨機(jī)數(shù)列。

隨機(jī)變量的表示:

離散型隨機(jī)變量

隨機(jī)變量僅取得區(qū)間內(nèi)某些間斷的離散值，則稱為離散型隨機(jī)變量。如洪峰次數(shù)，只能取0,1,2…，不能取相鄰兩數(shù)值之間的任何值。隨機(jī)變量的分類:

連續(xù)型隨機(jī)變量

隨機(jī)變量可以取得一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值，則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。如某河流斷面的流量可以取0~

極限值之間的任何實(shí)數(shù)值。

對(duì)于離散型隨機(jī)變量：

隨機(jī)變量可以取得所有可能值中的任意一個(gè)值，但取某一可能值的機(jī)會(huì)有的大有的小，即隨機(jī)變量取值都有一定的概率與之相對(duì)應(yīng)，可表示為：2.隨機(jī)變量的概率分布

上式中P1,P2,…Pn

表示隨機(jī)變量X

取值x1,x2,…xn

所對(duì)應(yīng)的概率。

x1x2x3x4……xnXP

離散型隨機(jī)變量概率分布圖一般將這種對(duì)應(yīng)關(guān)系稱作隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律，簡稱為分布律?？梢杂靡韵碌姆植紙D形表示：

由于它的所有可能取值有無限個(gè)，而取個(gè)別值的概率為零，故無法研究個(gè)別值的概率。水文學(xué)上習(xí)慣研究隨機(jī)變量的取值等于或大于某個(gè)值的概率，表示為：

它是x的函數(shù)，稱作隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，記作F(x),即

F(x)=P(X

x)

表示隨機(jī)變量X大于或等于值

x的概率，其幾何曲線稱作隨機(jī)變量的概率分布曲線（水文學(xué)上通常稱累計(jì)頻率曲線，簡稱頻率曲線）。

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量：

由圖中可知，X=900，相應(yīng)的P(X

x)=0.15，說明大于900mm降雨的可能性為15%；同理，大于500mm降雨的可能性為60%00.20.40.60.81.0500900年降雨量(mm)某站年雨量概率分布曲線

P(X

x)P(x+

x>X

x)=P(X

x)-P(X>x+

x)=F(x)-F(x+

x)由概率的加法定理：則，降雨量落在900和500mm的可能性為:60%-15%=45%

x

x+

x

PXP(X

x)P(X>x+

x)隨機(jī)變量X落在(x

，x+

x)

的概率可用下式表示:

平均概率密度：

隨機(jī)變量落在區(qū)間(x,

x+x)的概率與該區(qū)間長度的比值稱作隨機(jī)變量落在區(qū)間(x,

x+x)平均概率。概率密度函數(shù):稱f(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。而密度函數(shù)的幾何曲線稱作密度曲線。當(dāng)

x

0，取極限得：f(x)f(xi)F(x)xi密度曲線分布曲線xxdx

通過密度函數(shù)f(x)可求出隨機(jī)變量X落在(x~x+dx)區(qū)間即dx上的概率=f(x)dx，稱之為概率元素，即為圖中的陰影面積；

通過密度函數(shù)f(x)可求出隨機(jī)變量X概率分布函數(shù)F(x)，其與密度函數(shù)f(x)有如下的數(shù)學(xué)關(guān)系:

F(x)

分布函數(shù)，反映隨機(jī)變量X超過某個(gè)值x的概率。這兩個(gè)函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的分布規(guī)律。

f(x)

密度函數(shù)，反映隨機(jī)變量X落入dx

區(qū)間的平均概率；可見，隨機(jī)變量的二個(gè)函數(shù)：

在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的分布函數(shù)不易確定，或有時(shí)不一定需要用完整的形式來說明隨機(jī)變量，而只要知道其主要特征就可以。隨機(jī)變量的分布函數(shù)和密度函數(shù)中都包含一些參數(shù)（如均值、變差系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)），而這些參數(shù)能反映隨機(jī)變量分布的特點(diǎn)：如有的分布集中，有的分布分散，有的分布對(duì)稱，有的分布非對(duì)稱，等等。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中用以表示隨機(jī)變量這些分布特征的某些數(shù)值，稱之為隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)。3.隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)

平均數(shù)/數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的平均數(shù)是以概率為權(quán)重的加權(quán)平均值。a.反映位置特征參數(shù)

