浙江省溫州市甌江中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

浙江省溫州市甌江中學(xué)高一數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知外接圓半徑為1，且則是

(

)

A．銳角三角形

B．直角三角形

C．鈍角三角形 D.等腰直角三角形參考答案：B2.已知函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是A.(0，3) B.(0，3] C.(0，2) D.(0，2]參考答案：D【分析】由為上的減函數(shù)，根據(jù)和時(shí)，均單調(diào)遞減，且，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為上的減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，遞減，即，當(dāng)時(shí)，遞減，即，且，解得，綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要靠考查了分段函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，其中熟練掌握分段的基本性質(zhì)，列出相應(yīng)的不等式關(guān)系式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知f（x）=，則f[f（﹣3）]等于（）A．0 B．π C．π2 D．9參考答案：B考點(diǎn)：函數(shù)的值．

專題：計(jì)算題．分析：先根據(jù)已知函數(shù)解析式求出f（﹣3）=0，然后把f（x）=0代入即可求解解答：解：∵﹣3＜0∴f（﹣3）=0∴f（f（﹣3））=f（0）=π故選：B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了分段函數(shù)的函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)試題4.設(shè)f（x）=，則f（1）=（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】由已知得f（1）=f[f（2）]+1=f（2×2﹣1）+1，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=f[f（2）]+1=f（2×2﹣1）+1=f（3）+1=2×3﹣1+1=6．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．5.已知，則的值為

（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：C6.函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是

(

)A. B. C. D.參考答案：C【分析】先求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，再結(jié)合各選項(xiàng)判定后可得結(jié)果．詳解】由，得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，令k=0，則得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故所求的單調(diào)遞增區(qū)間為．故選C．【點(diǎn)睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，可把看作一個(gè)整體，然后代入正弦函數(shù)的增區(qū)間或減區(qū)間求出的范圍即為所求，解題時(shí)要注意的符號(hào)求所求區(qū)間的影響，這也是在解題中常出現(xiàn)的錯(cuò)誤．7.已知函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，A（0，﹣1），B（3，1）是其圖象上的兩點(diǎn)，那么|f（x+1）|＜1的解集的補(bǔ)集是（）A．（﹣1，2） B．（1，4） C．（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】因?yàn)锳（0，﹣1），B（3，1）是函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)，可知f（0）=﹣1，f（3）=1，所以不等式|f（x+1）|＜1可以變形為﹣1＜f（x+1）＜1，即f（0）＜f（x+1）＜f（3），再根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，去函數(shù)符號(hào)，得0＜x+1＜3，解出x的范圍就是不等式|f（x+1）|＜1的解集M，最后求M在R中的補(bǔ)集即可．【解答】解：不等式|f（x+1）|＜1可變形為﹣1＜f（x+1）＜1，∵A（0，﹣1），B（3，1）是函數(shù)f（x）圖象上的兩點(diǎn)，∴f（0）=﹣1，f（3）=1，∴﹣1＜f（x+1）＜1等價(jià)于不等式f（0）＜f（x+1）＜f（3），又∵函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，∴f（0）＜f（x+1）＜f（3）等價(jià)于0＜x+1＜3，解得﹣1＜x＜2，∴不等式|f（x+1）|＜1的解集M=（﹣1，2），∴其補(bǔ)集CRM=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，以及集合的補(bǔ)集運(yùn)算，求補(bǔ)集時(shí)注意：若集合不包括端點(diǎn)時(shí)，補(bǔ)集中一定包括端點(diǎn)．8.α，β∈（，π），且tanα＜cotβ，則必有（）A．α＜β B．α＞β C．α+β＜ D．α+β＞參考答案：C【考點(diǎn)】正切函數(shù)的圖象．【分析】由題意可得α+β∈（π，2π），再根據(jù)tan（α+β）=＞0，可得α+β∈（π，），從而得出結(jié)論．【解答】解：α，β∈（，π），且tanα＜cotβ=＜0，∴tanα?tanβ＞1，α+β∈（π，2π），∴tan（α+β）=＞0，∴α+β∈（π，），故選：C．9.已知，則的表達(dá)式是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略10.函數(shù)f（x）=2x+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）參考答案：B【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用f（﹣1）與f（0）函數(shù)值的大小，通過(guò)零點(diǎn)判定定理判斷即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=2x+3x是增函數(shù)，f（﹣1）=＜0，f（0）=1+0=1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零點(diǎn)判定定理可知：函數(shù)f（x）=2x+3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間（﹣1，0）．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.集合的子集有且僅有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)a=

．

參考答案：略12.下列四個(gè)命題：（1）函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，時(shí)也是增函數(shù)，所以是增函數(shù)；（2）若函數(shù)與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則且；（3）的遞增區(qū)間為；（4）和表示相同函數(shù).（5）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根其中正確的命題是

.參考答案：（5）13.在△ABC中，若_________。參考答案：

解析：14.將二進(jìn)制數(shù)101101（2）化為十進(jìn)制結(jié)果為

．參考答案：45【考點(diǎn)】進(jìn)位制．【分析】由題意知101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25計(jì)算出結(jié)果即可選出正確選項(xiàng)．【解答】解：101101（2）=1×20+0×21+1×22+1×23+0×24+1×25=1+4+8+32=45．故答案為：45．15.已知為銳角,且,則的值為

.參考答案：由為銳角，可得，則，故答案為.

