二元一次方程應(yīng)用題13種經(jīng)典習(xí)題

知識回顧—、等式、方程J?等式性質(zhì)等式兩邊加（或減）同一個數(shù)或同一個整式，所得結(jié)果仍是等式；等式兩邊乘（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能是0）,所得結(jié)果仍是等式?2?方程⑴含有未知數(shù)的等式叫做方程?⑵方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解?'（3）解方程：求方程解的過程叫做解方程?二、一元一次方程只含有—未知數(shù)：并且未知數(shù)的最高次數(shù)都是―，系數(shù)不等于零的—方程叫做一元一次方程：其標(biāo)準(zhǔn)形式為其解為X二—.2?解一元一次方程的一般步驟：⑴去分母；（2）；（3移項；（4）；⑸未知數(shù)的系數(shù)化為1-三、二元一次方程組的有關(guān)概念1-二元一次方程⑴概念：含有—未知數(shù)：并且未知數(shù)的項的次數(shù)都是—，這樣的整式方程叫做二元—次方程.⑵一般形式：ax+by=c（a/0,b/0）?：3）使二元一次方程兩邊的的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解?⑷解的特點：一般地，二元一次方程有無數(shù)個解?由這些解組成的集合，叫做這個二元一次方程的解集?2?二元一攻方程組⑴概念:具有相同未知數(shù)的—二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組-ax+by=c,⑵一般形式：，11（a,atb,b均不為零）?ax+by=c1⑶二元一次方程組的解‘：一』殳地，二元一次方程組的兩個方程的叫做二元一次方程組的解?四、二元一次方程組的解法解二元一次方程組的基本思想—;即化二元一次方程組為一元一次方程，主要方法有消元法和消元法?□,k?用代入消元法L不要漏掉括號⑴從方程組中選定一個系數(shù)比較簡單的方程進(jìn)行變形，用含有*或y）的代數(shù)式表示出y（或x）,即變成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；⑵將y=ax+b（或x=ay十b）代入另一個方程，消去y（或得到關(guān)于x（或y）的一元一次方程；⑶解這個一元一次方程，求出x（或y）的值；⑷把x（或y）的值代入y二?x+b（或x二ay+b）中，求y（或x）的值??用加減消元法」不要漏乘⑴在二元一次方程組中，若有同一個未知數(shù)的系數(shù)相同（或互為相反數(shù)）-則可以直接相減（或相加），消去一個未知數(shù)；⑵在二元一次方程組中，若不存在⑴中的情況，可選一個適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊：使其中一個未知數(shù)的系數(shù)相同（或互為相反數(shù)），再把方程兩邊分別相減（或相加），消去一個未知數(shù)；：3）解這個一元一次方程；⑷將求出的一元一次方程的解代入原方程組中系數(shù)比較簡單的方程內(nèi)，求出另一個未知數(shù)?

考點一--二元一次方程概念與解法例1?已知x_2,y=imx例1?已知x_2,y=i的解、則2m例2?小明和小佳同時解方程組5的解、則2m例2?小明和小佳同時解方程組5二小明看錯了口解得72:小華看錯了6(2ab)2014(2ab)2014的值。你能求得關(guān)于X,yx3解得y7.你能知道原方程組正確的解嗎總結(jié)分析：靈活學(xué)會??方程解?概念解題。2xby-63x5y16【鞏固】已知方程組bY4和方程組&ay8姍目同.求axbycx3【變式】已知關(guān)于x,y的二元一次方程組已byf的解為y100的二元一次方程組的解嗎a(xy)b(xy)ce(xy)b(x+y)f的二元一次方程組的解嗎A"……"LK:靈活學(xué)會?方程解?概念解題，利用解相同，可以將方程重新組合,換位聯(lián)立；在解題過程中，常常運用類比的思想【鞏固專o考點二――解決實際問題列方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟審1、:有什么，求什么，干什么；設(shè)2、：設(shè)未知數(shù)，并注意單位；找3、：等量關(guān)系；驗i驚藪軍龍表達(dá)出來；.6、答:檢驗方程（組）的解是否符合實際題意?列方癌組思想元整與出答案（包括單位）-找出相等關(guān)系?未知■?轉(zhuǎn)化為??已知??有幾個未知數(shù)就列出幾個方程，所列方程必須滿足:⑴方程兩邊表示的是同類量；⑵同類量的單位要統(tǒng)一；⑶方程兩邊的數(shù)值要相等.列二元一次方程―解決實際問題類型寸（1）行程問題：⑵工程問題；（3）銷售中的盈虧問題⑷儲蓄問題；（5）產(chǎn)品配套問題⑹增長率問題；⑺和差倍分問題；⑻數(shù)字問題；（9）濃度問題；（10）幾何問題；（11）年齡問題；（12）優(yōu)化方案問題.—、行程問題（1）I里卞基本量的關(guān)乘路程S二速度和時間t時間t二路程S*速度V速度V二路程“時間t遐婆迥題：快行距十慢行距二原距聲迥題：快行距-慢行距二原距，坯笳問題：順?biāo)L(fēng)）速度二靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）速度逆水（風(fēng)）速度二靜水（風(fēng)）速度-水流（風(fēng)）速度順?biāo)?逆速=2水速；順?biāo)?逆速=2船速