對(duì)于離散型隨機(jī)變量：

式中，a、b

分別為隨機(jī)變量X取值的上下限。

數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)代表系列的平均情況，可以說明這一系列總水平的高低。

對(duì)于連續(xù)的隨機(jī)變量：均值模比系數(shù)：

該參數(shù)用以反映隨機(jī)變量分布離散程度(相對(duì)于隨機(jī)變量分布中心即平均值的差距)的指標(biāo)，通常有以下幾種：b.反映離散特征參數(shù)

值愈大，分布愈分散；

值愈小，分布愈集中。

標(biāo)準(zhǔn)差（均方差)

1

2

2>

1f(x)x標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)密度函數(shù)的影響均方差

放映系列中各變量值集中或離散的程度

5，10，15σ=4.081，10，19σ=7.35

變差系數(shù)（離差系數(shù)，離勢系數(shù)〕CV1CV2CV2>CV1f(x)x變差系數(shù)對(duì)密度函數(shù)的影響CV值愈大，分布愈分散；CV

值愈小，分布愈集中。對(duì)于均值不同的二個(gè)系列，用均方差來比較其離散程度就不合適，則要采用均方差和均值的比來表示：變差系數(shù)（Cv）

5，10，15x=10σ=4.08Cv=0.48995，1000，1005x=1000σ=4.08Cv=0.0048f(x)x偏態(tài)系數(shù)對(duì)密度函數(shù)的影響Cs=0Cs>0Cs<0若不對(duì)稱：CS

>0,稱為正偏；CS

<0,稱為負(fù)偏。c.反映對(duì)稱特征的參數(shù):

偏態(tài)系數(shù)（偏差系數(shù))（四）偏態(tài)系數(shù)（Cs）反映系列在均值兩邊的對(duì)稱程度。第四節(jié)水文頻率曲線線型一、正態(tài)分布

許多隨機(jī)變量如水文測量誤差、抽樣誤差等一般服從正態(tài)分布。99.7%f(x)

a.單峰，只有一個(gè)眾數(shù)；

b.對(duì)于平均數(shù)對(duì)稱,Cs=0；

c.曲線二端趨于±∞，并以x

軸為漸近線;d.正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)：把頻率曲線畫在普通方格紙上，因頻率曲線的兩端特別陡峭，有因?yàn)閳D幅的限制，對(duì)于特小頻率或特大頻率，尤其是特大頻率的點(diǎn)子很難點(diǎn)在圖上。有了頻率格紙，就能很好地解決這個(gè)問題，所以頻率計(jì)算時(shí)，一般都是把頻率曲線點(diǎn)繪在頻率格紙上，見下圖概率密度函數(shù)表達(dá)式：

二.皮爾遜Ⅲ型分布式中,

（

）~

的伽瑪函數(shù),

,

,a

0：三個(gè)參數(shù)，它們與三個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)有一定的關(guān)系，其表達(dá)式為：可見，當(dāng)以上三個(gè)參數(shù)確定后，P-III型密度函數(shù)亦完全確定。f(x)皮爾遜Ⅲ型概率密度曲線

a0M0(x)Me(x)xPxP-III型曲線的特點(diǎn)：一端有限另一端無限的不對(duì)稱單峰正偏曲線在水文計(jì)算中，一般要求出指定概率P

所相應(yīng)的隨機(jī)變量的取值xP，即求出的xP滿足下列等式：按上式計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，故實(shí)用中，采用標(biāo)準(zhǔn)化變換：取標(biāo)準(zhǔn)變量(離均系數(shù))，即代入上式，

,

,a0以相應(yīng)的和關(guān)系式表示，簡化后得：0.031.302.473.384.160.20.021.292.403.233.940.10.001.282.333.093.720.0501010.10.01P(%)

pCsP-III型曲線離均系數(shù)

P值表注：詳表見附表1,p266被積函數(shù)含有參數(shù)

,Cs

，而包含在

中，制成對(duì)應(yīng)關(guān)系表：已知:

某地年平均降雨量

=1000mm,CV=0.5,CS=1.0,若年降雨量符合P-III型分布試求：P=1%

的年降雨量。

【算例】求解：由CS=1.0及P=1%，查附表1得

p=3.02引入模比系數(shù)：

另一種求解方法：由由此建立的對(duì)應(yīng)數(shù)值關(guān)系[P-III型曲線模比系數(shù)KP

值表（見附表2）]

