七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題4.3 平面圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題（強(qiáng)化）（原卷版）

/專題4.3平面圖形中的動(dòng)點(diǎn)問題【例題精講】如圖，是線段上不同于點(diǎn)，的一點(diǎn)，，，兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)在線段上向左運(yùn)動(dòng)（無(wú)論誰(shuí)先到達(dá)點(diǎn)，均停止運(yùn)動(dòng)），點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為．（1）若，①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)了時(shí)，；②當(dāng)，兩點(diǎn)間的距離為時(shí)，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為；（2）當(dāng)點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，①求的長(zhǎng)度；②若在直線上存在一點(diǎn)，使，求的長(zhǎng)度．

已知，為內(nèi)部的一條射線（1）如圖1，若平分，平分，的度數(shù)為；（2）如圖2，在內(nèi)部，且，平分，平分（射線在射線左側(cè)），求的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，繞點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，若，求的度數(shù)．

【題組訓(xùn)練】1．如圖，已知線段，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若把“點(diǎn)在線段上”改為“點(diǎn)在直線上”，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．（請(qǐng)畫出圖形，說明理由）2．如圖①，已知點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，、兩點(diǎn)分別從、出發(fā)以、的速度沿直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示．（1）若，，當(dāng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)了，求的值．（2）若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，則：．（3）如圖②，若，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求的值．3．如圖，為內(nèi)一條射線，的余角是它自身的兩倍．（1）求的度數(shù)；（2）射線從開始，在內(nèi)以的速度繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)到停止，同時(shí)射線在內(nèi)從開始以的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)到停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①若，運(yùn)動(dòng)的任一時(shí)刻，均有，求的度數(shù)；②為內(nèi)任一射線，在①的條件下，當(dāng)時(shí)，以為邊所有角的度數(shù)和的最小值為．4．如圖，平面內(nèi)一定點(diǎn)在直線的上方，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，作射線、、，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終保持、，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)在射線的左側(cè)，若平分，求的度數(shù)．（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到使點(diǎn)在射線的左側(cè)，時(shí)，求的值．（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)，，直接寫出度．5．如圖1，是在數(shù)軸上一定點(diǎn)，表示的數(shù)是5，是數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)在的右側(cè)，，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．（1）如圖2，若與點(diǎn)重合，求的長(zhǎng)；（2）若在線段上運(yùn)動(dòng)，且，求的值；（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)時(shí)，寫出點(diǎn)所表示的數(shù)（直接寫出答案即可）．6．如圖，已知，分別為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是50．（1）請(qǐng)寫出線段中點(diǎn)表示的數(shù)是．（2）現(xiàn)有一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左移動(dòng)，同時(shí)另一只螞蟻恰好從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)，設(shè)兩只螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)相遇．①求、兩點(diǎn)間的距離；②求兩只螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)相遇時(shí)所用的時(shí)間；③求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少？（3）若螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只螞蟻恰好從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只螞蟻在數(shù)軸上的點(diǎn)相遇，求點(diǎn)表示的數(shù)是多少？7．已知數(shù)軸上有三點(diǎn)、、．（1）若，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是200，，求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）在（1）的條件下動(dòng)點(diǎn)、分別從、同時(shí)出發(fā)，其中向正方向運(yùn)動(dòng)，向反方向運(yùn)動(dòng)，的速度是的3倍多3個(gè)單位長(zhǎng)度，20秒后相遇，求的速度和相遇地點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；（3）若，，為中點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)是，求的長(zhǎng)以及點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)．8．如圖，數(shù)軸上有、、、、五個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是5，線段的長(zhǎng)度為3個(gè)單位，線段的長(zhǎng)度為1個(gè)單位，且、兩點(diǎn)之間的距離為12個(gè)單位，請(qǐng)解答下列問題：（1）點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是；（2）若點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)秒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，且的長(zhǎng)度是2個(gè)單位，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；（3）把線段的中點(diǎn)記作，如果線段以每秒2個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以每秒4個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，直接寫出點(diǎn)與線段的一個(gè)端點(diǎn)的距離為1.5個(gè)單位時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．