順?biāo)穆烦?逆水的路程甲、幾兩地相距160千米-—輛汽車和一輛拖祐機同時由甲、刁兩地相向而行.1小時20分相遇一相遇后，拖拉機繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機.這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米總結(jié)升華：棍據(jù)題尼畫出不意圖，再根據(jù)路程、時間和速度的關(guān)系找出等量關(guān)系，是行程間題的常用的解決策略。【變式】兩地相距280千米：一艘船在其間航行，順流用口小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。二、工程問題王乍基本量的關(guān)系:工作總量二工作時間莢工作效率；工作時間二工作總呈?工作效率;工作效率二工作總呈?工作時間甲的工作量十乙的工作量二甲乙合作的工作總量，科苔H作總量未給出具體數(shù)量時，常設(shè)總工作量為化一家商店要講行裝修若諳甲、乙兩個奘修纟目同時施丁-8天可以穿成.需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元⑵已知甲組單獨做需12天完成，乙組單獨做需24天完成，單獨請哪組’商店所付費用最少息結(jié)開華「工作效率是單位時間里完成的工作量：同一題目中時間單位必須統(tǒng)一，一般地:將工作總量設(shè)為X也可設(shè)為K需根據(jù)題目的特點合理選用；工程問題也經(jīng)常利用線段圖或列表法進(jìn)行分析?！咀兪健啃∶骷覝?zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢萬元?若只選一個公司單獨完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司請你說明理由.012000120000三：商品銷售利潤問題0利潤問題：利潤=售價—進(jìn)價，利潤率=（售價-進(jìn)價）?進(jìn)價X100%有甲、刁兩件商品-甲商品的利潤率為5%7,商品的利潤率為4%、共可獲利46元r價格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%,乙商品的利潤率為5%,共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價分別是多少元【變式】某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價和售價如下表：0AB進(jìn)價（元件）120010001380售價（元件）1380求該商場購進(jìn)A、B兩種商品各多少件;四、銀行儲蓄問題稅后利息二本金X利率X時間-本金涮率X時間X稅率4.小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后卜高中的費用.現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000

元錢，一種是年利率為％的教育儲蓄，另一種是年利率為％的一年定期存款，一年后可取出

元，問這兩種儲蓄各存了多少錢（利息所得稅二利息金額吃0%,教育儲蓄沒有利息所得稅）總結(jié)升華戰(zhàn)們在解二些涉及到行程、收入、支出、增長率等的實際問題時，有時候不容易我凸其等星關(guān)系，這時候我們可以借助圖表法分析具體問題中綿涵的數(shù)量關(guān)系，題目中的相等關(guān)系隨之浮現(xiàn)出來.【變式】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費用，在銀行同時用兩種方式共存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相同，這種存款銀行利率為年息。/。；第二種，三年期整存整取’這種存款銀行年利率為％三年后同時取出共得利息元（不計利息稅人問小敏的爸爸兩種存款各存入了多少元？五、生產(chǎn)中的配套問題0產(chǎn)品配套問題：加工總量成比例某服裝廠牛產(chǎn)一批某種款式的秋裝已知毎2米的某種布料可做卜衣藥衣身3個或衣袖5只.現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝（不考慮布料的損耗｝,應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套噁、畐笄旺生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們噁、畐笄旺生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.噁、畐笄旺生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們噁、畐笄旺生產(chǎn)中的配套問題很多，如螺釘和螺母的配套、盒身與盒底的配套、桌面與桌腿的配套、衣身與衣袖的配套等.各種配套都有數(shù)量比例，依次設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)可把它們之間的數(shù)量關(guān)系表示出來，從而得到方程組，使問題得以解決，確定等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.【變式】一張方桌由1個桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做桌面50個，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面.用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌能配多少張方桌？六、增長率問題增長率問題：原量*（1十增長率）=增長后的量原呈X（1十減少率）=減少后的量某丁廠夫年的利潤（總產(chǎn)值—魚、支出）為200萬元今年魚、產(chǎn)值比夫年增加了20%,總支出比去年減少了10%,今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元（1）若條件不變，求今年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？思考：本問題還有沒有其它的設(shè)法【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加卷農(nóng)村人口增加％,這樣全市人口增加1%,求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。七、和差倍分問題和差倍總分問題：較大量二較小量+多余量：總量二倍數(shù)農(nóng)倍量-愛心”帳篷廠和-溫曙”帳篷廠原計劃毎周牛產(chǎn)帳篷共9千頂現(xiàn)某地霄災(zāi)區(qū)魚需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內(nèi)趕制出這批帳篷一為此，全體職工加班加點，-愛心”帳篷廠和-溫暖-帳篷廠一周內(nèi)制作的帳篷數(shù)分別達(dá)到了原來的倍、倍恰好按時完成了這項任務(wù)?求在趕制帳篷的一周內(nèi)’??愛心-帳篷廠和?溫暖-帳篷廠各生產(chǎn)帳篷多少千頂【變式】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？八：數(shù)字問題0首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)偶數(shù)等有關(guān)的概念、特征及其表示兩個兩付數(shù)的和是68,存較大的兩付數(shù)的右誼接著寫較小的兩付數(shù)，得到一個四付數(shù)；在較大的兩位數(shù)的左邊寫上較小的兩位數(shù)，也得到一個四位數(shù)，已知前一個四位數(shù)比后—個四位數(shù)大2178,求這兩個兩位數(shù)。