上例的解法：由CV=0.5,CS

=1.0=2

CV

，P=1%查附表2得:P-III型曲線模比系數(shù)KP值表（附表2,P266）

P(%)CV0.010.10.20.330.512510205075909599（一）

CS=CV0.051.191.161.151.141.131.121.111.091.071.041.000.970.940.920.89……………………………………1.5011.68.858.027.366.876.005.113.923.002.040.64-0.10-0.53-0.70-0.89（二）CS=1.5CV0.05（三）CS=2CV。。。。。。（三）CS=6CV例：某站年徑流系列符合pⅢ型分布，已知該系列的R=650mm，σ=162.5mm，Cs=2Cv，試結(jié)合下表計(jì)算設(shè)計(jì)保證率p=90%的設(shè)計(jì)年徑流量。解：Cv=σ/R=162.5/650=0.25，∴Cs=2Cv=0.5

查表得Ф=-1.22，代入

R90%=650×(1-0.25×1.22)=650×0.695=541.8mm

三、經(jīng)驗(yàn)頻率曲線

經(jīng)驗(yàn)頻率曲線由實(shí)測資料繪制而成，它是水文頻率計(jì)算的基礎(chǔ)，具有一定的實(shí)用性。設(shè)某水文要素（如年徑流量）的實(shí)測系列共n項(xiàng)，按由大到小的次序排列為x1、x2、...、xm、...、xn。經(jīng)驗(yàn)頻率就是在系列中大于及等于樣本xi的出現(xiàn)次數(shù)與樣本容量之比值，即

當(dāng)m=n時(shí)，p=100%，即樣本的末項(xiàng)

xn是總體中的最小值，顯然不符合實(shí)際，因?yàn)殡S著觀測年數(shù)的增多，總會(huì)出現(xiàn)更小的數(shù)值。對(duì)上式進(jìn)行修正，有：數(shù)學(xué)期望公式切哥達(dá)也夫公式海森公式水文上常用“重現(xiàn)期”來代替“頻率”1.當(dāng)研究暴雨或洪水時(shí)（一般p≤50%）例如，當(dāng)某一洪水的頻率為p=1%時(shí)，則T=100年，稱此洪水為百年一遇洪水，表示大于等于這樣的洪水平均100年會(huì)遇到一次。2.當(dāng)研究枯水或年徑流時(shí)（一般p≥50%）例如，對(duì)于p=90%的枯水流量，則T=10年，稱此為十年一遇枯水流量，表示小于等于這樣的流量平均10年會(huì)遇到一次。

水文隨機(jī)變量的總體是無限的，這就需要在總體不知道的情況下，靠抽出的樣本(觀測的系列)去估計(jì)總體參數(shù)。第五節(jié)頻率曲線參數(shù)估計(jì)估算方法有：

矩法；

適線法；

極大似然法；

權(quán)函數(shù)法；

………6.4.1.矩法a.樣本的算術(shù)平均值:

已知樣本的隨機(jī)系列：x1,x2,x3,…xn，分別求樣本的三個(gè)統(tǒng)計(jì)參數(shù)。b.樣本標(biāo)準(zhǔn)差:式中，稱作模比系數(shù)c.樣本的離差系數(shù):注意：以上三個(gè)公式求到的參數(shù)是根據(jù)樣本求參得到，故與相應(yīng)的總體的參數(shù)是不相等的。d.樣本的偏態(tài)系數(shù):根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的證明可知：

以上求到的樣本平均值為總體平均數(shù)的無偏估計(jì)量，然而CV,CS

則不是總體相應(yīng)參數(shù)的無偏估計(jì)量，稱為有偏估計(jì)量。故需要對(duì)參數(shù)CV

,CS

進(jìn)行修正，使其變成無偏估計(jì)量。無偏估計(jì)量：由統(tǒng)計(jì)學(xué)的定義，若是未知數(shù)

的估計(jì)量，而且，則稱為

的無偏估計(jì)量。

(當(dāng)n較大時(shí))求Cv

,Cs

的不偏估計(jì)量的修正計(jì)算式：用上述的無偏估算公式計(jì)算的很多同容量的樣本的統(tǒng)計(jì)參值的均值，可望等于總體的同名參數(shù)。Cv的無偏估計(jì)量：Cs的無偏估計(jì)量：

模比系數(shù)由有限的樣本資料算出的統(tǒng)計(jì)參數(shù)，去估計(jì)總體的統(tǒng)計(jì)參數(shù)總會(huì)出現(xiàn)一定的誤差，稱為抽樣誤差。二、權(quán)函數(shù)法

