初中數(shù)學(xué)第15章面積問題與面積方法競賽專題復(fù)習(xí)(人教版帶答案)

實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享實(shí)用精品文獻(xiàn)資料分享初中數(shù)學(xué)第15章面積問題與面積方法競賽專題復(fù)習(xí)（人教版帶答案）第15章面積問題與面積方法15.1.1★如圖，（）、（）、（）、（）中直線與直線交于點(diǎn)，則：（）中有；（）、（）、（）、（）中有.解析只要作相應(yīng)的高，并運(yùn)用比例即可.15.1.2★若中有一點(diǎn)，延長、、，分別交對邊于點(diǎn)、、，則.解析如圖，易證，，，三式相加即得結(jié)論.15.1.3★求證：若點(diǎn)、、、是一直線上依次的任意四個不同點(diǎn)，點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，則有.解析如圖，，兩式相乘，即得結(jié)論.評注這個定理叫交比定理，在這里作為例子是為了強(qiáng)調(diào)交比（即上述比值）是一個重要的不變量，交比為2時，四點(diǎn)稱為調(diào)和點(diǎn)列，此時，這種情形在幾何中十分常見.15.1.4★★如圖，設(shè)，，，試用、、表示.解析用面積比或梅氏定理得出，，于是以及與的表達(dá)式，最后算得.15.1.5**已知為的角平分線上任一點(diǎn)，、延長線上分別有點(diǎn)、，，，求證：.解析如圖，連結(jié)、.至、距離相等，即，由，，有，故，于是.15.1.6★★在的兩邊和上各取一點(diǎn)和，使得，與交于，求證：是的平分線.解析如圖，易知，又，故至的距離與至距離相等，于是平分.15.1.7★★已知的邊、、上分別有點(diǎn)、、，且、、共點(diǎn)，求證：.解析如圖，設(shè)，，，則由塞瓦定理知.又知原式等價于證明，而，同理，，，于是問題變?yōu)樽C明，去分母、考慮并移項(xiàng)整理得上式等價于.這顯然成立，取等號僅當(dāng)，此時、、為各邊中點(diǎn).15.1.8★在凸四邊形中，，，，，，求四邊形的面積.解析如圖，，故本題只有一解（否則可能為鈍角）.今延長、交于，則為等腰直角三角形，.又作，則..又，故.于是.15.1.9★★銳角中，，向外作正與正，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，又與交于點(diǎn)，求證：.解析結(jié)論轉(zhuǎn)化為，兩邊同時除以，轉(zhuǎn)化成線段之比，即求證，上式又等價為.這是成立的，因?yàn)樽笫接沂?，此處用到了與.15.1.1★在等腰中，，、分別在兩腰、上，，與相交于點(diǎn)，四邊形的面積為，求的面積.解析如圖，連結(jié)，設(shè).易知，，于是，，，，又，故，.15.1.11★設(shè)、、為銳角的三條高，若平分的三條高，若平分的面積，求證：.解析如圖，由條件知，由于S，，故，.又由相似知，故，.又s，得，于是，結(jié)論證畢.15.1.12***設(shè)是內(nèi)心，在、、上的身影分別是、、，延長后，交于，延長后與交于，求證：.解析如圖，連結(jié)、，本題等價于證明.而，，由知，于是只需證明.由，結(jié)論得證.15.1.13***已知：銳角三角形，向外作正方形、，、交于，求證：.解析1如圖（1），作，我們證明、、共點(diǎn).由于，，，故，而，.設(shè)、交于，、交于.于是，故結(jié)論成立.解析2如圖（2）,設(shè)是高，在延長線上分別找點(diǎn)、，使，.易知絲,,同理.的三條高在、、直線上.因此、、三線共點(diǎn).15.1.14★★★求證：存在一個面積為的四邊形，使形內(nèi)任何一點(diǎn)，、、、至少有一個是無理數(shù).解析如圖，作梯形，，，，與的距離為.則.設(shè)是內(nèi)部任一點(diǎn)，則與中至少有一個是無理數(shù).否則，若與均為有理數(shù)，設(shè)分別為、，則，整理得一個關(guān)于的二次方程，系數(shù)可以是整數(shù).