用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征

主講人：謝靈華雅禮·瀏陽二中用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 1對一個未知總體，我們常用樣本的頻率分布估計總體的分布，其中表示樣本數(shù)據(jù)的頻率分布的基本方法有哪些？問題提出 1對一個未知總體，我們常用樣本的頻率分布估計總體的分布，其中表示樣本數(shù)據(jù)的頻率分布的基本方法有哪些？ 在2006——2007年度賽季中，甲、乙兩名籃球運(yùn)動員在隨機(jī)抽取的12場比賽中的得分情況如下：甲運(yùn)動員得分：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49乙運(yùn)動員得分：8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29問題提出 如果要求我們根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，估計、比較甲，乙兩名運(yùn)動員哪一位發(fā)揮得比較穩(wěn)定，就得有相應(yīng)的數(shù)據(jù)作為比較依據(jù)，即通過樣本數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究，用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征。甲運(yùn)動員得分：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49乙運(yùn)動員得分：8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29知識探究（一）：眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)知識探究（一）：眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù) 思考1：在初中我們學(xué)過眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念，這些數(shù)據(jù)都是反映樣本信息的數(shù)字特征，對一組樣本數(shù)據(jù)如何求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？知識探究（一）：眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù) 思考1：在初中我們學(xué)過眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念，這些數(shù)據(jù)都是反映樣本信息的數(shù)字特征，對一組樣本數(shù)據(jù)如何求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？ 思考2：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在哪個小矩形內(nèi)？由此估計總體的眾數(shù)是什么？月均用水量/t頻率組距050403020105115225335445O月均用水量/t頻率組距050403020105115225335445O月均用水量/t頻率組距050403020105115225335445O取最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)225作為眾數(shù)月均用水量/t頻率組距050403020105115225335445O 思考3：在頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積表示什么？中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖的面積應(yīng)有什么關(guān)系？取最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)225作為眾數(shù) 思考4：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，從左至右各個小矩形的面積分別是004，008，015，022，025，014，006，004，002由此估計總體的中位數(shù)是什么月均用水量/t頻率組距050403020105115225335445O 思考4：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，從左至右各個小矩形的面積分別是004，008，015，022，025，014，006，004，002由此估計總體的中位數(shù)是什么月均用水量/t頻率組距050403020105115225335445O 思考4：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，從左至右各個小矩形的面積分別是004，008，015，022，025，014，006，004，002由此估計總體的中位數(shù)是什么月均用水量/t頻率組距050403020105115225335445O05－004－008－015－022=001，001÷05=002，中位數(shù)是2002=202。 思考5：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，各個小矩形的重心在哪里？從直方圖估計總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)的平均數(shù)分別為多少月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O 思考5：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，各個小矩形的重心在哪里？從直方圖估計總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)的平均數(shù)分別為多少025，075，125，175，225，275，325，375，425月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O 思考6：根據(jù)統(tǒng)計學(xué)中數(shù)學(xué)期望原理，將頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的估值平均數(shù)由此估計總體的平均數(shù)是什么？ 思考6：根據(jù)統(tǒng)計學(xué)中數(shù)學(xué)期望原理，將頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的估值平均數(shù)由此估計總體的平均數(shù)是什么？025×004075×008125×015175×022225×025275×014325×006375×004425×002=202（t）平均數(shù)是202 思考6：根據(jù)統(tǒng)計學(xué)中數(shù)學(xué)期望原理，將頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的估值平均數(shù)由此估計總體的平均數(shù)是什么？025×004075×008125×015175×022225×025275×014325×006375×004425×002=202（t）平均數(shù)是202平均數(shù)與中位數(shù)相等，是必然還是巧合？ 思考7：從居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)可知，該樣本的眾數(shù)是23，中位數(shù)是20，平均數(shù)是1973，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差，你能解釋一下原因嗎？ 思考7：從居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)可知，該樣本的眾數(shù)是23，中位數(shù)是20，平均數(shù)是1973，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差，你能解釋一下原因嗎？ 頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個估計值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組有關(guān)。 思考7：從居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)可知，該樣本的眾數(shù)是23，中位數(shù)是20，平均數(shù)是1973，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差，你能解釋一下原因嗎？ 頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個估計值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組有關(guān)。 