當(dāng)樣本容量較小時(shí)，用矩法估計(jì)的參數(shù)將產(chǎn)生誤差，其中尤以Cs的計(jì)算誤差最大，為了提高Cs的計(jì)算精度，馬秀峰（1984）提出了權(quán)函數(shù)法。第六節(jié)水文頻率計(jì)算適線法

適線法（或稱配線法）是以經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，在一定的適線準(zhǔn)則下，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù)，得到一條理論頻率曲線。

目估適線法、優(yōu)化適線法一、目估適線法（1）將實(shí)測資料由大到小排列，計(jì)算各項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率，在頻率格紙上點(diǎn)繪經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)（縱坐標(biāo)為變量取值，橫坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率）。（2）選定水文頻率分布線型（一般選用PⅢ型）。（3）假定一組參數(shù)、Cv、Cs。為了使假定值大致接近實(shí)際，可用矩法或權(quán)函數(shù)法求出3個(gè)參數(shù)，作為3個(gè)參數(shù)第一次的假定值。當(dāng)用矩法估計(jì)時(shí)，因Cs的抽樣誤差太大，一般不計(jì)算Cs，而是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)假定Cs為

Cv的某一倍數(shù)（如

Cs=2Cv）。（4）根據(jù)假定的、Cv、Cs，查附表1或附表2，計(jì)算xp值，以xp為縱坐標(biāo)，p為橫坐標(biāo)，即可得到頻率曲線。將此線畫在繪有經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的圖上，看與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合的情況，若不理想，則修改參數(shù)（主要調(diào)整Cv、Cs）再次進(jìn)行計(jì)算。（5）最后根據(jù)頻率曲線與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的配合情況，從中選擇一條與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)配合較好的曲線作為采用曲線。相應(yīng)于該曲線的參數(shù)便看作是總體參數(shù)的估值。（6）求指定頻率的水文變量設(shè)計(jì)值?，F(xiàn)行水文頻率計(jì)算方法～配線法(適線法)是以經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)據(jù)為基礎(chǔ)，在一定的適線準(zhǔn)則下，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線參數(shù)，這是一種較好的參數(shù)估計(jì)方法，是我國估計(jì)洪水頻率曲線統(tǒng)計(jì)參數(shù)的主要方法。

有關(guān)的概念介紹：1)經(jīng)驗(yàn)頻率及經(jīng)驗(yàn)頻率曲線：【例】已知某地年降雨量的觀測資料(n=12)，并由大到小排列，按計(jì)算頻率。式中，P：大于或等于某一變量值x的經(jīng)驗(yàn)頻率；

m：x由大到小排列的序號(hào)，即在n次觀測資料中出現(xiàn)大于或等于某一值x的次數(shù)。經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算表：n=12其反映年降雨量(X

x)的經(jīng)驗(yàn)頻率P(X

x)和x的關(guān)系。隨著樣本容量n的增加，頻率P就非常接近于概率，而該經(jīng)驗(yàn)分布曲線就非常接近于總體的分布曲線。由此得到經(jīng)驗(yàn)分布曲線:P(X

x)x注意：樣本的每一項(xiàng)的經(jīng)驗(yàn)頻率用公式P=m/n進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)m=n時(shí)，P=100%，說明樣本的最末項(xiàng)為總體的最小值，這是不合理的。故必須進(jìn)行修正，中國常采用下面的公式進(jìn)行計(jì)算：經(jīng)驗(yàn)頻率的計(jì)算公式：這樣，當(dāng)m=n=12

時(shí)，該公式在水文計(jì)算中通常稱為期望公式具體求解步驟：a

根據(jù)實(shí)測樣本資料進(jìn)行點(diǎn)繪[縱坐標(biāo)為隨機(jī)變量X=x，橫坐標(biāo)為對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)頻率P(X

x)]，經(jīng)驗(yàn)頻率計(jì)算公式為：b

假定一組參數(shù)

，可選用矩法的估值作為的初始值,一般不求CS，假定，K為比例系數(shù)，可選K＝1.5,2,2.5,3...3)適線法（配線法）的步驟已知：經(jīng)驗(yàn)頻率分布，求：總體分布參數(shù)d根據(jù)選定的參數(shù)，由P-III型曲線離均系數(shù)值(附表1)或P-III型曲線模比系數(shù)KP值表(附表2)，求出xP