9．如圖甲，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，、兩點(diǎn)分別從、同時(shí)出發(fā)，以、的速度在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在線段之間，點(diǎn)在線段之間．（1）設(shè)、兩點(diǎn)同時(shí)沿直線向左運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，，求的值；（2）在（1）的條件下，若、運(yùn)動(dòng)秒后都停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)恰有，求的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，將線段在線段上左右滑動(dòng)如圖乙（點(diǎn)在之間，點(diǎn)在之間），若、分別為、的中點(diǎn)，試說明線段的長(zhǎng)度總不發(fā)生變化．10．如圖，是線段上一點(diǎn)，且，、兩點(diǎn)分別從、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．（1）當(dāng)，點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)了時(shí)，求這時(shí)與的數(shù)量關(guān)系；（2）若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)了時(shí)，恰好點(diǎn)是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，求的長(zhǎng)．11．如圖，已知線段，，線段在線段上運(yùn)動(dòng)，、分別是、的中點(diǎn)．（1）若，；（2）當(dāng)線段在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如果不變，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度，如果變化，請(qǐng)說明理由．12．點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，使，將一直角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，．（1）如圖1，當(dāng)?shù)囊贿吪c射線重合時(shí)，則；（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)至圖2時(shí)，若，則；．（3）在上述從圖1運(yùn)動(dòng)到圖3的位置過程中，當(dāng)?shù)倪吽谥本€恰好平分時(shí)，求此時(shí)是多少度？13．已知數(shù)軸上有，兩點(diǎn)，分別代表，20，兩只電子螞蟻甲，乙分別從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，甲沿線段以3個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，甲到達(dá)點(diǎn)處時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，乙沿方向以5個(gè)單位長(zhǎng)度秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．（1），兩點(diǎn)間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度；甲到達(dá)點(diǎn)時(shí)共運(yùn)動(dòng)了秒．（2）甲，乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇？（3）多少秒時(shí)，甲、乙相距28個(gè)單位長(zhǎng)度？（4）若乙到達(dá)點(diǎn)后立刻掉頭并保持速度不變，則甲到達(dá)點(diǎn)前，甲，乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由．14．如圖，已知點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，射線和在直線的兩側(cè)，，，、分別平分、，射線以秒的速度繞點(diǎn)順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，射線以秒的速度繞點(diǎn)逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）運(yùn)動(dòng)開始前，的度數(shù)是多少？請(qǐng)寫出計(jì)算過程．（2）當(dāng)為多少時(shí)，？請(qǐng)寫出計(jì)算過程．（3）當(dāng)為多少時(shí)，射線和射線在同一條直線上？請(qǐng)寫出計(jì)算過程．15．如圖，已知數(shù)軸上有三點(diǎn)、、，它們對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為，，，且，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是20．（1）若，求、的值；（2）在（1）的條件下，動(dòng)點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、、的速度分別為8個(gè)單位長(zhǎng)度秒、4個(gè)單位長(zhǎng)度秒、2個(gè)單位長(zhǎng)度秒，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在、相遇前，多少秒時(shí)恰好滿足？（3）在（1）的條件下，為原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)、分別從、同時(shí)出發(fā)，向左運(yùn)動(dòng)，向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為8個(gè)單位長(zhǎng)度秒，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為4個(gè)單位長(zhǎng)度秒，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，在、運(yùn)動(dòng)的過程中，的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)說明理由．16．如圖：在數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)與點(diǎn)的距離為7個(gè)單位長(zhǎng)度，（1）點(diǎn)表示的數(shù)是；（2）當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度向右運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度也向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離為3個(gè)單位長(zhǎng)度？（3）在（2）問的條件下，動(dòng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即以原來的速度返回到點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．當(dāng)時(shí)，求的值．17．如圖1，已知線段，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上，、兩點(diǎn)分別從、出發(fā)以、的速度沿直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示，其中、滿足條件：．（1）直接寫出：，；（2）若，當(dāng)點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)了，求的值；（3）如圖2，若，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求與的數(shù)量關(guān)系．18．