但決不是這個方程的根，矛盾.因此與中至少有一個是無理數(shù).15.1.15★★設(shè)中，，點(diǎn)為其內(nèi)部任一點(diǎn)，求證：.解析此題用坐標(biāo)法能使解題思路看起來更加清晰.如圖，設(shè)（，）、 （，）、 （，）、 （，），則（，），于是.15.1.16★★四邊形的兩條對角線垂直且交于點(diǎn)，、分別與、垂直，延長、，分別與、交于點(diǎn)、，求證：.解析顯然可將待證式改為.由于.同理，也是此式.于是結(jié)論成立.15.1.17★★已知凸五邊形滿足，，，，，求五邊形的面積.解析如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，于是，，分別作和的角平分線，設(shè)交于點(diǎn)，則、分別垂直平分、，則點(diǎn)是的外心.又由于，，因此.又由于，，因此，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn).由絲，絲,以及四得.為求，只需注意，，因此作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)（圖中未畫出），有絲，于是.15.1.18★★凸四邊形中，、分別在、上，、將三等分，且，求證：.解析如圖，連結(jié)、、.由，（這是因?yàn)椋┲?由于，故.因此，亦即.由知，.而，故，因而、為、中點(diǎn).由此可得、分別為、的中位線，即，.因此四邊形為平行四邊形，所以，，而，故，由此得四邊形為平行四邊形，故.15.1.1★★★為的內(nèi)心，、分別為、的中點(diǎn).與延長線交于，延長線與延長線交于（如圖），，求.解析設(shè)，，，，，內(nèi)切圓半徑為.由得.而.又.所以，即.同理，對用同樣的方法可得：.兩式相乘，利用得：，即.所以，.15.1.20★★已知、為直角三角形（）的角平分線，交于，求.解析設(shè)，，.由內(nèi)角平分線性質(zhì)，有，故，，，于是.而，故，.同前面類似的算法可得：，故.利用，.15.1.21★★點(diǎn)為正三角形內(nèi)一點(diǎn)，，，，試用、、表示.解析分別把、、繞點(diǎn)、、順時針旋轉(zhuǎn)，得、、三點(diǎn)，則、、是邊長分別為、、的正三角形，而、與是邊長各為、、的全等三角形，最終得，此處.15.1.22★在凸四邊形中有一點(diǎn)，滿足，求證：點(diǎn)在該四邊形的對角線上.解析顯然在對角線上時，上述結(jié)論成立.今用反證法，若點(diǎn)不在對角線上時，如圖，不妨設(shè)與交于點(diǎn)，又不妨設(shè)點(diǎn)位于的內(nèi)部.此時，與有一交點(diǎn)，記為.由題設(shè)得，于是由面積比知點(diǎn)、、共線.這樣一來，點(diǎn)、均在直線上，點(diǎn)就在上，與假設(shè)矛盾.15.1.23**自的頂點(diǎn)引兩條射線交邊于、，使，求證：.又，反之如何？解析如圖，由，得.又，故.兩式相乘，即得.反之，若，作外接圓，分別交、于、.則，，代入得，得，但、、、共圓，故四邊形為等腰梯形，圓周角和所對弧相等，由于其和小于，故.15.1.24★★★已知正三角形內(nèi)一點(diǎn)，到、、的射影分別是、、，求證：；、和和面積和等于的一半.解析如圖，易知，，，三式相加即得結(jié)論.又過作，，.、在上，、在上，、在上.易知、和均為正三角形，四邊形、、均為平行四邊形，記，，，，，，則.15.1.25★★已知：凸五邊形中，，，、分別是、中點(diǎn)，在上，，求證：.解析如圖，設(shè)中點(diǎn)為，連結(jié)、.則，，，.設(shè)、交于，則，，，故，.15.1.26★凸四邊形中，對角線相交于，、分別為、的中點(diǎn)，連結(jié)，交于，交于，、分別為、中點(diǎn)，分別與、交于、，求證：.解析如圖（圖中點(diǎn)、未畫出），連結(jié)、，則，，故s，且，同理，于是在與中，與互補(bǔ)，，于是.15.1.27**已知為內(nèi)一點(diǎn)，，求證：.