注：在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我們可以按上述方法估計眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并由此估計總體特征。 思考8：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一般不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優(yōu)點(diǎn)，但它對極端值的不敏感有時也會額成為缺點(diǎn)，你能舉例說明嗎？樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)說明什么問題？你怎樣理解“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話的含義？ 如：樣本數(shù)據(jù)收集有個別差錯不影響中位數(shù)；大學(xué)畢業(yè)生憑工資中位數(shù)找單位可能收入較低。 平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)，說明樣本數(shù)據(jù)中存在許多較大（或較?。┑臉O端值。 這句話具有模糊性甚至蒙騙性，其中收入水平是員工工資的某個中心點(diǎn)，它可以是眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)。知識探究（二）：標(biāo)準(zhǔn)差 樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，因此，我們需要一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度。 思考1：在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運(yùn)動員各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：78795491074乙：9578768677 甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？ 思考1：在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運(yùn)動員各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：78795491074乙：9578768677 甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？ 思考2：甲、乙兩人射擊的平均成績相等，觀察兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎？環(huán)數(shù)頻率0403020145678910O（甲）環(huán)數(shù)頻率0403020145678910O（乙） 思考2：甲、乙兩人射擊的平均成績相等，觀察兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎？環(huán)數(shù)頻率04030201O（甲）環(huán)數(shù)頻率04030201O（乙） 甲的成績比較分散，極差較大，乙的成績相對集中，比較穩(wěn)定。4567891045678910 思考3：對于樣本數(shù)據(jù)1，2，…，n，設(shè)想通過各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離來反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度，那么這個平均距離如何計算？ 思考3：對于樣本數(shù)據(jù)1，2，…，n，設(shè)想通過各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離來反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度，那么這個平均距離如何計算？ 思考4：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用s表示。假設(shè)樣本數(shù)據(jù)1，2，…，n的平均數(shù)為，則標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式是： 思考4：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用s表示。假設(shè)樣本數(shù)據(jù)1，2，…，n的平均數(shù)為，則標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式是： 那么標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)有何特點(diǎn)？ 思考4：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用s表示。假設(shè)樣本數(shù)據(jù)1，2，…，n的平均數(shù)為，則標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式是： 那么標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)有何特點(diǎn)？ s≥0，標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)都相等。 思考4：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用s表示。假設(shè)樣本數(shù)據(jù)1，2，…，n的平均數(shù)為，則標(biāo)準(zhǔn)差的計算公式是： 思考5：對于一個容量為2的樣本：1，21<2，則在數(shù)軸上，這兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)有什么幾何意義？由此說明標(biāo)準(zhǔn)差的大小對數(shù)據(jù)的離散程度有何影響？ 思考5：對于一個容量為2的樣本：1， 標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍。21<2，則在數(shù)軸上，這兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)有什么幾何意義？由此說明標(biāo)準(zhǔn)差的大小對數(shù)據(jù)的離散程度有何影響？ 計算甲、乙兩名運(yùn)動員的射擊成績的標(biāo)準(zhǔn)差，比較其射擊水平的穩(wěn)定性。 甲：78795491074 乙：9578768677知識遷移s甲=2，s乙=1095。 計算甲、乙兩名運(yùn)動員的射擊成績的標(biāo)準(zhǔn)差，比較其射擊水平的穩(wěn)定性。 甲：78795491074 乙：9578768677知識遷移用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征2 1如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分別估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？知識回顧 1如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分別估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？ 1眾數(shù)：最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。知識回顧 1如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分別估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？ 1眾數(shù)：最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 2中位數(shù)：直方圖面積平分線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。知識回顧 1如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分別估計總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？ 1眾數(shù)：最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 2中位數(shù)：直方圖面積平分線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。 3平均數(shù)：每個小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和。知識回顧 1，2，…，n，其標(biāo)準(zhǔn)差如何計算？ 1，2，…，n，其標(biāo)準(zhǔn)差如何計算？知識補(bǔ)充 2稱為方差，有時用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測量樣本數(shù)據(jù)的離散度方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測量效果是一致的，在實(shí)際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差。