如圖1，點(diǎn)、、依次在直線上，現(xiàn)將射線繞點(diǎn)沿順時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線繞點(diǎn)沿逆時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，直線保持不動(dòng)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為，單位秒）（1）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)?shù)诙芜_(dá)到時(shí)，求的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過程中是否存在這樣的，使得射線與射線垂直？如果存在，請(qǐng)求出的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．19．如圖，直線、相交于點(diǎn)，，．（1）若，則．（2）從（1）的時(shí)刻開始，若將繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，求運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，直線平分．（3）從（1）的時(shí)刻開始，若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如果射線是的角平分線，請(qǐng)直接寫出此過程中與的數(shù)量關(guān)系．（不考慮與、重合的情況）20．已知，過頂點(diǎn)作射線，若，則稱射線為的“好線”，因此的“好線”有兩條，如圖1，射線，都是的“好線”．（1）已知射線是的“好線”，且，求的度數(shù)．（2）如圖2，是直線上的一點(diǎn)，，分別是和的平分線，已知，請(qǐng)通過計(jì)算說明射線是的一條“好線”．（3）如圖3，已知，．射線和分別從和同時(shí)出發(fā)，繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，的速度為每秒，的速度為每秒，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)到上時(shí)，兩條射線同時(shí)停止．在旋轉(zhuǎn)過程中，射線能否成為的“好線”．若不能，請(qǐng)說明理由；若能，請(qǐng)求出符合條件的所有的旋轉(zhuǎn)時(shí)間．21．（1）如圖，，，在外部，平分，平分，則度．（2）若，其他條件不變，則度．（3）若為銳角），其他條件不變，則度．（4）若且為銳角），且點(diǎn)在的上方，求的度數(shù)．（請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出示意圖并解答）22．將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上，射線平分．（1）如圖，若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)；（3）將直角三角板繞頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中：當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．23．已知，，，，是內(nèi)的射線．（1）如圖1，若平分，平分，，則；（2）如圖2，若平分，平分，求的度數(shù)；（3）如圖3，是內(nèi)的射線，若，平分，平分，當(dāng)射線在內(nèi)時(shí)，求的度數(shù)．24．如圖所示，，，是以直線上一點(diǎn)為端點(diǎn)的三條射線，且，，，以為端點(diǎn)作射線，分別與射線，重合．射線從處開始繞點(diǎn)逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為1度秒，射線從處開始繞點(diǎn)順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，（射線旋轉(zhuǎn)至與射線重合時(shí)停止，射線旋轉(zhuǎn)至與射線重合時(shí)停止），兩條射線同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)速度旋轉(zhuǎn)角度旋轉(zhuǎn)時(shí)間）．（1）直接寫出射線停止運(yùn)動(dòng)時(shí)的時(shí)間為秒．（2）當(dāng)射線平分時(shí)，直接寫山它的旋轉(zhuǎn)時(shí)間是秒．（3）若射線的轉(zhuǎn)速為3度秒，當(dāng)時(shí)，直接寫出射線的旋轉(zhuǎn)時(shí)間是秒．（4）若時(shí)，射線旋轉(zhuǎn)到的位置恰好將分成度數(shù)比為的兩個(gè)角，直接寫出射線的旋轉(zhuǎn)速度是度秒．25．如圖，已知線段，，線段在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），若．（1）求線段，的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，，求線段的長(zhǎng)；（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到某一時(shí)刻時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)是線段的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：①是定值，②是定值，請(qǐng)選擇你認(rèn)為正確的一個(gè)并加以說明．26．已知，，是的角平分線．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求；（2）如圖2，若在內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且是的角平分線時(shí)，求的值；（3）在（1）的條件下，若射線從出發(fā)繞點(diǎn)以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線從出發(fā)繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若射線、同時(shí)開始旋轉(zhuǎn)秒后得到，求的值．27．如圖，直線上有，兩點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，．（1），；（2）若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），且滿足，求的長(zhǎng)；（3）若動(dòng)點(diǎn)，分別從，同時(shí)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的速度為，點(diǎn)的速度為．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．求當(dāng)為何值時(shí)，．28．如圖，已知點(diǎn)、、是數(shù)軸上三點(diǎn)，為原點(diǎn)．點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為6，，．（1）求點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的數(shù)；（2）動(dòng)點(diǎn)、分別同時(shí)從、出發(fā)，分別以每秒6個(gè)單位和3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)．為的中點(diǎn)，在線段上，且，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．①求點(diǎn)、對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含的式子表示）；②為何值時(shí)，．29．如圖，已知數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為6，是數(shù)軸上的一點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著數(shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（1）數(shù)軸上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是（用的式子表示）；（2）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著數(shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，試問：運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間點(diǎn)可以追上點(diǎn)？（3）是的中點(diǎn)，是