解析如圖，由余弦定理，同理，，三式相加，得，此即15.1.28*中，是高，，，，求.解析設(shè).分兩種情況討論，一種、在兩側(cè)，另一種、在同側(cè).、在兩側(cè)時，，于是由面積，，即，得，得或.時，，不合要求；故，.、在同側(cè)時，，同樣由面積公式，，即，得，無解.15.1.29★★★設(shè)矩形的邊、上分別有點(diǎn)、，滿足是正三角形，求證：.解析如圖，設(shè)邊長為..取，使，，，連結(jié)、、，與交于，延長至，，連結(jié)，則.又易知.于是只要證明即可.事實(shí)上，.于是結(jié)論成立.15.1.30★★★已知正三角形邊長為，在上，，在上，，求的長.解析如圖，作、、分別與、、垂直，設(shè)，由，得.又由條件，知，同理，，故，于是.由，得，又，，故.由于，，，故，于是.（見題9.2.3.）15.1.31★用正弦定理證明三角形面積公式.這里、、為的三邊長，為的外接圓半徑.解析.又，，，代入得.又找到外心，則.評注最后的結(jié)果中，、、可能取負(fù)值，但不影響結(jié)論.15.1.32★★★已知，、分別在、上，，，，試用、、表示.解析如圖（）作，、在直線、上，設(shè)，又設(shè)，，，，則，，，因此，，于是有，展開得.記，則，解得.所以.因?yàn)?，故根號前?yīng)取“”號，于是解析2如圖（），延長、交于，連結(jié)，設(shè)，則，于是有.解出，以下同解析1.15.1.33★已知面積為，、分別在邊上，且，、在邊上，，、在邊上，，若、交于，求.解析如圖，由于，，故，且.又作，交于，則為的高.設(shè)至距離為，則由s，知.又，故，于是.所以.15.1.34★已知的三邊長分別為、、，面積為；的三邊長分別為、、，面積為，且，，，則與的大小關(guān)系一定是（）A..不確定解析構(gòu)造與如下：（1）作s，顯然，即.（2）設(shè)，，，則，，，即有.（3）設(shè)，，，，則，，，即有.因此，與的大小關(guān)系不能確定.應(yīng)選（）.15.1.35★★用長為1、4、4、5的線段為邊作梯形，求這個梯形的面積.解析（1）當(dāng)梯形的上底為，下底為時，兩腰長均為，得等腰梯形（如圖（）所示）.作交于，交于，易知，且.由勾股定理可得.所以.（2）當(dāng)梯形的上底為，下底為時，兩腰分別為和，得直角梯形（如圖（）所示）.過作交于，易知，，從而.根據(jù)勾股定理的逆定理可知，.所以.（3）若用長為的線段作梯形的腰，則無法完成符合條件的梯形.15.1.36★★在直角三角形中，，，，分別以、、為邊長向外作等邊三角形、、，連結(jié)交于點(diǎn)，求的面積.解析由題設(shè)得，，，，、、三點(diǎn)共線.因?yàn)?，而，所?即，從而.于是.15.1.37★設(shè)點(diǎn)、、、分別在面積為的四邊形的邊、、、上，且（是正數(shù)），求四邊形的面積.解析如圖，連續(xù)、.易知.因此.同理.所以.同理可證.所以.15.1.38★如圖，在中，，且到、的距離之比為.若的面積為，的面積為，求的面積.解析由知，sS，所以.又由題設(shè)知，所以，，故，于是，.15.1.39★★★凸四邊形中，點(diǎn)在邊上與交于點(diǎn)，若，且，，，求證：點(diǎn)、分別為與的中點(diǎn).解析如圖，由于，延長、交于.設(shè)，則，故，.又作，在上，連結(jié)、，與交于，則，故，四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn).于是為的中位線，故為之中位線，故、分別為、的中點(diǎn).15.1.40★★已知，，在上，且，求證：.解析如圖，設(shè)，，，則由條件知，此即，于是，注意即至距離，即至距離，故有，代入上式，有，即.15.1.41★★點(diǎn)、分別是凸四邊形的邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上使四邊形為平行四邊形，證明：.解析如圖，.當(dāng)時，