【變式】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個位上的

數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9,求這個兩位數(shù)？如果百位數(shù)字減1,個求原三位數(shù)?！咀兪健磕橙粩?shù)，中間數(shù)字為0,其余兩個數(shù)位上數(shù)字之和是9,

位數(shù)字加如果百位數(shù)字減1,個求原三位數(shù)。九：濃度問題0溶液冥濃度二溶質(zhì)現(xiàn)有兩種酒精溶港.甲種酒精溶港的酒精與水的比是3：7-乙種酒精溶浦的酒精與水的比是4：1,今要得到酒精與水的比為3：2的酒精溶液50kg,問甲、乙兩種酒精溶液應(yīng)各取多少a必須掌握幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式a必須掌握幾何圖形的性質(zhì)、周長、面積等計算公式如圖?用8塊相同的冬方形地磚拼成一個長方形一每塊長方形地磚的長?和寬分別是多兎番蔣二解這類問題常用的相等關(guān)系是：混合前后所含溶質(zhì)相等或混合前后所含溶劑相等。有時候需要設(shè)間接未知數(shù)，有時候需要設(shè)輔助未知數(shù)C【變式】一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到％時，治蟲最有效「用多少千克濃度為35%的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成％的農(nóng)藥800千克？十、幾何問題少0倉結(jié)幵華L幾何應(yīng)用題的相等關(guān)系一般隱藏在某些圖形的性質(zhì)中，解答這類問題時應(yīng)注意認(rèn)真分析圖形特點，找出圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系:再列出方程求解?！咀兪健坑瞄L48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補到較短邊上去：則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？倉結(jié)開華=解題的關(guān)鍵找兩個等量關(guān)系，最關(guān)鍵的是本題設(shè)的未知數(shù)不是該題要求的，本題要是設(shè)正方形的面積比矩形面積大多少，問題就復(fù)雜了。設(shè)長方形的長和寬，本題就簡單多7,所以列方程解應(yīng)用題設(shè)未知數(shù)是關(guān)鍵口十一、年齡問題人與人的歲數(shù)是同時增長的今年父親的年齡是兒子的5倍6年后父親藥年齡是兒子的3倍求現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少回結(jié)升率：解決年齡問題，要注意一點：一個人的年齡變化（增大、減?。┝?，其他人也—樣增大或減小，并且増大（或減?。┑臍q數(shù)是相同的（相同的時間內(nèi)）?！咀兪?】今年’小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.十二、優(yōu)化方案問題：⑥^某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經(jīng)粗加工后銷售,每噸利潤可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元.當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸；如果進(jìn)行細(xì)加工，每天可加工6噸.但兩種加工方式不能同時進(jìn)行.受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工；方案二：盡可能多的對蔬菜進(jìn)行精加工，沒來得及加工的蔬菜在市場上直接銷售；方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬菜進(jìn)行粗加工，并恰好在15天完成你認(rèn)為選擇哪種方案獲利最多為什么？總結(jié)升華：優(yōu)化方案問題首先要列舉出所有可能的方案，再按題的要求分別求出每個方案的具體結(jié)果’再進(jìn)行比較從中選擇最優(yōu)方案.【變式】某商場計劃撥款9萬元從廠家購進(jìn)50臺電視機，已知廠家生產(chǎn)三種不同型號的電

視機，出廠價分別