知識補(bǔ)充 2稱為方差，有時用方差代替標(biāo)準(zhǔn)差測量樣本數(shù)據(jù)的離散度方差與標(biāo)準(zhǔn)差的測量效果是一致的，在實(shí)際應(yīng)用中一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差。 2現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個體數(shù)往往很多，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是未知的，我們通常用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，但要求樣本有較好的代表性。知識補(bǔ)充 3對于城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)=1973，標(biāo)準(zhǔn)差s=0868。在這100個數(shù)據(jù)中， 落在區(qū)間－s，s=[1105，外的有28個； 落在區(qū)間－2s，2s=[0237，外的只有4個； 落在區(qū)間－3s，3s=[-0631，外的有0個。 一般地，對于一個正態(tài)總體，數(shù)據(jù)落在區(qū)間－s，s、－2s，2s、－3s，3s內(nèi)的百分比分別為683%、954%、997%，這個原理在產(chǎn)品質(zhì)量控制中有著廣泛的應(yīng)用參考教材P79“閱讀與思考”。 例1畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點(diǎn)。 15，5，5，5，5，5，5，5，5； 24，4，4，5，5，5，6，6，6；例題分析 例1畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點(diǎn)。 15，5，5，5，5，5，5，5，5； 24，4，4，5，5，5，6，6，6；O頻率100806040212345678（1）例題分析 例1畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點(diǎn)。 15，5，5，5，5，5，5，5，5； 24，4，4，5，5，5，6，6，6；O頻率100806040212345678（1）例題分析 例1畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點(diǎn)。 15，5，5，5，5，5，5，5，5； 24，4，4，5，5，5，6，6，6；O頻率100806040212345678（1）例題分析 例1畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點(diǎn)。 15，5，5，5，5，5，5，5，5； 24，4，4，5，5，5，6，6，6；O頻率100806040212345678（1）O頻率100806040212345678（2）例題分析 例1畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點(diǎn)。 15，5，5，5，5，5，5，5，5； 24，4，4，5，5，5，6，6，6；O頻率100806040212345678（1）O頻率100806040212345678（2）例題分析 例1畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點(diǎn)。 15，5，5，5，5，5，5，5，5； 24，4，4，5，5，5，6，6，6；O頻率100806040212345678（1）O頻率100806040212345678（2）例題分析 例1畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點(diǎn)。 15，5，5，5，5，5，5，5，5； 24，4，4，5，5，5，6，6，6；O頻率100806040212345678（1）O頻率100806040212345678（2）例題分析 例1畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點(diǎn)。 15，5，5，5，5，5，5，5，5； 24，4，4，5，5，5，6，6，6；O頻率100806040212345678（1）O頻率100806040212345678（2）例題分析 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。頻率100806040212345678O（3） 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。頻率100806040212345678O（3） 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。頻率100806040212345678O（3） 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。頻率100806040212345678O（3） 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。頻率100806040212345678O（3） 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。頻率100806040212345678O（3） 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。頻率100806040212345678O（3） 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。頻率100806040212345678O（3）頻率100806040212345678O（4） 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。頻率100806040212345678O（3）頻率100806040212345678O（4） 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。頻率100806040212345678O（3）頻率100806040212345678O（4） 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。頻率100806040212345678O（3）頻率100806040212345678O（4） 33，3，4，4，5，6，6，7，7； 42，2，2，2，5，8，8，8，8。頻率100806040212345678O（3）頻率100806040212345678O（4） 例2甲、的一種零件，為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比，從他們生產(chǎn)的零件中各隨機(jī)抽取20件，量得其內(nèi)徑尺寸如下單位：mm：甲：25462532254525392536253425422545253825422539254325392540254425402542253525412539乙：25402543254425482548254725492549263625342533254325432532254725312532253225322548 從生產(chǎn)零件內(nèi)徑的尺寸看，誰生產(chǎn)的零件質(zhì)量較高？ 甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)，且穩(wěn)定程度較高，故甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量較高。 甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)，且穩(wěn)定程度較高，故甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量較高。 說明：1生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個角度來衡量，但甲、乙兩個總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的，我們就用樣本的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差估計總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差。 是內(nèi)徑的標(biāo)準(zhǔn)值，而不是總體的平均數(shù)。 例3以往招生統(tǒng)計顯示，某所大學(xué)錄取的新生高考總分的中位數(shù)基本穩(wěn)定在550分，若某同學(xué)今年高考得了520分，他想報考這所大學(xué)還需收集哪些信息？ 例3以往招生統(tǒng)計顯示，某所大學(xué)錄取的新生高考總分的中位數(shù)基本穩(wěn)定在550分，若某同學(xué)今年高考得了520分，他想報考這所大學(xué)還需收集哪些信息？ 要點(diǎn)：1查往年錄取的新生的平均分?jǐn)?shù)。若平均數(shù)小于中位數(shù)很多，說明