哈密頓原理及其應(yīng)用

哈密頓原理及其應(yīng)用

一、有限自由度點系的運動學(xué)分析哈密頓原理在分析力學(xué)中發(fā)揮著非常重要的作用。它借助于變分運算對質(zhì)點系及體系內(nèi)質(zhì)點運動情況給予精確描述。這一原理具有高度概括性。它的優(yōu)點在于用該原理對質(zhì)點系的力進行分析時,與所選的廣義坐標是什么參數(shù)無關(guān)。不僅適用于有限自由度的點系,也可用于無限自由度的點系。它在相對論中,場論中被廣泛采用。二、定積分s的運用設(shè)有一個完整約束的點系,在t1與t2時刻,占有位形空間兩個固定位置A(q(1)j)及B(q(2)j),則點系在A、B間的運動總是按著使定積分。S=∫t2t1L(qj,q,j,t)dt具有極值的方向進行。(其中q,j是qj對t的導(dǎo)數(shù))。L(qjq,j,t)是拉格朗日函數(shù)。定積分S叫作用量,它具有能量——時間的量綱。在兩端固定q(1)j,q(2)j等時變分時,δt=0;點系的真實運動總是按照作用量S變分為O,即:δS=δ∫t2t1L(qj,q,j,t)dt=0(1)三、哈密頓方程積分的條件1.正則參量,在點系中,設(shè)pj是廣義坐標qj的共軛廣義動量,pj與q,j及qj有線性關(guān)系pj=?L?qj,則pj,qj叫正則參量。它們能直接表達點系動力學(xué)的某些特征。2.哈密頓函數(shù)對點系力學(xué)函數(shù)L=L(qj,q,j,t)微分,得:dL=Σj(?L?qjdqj+?L?q?jdq?j)+?L?tdt=Σj(p?jdqj+pjdq?j)+?L?tdt=Σj[p?jdqj+d(pjq?j)-q?jdpj]+?L?tdt整理后得:d[Σjpjq?j-L]=Σj(-p?jdqj+q?jdpj)-?L?tdt(2)我們定義上式左端的式子為以(qj,pj,t)為參量的函數(shù)Η=Η(qj,pj,t)=Σjpjq?j-L(qj,pj,t)(3)為哈密頓函數(shù)。3.哈密頓正則方程對(3)式取微分,dΗ=Σj(?Η?qjdqj+?Η?pjdpj)+?Η?tdt由于此式與(2)式恒等,故對應(yīng)的量必相等。即得:q?j=?Η?pj,p?j=-?Η?qj(j=1?2???S)(4)則-?L?t=?Η?t。我們稱(4)式為點系的哈密頓正則方程。4.相關(guān)結(jié)論(1)哈密頓正則方程中,L—函數(shù)的一個循環(huán)坐標也是H—函數(shù)的一個循環(huán)坐標,因此,循環(huán)坐標相對應(yīng)的廣義動量守恒。(2)能量守恒。設(shè)點系的勢能與速度無關(guān)時,H函數(shù)表示點系的機械能守恒。即Η=Η(qj,pj)=Σpjq?j-L=Σ?L?q?jq?j-L=2F(Τ-V)=Τ+V=E(3)哈密頓方程積分應(yīng)具備的條件設(shè)f(qj,pj,t)是以正則參量qj,pj表示的點系的任意函數(shù),則:fˋ=dfdt=Σj(?f?qjq?j+?f?pjp?j)+?f?t=Σj(?f?qj?Η?pj-?f?pj?Η?qj)+?f?t(5)若f(qj,pj,t)是哈密頓方程的積分,則對于所給關(guān)系的任何運動,f保持不變,即f(qj,pj,t)=c(c為常數(shù)),故函數(shù)f(qj,pj,t)成為哈密頓方程的積分應(yīng)具備的條件是:?f?t=[f,Η]+dfdt=0(7),其中[f,Η]=Σj(?f?qj?Η?pj-?f?pj?Η?qj)(5)正則變換對于哈密頓正則方程,它的獨立變量不僅是坐標,還有動量,故將qj,pj用新變量Qj,Pj代替時有:Qj=Qj(qj,pj,t),Pj=Pj(qj,pj,t)從而使哈密頓函數(shù)H(qj,pj,t)的正則方程組q?j=?Η?pj;p?j=-?Η?qj,變成哈密頓函數(shù)ˉΗ(Qj,Ρj,t)的正則方程組:Qj?=?Ηˉ?pj?Ρj?=?Ηˉ?Qj。我們將滿足正則方程形式不變的變換式叫正則變換。四、哈密頓—哈密頓——雅可比方程及解法1、母函數(shù);在哈密頓原理中,我們令S=∫t1t2L(qj,q,j,t)dt,將它看成積分上限坐標及時間t的函數(shù),則有dsdt=?S?t+Σj?S?qjqj?=?S?t+Σjpjqj?=L(9)。按公式Η(qj,pj,t)=Σjpjqj?-L得到?S?t=-Η(10)于是ds=Σjpjdqj-Ηdt(11),這是把S作為積分上限的坐標和時間的函數(shù)S=S(qj,t)的全微分形式。我們稱S為正則變換母函數(shù)。2、哈密頓——雅可比方程根據(jù)公式(10),母函數(shù)S=S(qj,pj,t)必須滿足?S?t+Η(qj,pj,t)=0,從而得到:?S?t+Η(q1,q2,?,?S?q1,?S?q2,?j,t)=0(12)此方程稱為哈密頓——雅可比方程。簡稱H—J方程。3、用H—J方程解決力學(xué)問題的步驟:①先寫出力學(xué)系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)H(qj,pj,t),②將H中的pj換成?S?qj,寫出H—J方程,Η(qj,?s?qj,t)+?S?t=0?③求解微分方程。4、保守系統(tǒng)的H—J方程對于保守系統(tǒng),H不顯含時間t的情況下,H—J方程化為Η(qj,?s?qj)=E,S=S(qj,pj,t)=W(qj,pj)-Et,Ρj=?S?qj=?w?qj,w(qj)稱為哈密頓特性函數(shù)。在這種情況下,H—J方程解決力學(xué)問題步驟如下:①寫出力學(xué)系統(tǒng)的哈密頓特性函數(shù)。H(qjpj)=E,②將H中的pj換成?w?qj,寫出Η[qj,?w?qj]=E=-?S?t,由此得偏微分方程的完全積分W=W(qjpj-1,E)+C,故直接得正則方程積分:-?W?qj-1=Ρi-1,?W?qj=pj,?W?E=t-t。五、哈密頓方程的積分本文通過哈密頓原理,討論了哈密頓正則方程及結(jié)論,給出了哈密頓函