~P

的頻率曲線，將其繪在有經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)的同一張圖上，看它們的配合好壞，若不理想，則修改有關(guān)的參數(shù)(主要調(diào)整CV及K=CS/CV)，重復(fù)以上的步驟，重新配線；c選定線型，對(duì)于水文的隨機(jī)變量，一般選P-III型;e根據(jù)配合的情況，選出一配合最佳的頻率曲線作為采用曲線，則相應(yīng)的參數(shù)作為總體參數(shù)的估值。PxP

適線法的實(shí)質(zhì)是通過樣本經(jīng)驗(yàn)分布來推求總體分布，適線法的關(guān)鍵在于“最佳配合”的判別。經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)理論頻率曲線為避免修改參數(shù)的盲目性，要了解參數(shù)對(duì)頻率曲線形狀的影響：a)值愈大，頻率曲線位置愈高；

xPP

PxP

PxPc)CS值愈大，頻率曲線上段變陡，下段變緩，中部向左偏。b)CV

值愈大，頻率曲線愈陡；統(tǒng)計(jì)參數(shù)對(duì)頻率曲線的影響：（1）均值對(duì)頻率曲線的影響（2）Cv對(duì)頻率曲線的影響（3）Cs對(duì)頻率曲線的影響二、優(yōu)化適線法

在一定的適線準(zhǔn)則（即目標(biāo)函數(shù)）下，求解與經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)擬合最優(yōu)的頻率曲線的統(tǒng)計(jì)參數(shù)的方法。優(yōu)化適線法準(zhǔn)則：

離差平方和最小準(zhǔn)則（OLS）（最小二乘法）離差絕對(duì)值和最小準(zhǔn)則（ABS）相對(duì)離差平方和最小準(zhǔn)則（WLS）離差平方和最小準(zhǔn)則（OLS）（最小二乘法）：使經(jīng)驗(yàn)點(diǎn)據(jù)和同頻率的頻率曲線縱坐標(biāo)之差的平方和達(dá)到最小。即使目標(biāo)函數(shù)：取極小值，即：欲使S(Q)為最小，則要使第七節(jié)相關(guān)分析一、相關(guān)關(guān)系的概念目的：研究兩個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量之間的聯(lián)系。例如：降雨與徑流之間、上下游洪水之間、水位與流量之間等。水文計(jì)算中的應(yīng)用：資料的展延、水文預(yù)報(bào)等。必須注意的問題：必須先分析變量在成因上是否有聯(lián)系，不能在兩個(gè)毫不相關(guān)的變量之間硬湊出相關(guān)關(guān)系。二相關(guān)關(guān)系的概念

水文現(xiàn)象中許多變量不是孤立的，相互之間存在聯(lián)系，則分析研究二個(gè)或二個(gè)以上隨機(jī)變量之間的關(guān)系，稱作相關(guān)關(guān)系。

如果兩個(gè)變量x,y，其中變量x的每一個(gè)值，變量y都有一個(gè)或多個(gè)確定值與之對(duì)應(yīng)，而且x,y成函數(shù)關(guān)系，即x,y的關(guān)系點(diǎn)完全落在直線或曲線上，則稱這二個(gè)變量是完全相關(guān)的。完全相關(guān)yx完全相關(guān)（函數(shù)關(guān)系〕直線關(guān)系曲線關(guān)系二個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系有以下三種情況：零相關(guān)YXb.零相關(guān)(沒有關(guān)系)如果兩個(gè)變量x,y之間互不影響互不相關(guān)，則稱這二個(gè)變量沒有關(guān)系或零相關(guān)。即x,y的關(guān)系點(diǎn)毫無規(guī)律，十分分散。yx如果兩個(gè)變量x,y之間關(guān)系介于以上二者之間，x,y的關(guān)系點(diǎn)雖有點(diǎn)分散，但有明顯的趨勢，數(shù)學(xué)上可以用一定的表達(dá)式進(jìn)行擬合。則稱這二個(gè)變量關(guān)系為:

統(tǒng)計(jì)相關(guān)或相關(guān)關(guān)系。統(tǒng)計(jì)相關(guān)c.統(tǒng)計(jì)相關(guān)（相關(guān)關(guān)系〕

a.確定二個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式,以相關(guān)方程或回歸方程表示，用以由已知變量推求未知變量；

b.判斷二個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度,用一稱為相關(guān)系數(shù)的參數(shù)來表示。水文計(jì)算中的相關(guān)分析的主要任務(wù)：水文計(jì)算中，一般處理兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系，稱簡相關(guān)，有時(shí)也要處理三個(gè)或三個(gè)以上變量關(guān)系，稱為復(fù)相關(guān)。簡相關(guān)可分為直線相關(guān)和曲線相關(guān)。曲線相關(guān)直線相關(guān)6.5.2

簡相關(guān)

圖解法：根據(jù)實(shí)測值，將對(duì)應(yīng)點(diǎn)繪于方格紙上，如果點(diǎn)群分布平均趨勢為一直線，則可以直線來近似代表這種相關(guān)關(guān)系。通過點(diǎn)群中心目估繪出一條直線，然后在圖上量出直線的斜率a和截距b，則直線方程:

y=a+bx即為所求的相關(guān)方程。該方法簡便實(shí)用，而且一般情況下精度可以保證。1)回歸方程及其誤差分析

相關(guān)分析法：若相關(guān)點(diǎn)分布較散，目估定線有一定任意性，為保證一定精確性，最好采用分析法來確定相關(guān)線的方程。設(shè)該直線方程形式為：

y=a+bx式中，x：自變量

y

：倚變量

a,b

：分別為一常數(shù)，待定。則相關(guān)點(diǎn)與直線在縱軸方向必然存在離差。配合曲線與觀測點(diǎn)在縱軸方向的離差為：xiy要求配合曲線與所有的觀測點(diǎn)能“最佳”擬合，即滿足所有的觀測點(diǎn)的離差

y

的平方和為最小，即：分別對(duì)a,b

求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零：求解上列兩聯(lián)立方程式，可得式中，：分別為x,y

系列的均方差/標(biāo)準(zhǔn)差;

：分別為x,y系列的平均值;

：x,y

系列的變差系數(shù)(按不偏估計(jì)公式計(jì)算):

：相關(guān)系數(shù);

Kxi

，Kyi：分別為xi,yi系列的模比系數(shù):為回歸線的斜率，稱y

為x

倚的回歸系數(shù)(8-37)式即為y倚x的回歸方程，其曲線稱為回歸線/相關(guān)線(僅是對(duì)點(diǎn)據(jù)擬合最佳一條線)，亦可表示為：將

，

代入y=a+bx中得：注意：由于x,y并非確定性關(guān)系，對(duì)于x=x0，無法知道其相應(yīng)的真正值y0

，通過回歸方程求到：僅僅是真正值y0的一個(gè)估計(jì)值。故其與真正值y0存在偏差。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的研究，由于隨機(jī)因素的影響，y0在估計(jì)值上下波動(dòng)呈正態(tài)分布，其均方誤差可用公式表示。（三）相關(guān)分析的誤差1.回歸線的誤差

y倚x的回歸線的均方誤：式中，Sy

：y倚x回歸線的均方誤;

yi

：觀測點(diǎn)的縱坐標(biāo)值;y：由回歸方程求到的縱坐標(biāo)值；n：觀測項(xiàng)的數(shù)目

y倚x回歸線的均方誤估算公式：如前所述，可以用均方誤進(jìn)行誤差分析，即對(duì)于任一固定的x=x0值，若以作為y的估值，其誤差不超過Sy的可能性為68.3%;其誤差不超過3Sy的可能性為99.7%。另外，可以證明回歸線的均方誤與系列標(biāo)準(zhǔn)差及相關(guān)系數(shù)

有以下關(guān)系：式中，為y系列的標(biāo)準(zhǔn)差(無偏估計(jì)量)根據(jù)均方誤公式，也可以用

2來判斷相關(guān)程度:

若

2=1，Sy=0，則y=yi

，屬函數(shù)關(guān)系;

若

2=0，Sy=

y

，誤差最大，屬零相關(guān);

若0<

2<1,為統(tǒng)計(jì)相關(guān),

2

1,x,y關(guān)系愈密切?？芍秸`Sy值愈大，則回歸方程的誤差愈大。相關(guān)系數(shù)的均方誤可用下式來估算：式中，

為相關(guān)系數(shù)；

n

為觀測項(xiàng)數(shù)。相關(guān)系數(shù)是根據(jù)有限的實(shí)測資料(樣本)計(jì)算出來的，故相關(guān)系數(shù)也