16.函數(shù)f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是．參考答案：[﹣,-].【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值；HM：復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性．【分析】f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）?f（x）=2cosx+2cos2x﹣1，利用配方法結(jié)合y=cosx的值域即可求得函數(shù)f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域．【解答】解：∵f（x）=2cosx+cos2x=2cosx+2cos2x﹣1=2﹣，又﹣1≤cosx≤1，∴當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）max=2×﹣=3，當(dāng)cosx=﹣時(shí)，f（x）min=﹣；故函數(shù)f（x）=2cosx+cos2x（x∈R）的值域是[﹣,-].17.如圖4，在三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC、△ABC為正三角形，且PA=AB=2，則三棱錐P—ABC的側(cè)視圖面積為

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期T和上的單調(diào)增區(qū)間：（2）若對(duì)任意的和恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：(1)T=π，單調(diào)增區(qū)間為，(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)得到，再計(jì)算周期和單調(diào)區(qū)間.（2）分情況的不同奇偶性討論，根據(jù)函數(shù)的最值得到答案.【詳解】解：（1）函數(shù)故的最小正周期．由題意可知：，解得：，因?yàn)?，所以的單調(diào)增區(qū)間為，（2）由（1）得∵∴，∴，若對(duì)任意的和恒成立，則的最小值大于零．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，綜上所述，的范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)化簡(jiǎn)，周期，單調(diào)性，恒成立問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．（1）若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng)x∈Z時(shí)，求A的非空真子集的個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)x∈R時(shí)，若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：（1）因?yàn)锳∪B＝A，所以B?A，當(dāng)B＝?時(shí)，m＋1>2m－1，則m<2；當(dāng)B≠?時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得，解得2≤m≤3.綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－∞，3]．（2）當(dāng)x∈Z時(shí)，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8個(gè)元素，所以A的非空真子集的個(gè)數(shù)為28－2＝254.（3）當(dāng)B＝?時(shí)，由（1）知m<2；當(dāng)B≠?時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得，或，解得m>4.綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（－∞，2）∪（4，＋∞）．20.如圖，△ABC中，O是BC的中點(diǎn)，AB=AC，AO=2OC=2．將△BAO沿AO折起，使B點(diǎn)與圖中B'點(diǎn)重合．（Ⅰ）求證：AO⊥平面B′OC；（Ⅱ）當(dāng)三棱錐B'﹣AOC的體積取最大時(shí)，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問(wèn)在線段B′A上是否存在一點(diǎn)P，使CP與平面B′OA所成的角的正弦值為？證明你的結(jié)論．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LW：直線與平面垂直的判定；MI：直線與平面所成的角．【分析】（Ⅰ）證明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后利用直線與平面垂直的判定定理證明AO⊥平面B'OC．（Ⅱ）在平面B'OC內(nèi)，作B'D⊥OC于點(diǎn)D，判斷當(dāng)D與O重合時(shí)，三棱錐B'﹣AOC的體積最大，解法一：過(guò)O點(diǎn)作OH⊥B'C于點(diǎn)H，連AH，說(shuō)明∠AHO即為二面角A﹣B'C﹣O的平面角，然后就三角形即可得到結(jié)果．解法二：依題意得OA、OC、OB'兩兩垂直，分別以射線OA、OC、OB'為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，求出平面B'OC的法向量為，求出平面AB'C的法向量為，利用空間向量的數(shù)量積求解二面角的余弦值．（Ⅲ）解法一：存在，且為線段AB'的中點(diǎn)，證明設(shè)，求出，以及平面B'OA的法向量，利用空間向量的距離公式求解即可．解法二：連接OP，因?yàn)镃O⊥平面B'OA，得到∠OPC為CP與面B'OA所成的角，通過(guò)就三角形即可求出即P為AB'的中點(diǎn)．【解答】解：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中點(diǎn)，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC…（Ⅱ）在平面B'OC內(nèi)，作B'D⊥OC于點(diǎn)D，則由（Ⅰ）可知B'D⊥OA又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱錐B'﹣AOC的高，又B'D≤B'O，所以當(dāng)D與O重合時(shí)，三棱錐B'﹣AOC的體積最大，…解法一：過(guò)O點(diǎn)作OH⊥B'C于點(diǎn)H，連AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，又B'C?平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH，∴∠AHO即為二面角A﹣B'C﹣O的平面角．…，∴，∴，故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值為…解法二：依題意得OA、OC、OB'兩兩垂直，分別以射線OA、OC、OB'為x、y、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，設(shè)平面B'OC的法向量為，可得設(shè)平面AB'C的法向量為，由…，故二面角A﹣B′C﹣O的余弦值為：．…（Ⅲ）解法一：存在，且為線段AB'的中點(diǎn)證明如下：設(shè)…又平面B'OA的法向量，依題意得…解得舍去）…解法二：連接OP，因?yàn)镃O⊥平面B'OA，所以∠OPC為CP與面B'OA所成的角，…故，，∴…又直角OB'A中，OA=2，OB'=1，∴即P為AB'的中點(diǎn)…21.已知函數(shù)是奇函數(shù)，且滿足(Ⅰ)求實(shí)數(shù)、的值；（Ⅱ）試證明函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增；（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：①不等式對(duì)恒成立；②方程在上有解．若存在，試求出實(shí)數(shù)的取值范圍，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：解：(Ⅰ)由得，解得．由為奇函數(shù)，得對(duì)恒成立，即，所以．（Ⅱ）由(Ⅰ)知，．

任取，且，，∵，∴，，，∴，所以，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減．

類似地，可證在區(qū)間單調(diào)遞增．

（Ⅲ）對(duì)于條件①：由（Ⅱ）可知函數(shù)在上有最小值故若對(duì)恒成立，則需，則，對(duì)于條件②：由（Ⅱ）可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)槿舴匠淘谟薪猓瑒t需．若同時(shí)滿足條件①②，則需，所以

答：當(dāng)時(shí)，條件①②同時(shí)滿足．22.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位長(zhǎng)度