新湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)第二章三角形復(fù)習(xí)

新湘教版八年級(jí)數(shù)學(xué)第二章三角形復(fù)習(xí)第一頁(yè)，共47頁(yè)。基本概念1、敘述什么是命題？什么是真命題？什么是假命題？2、命題的題設(shè)和結(jié)論？改寫(xiě)命題3、命題的逆命題4、定理的逆定理第一頁(yè)第二頁(yè)，共47頁(yè)。1、可以判斷出它是正確的還是錯(cuò)誤的句子叫做命題，正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題。2、在數(shù)學(xué)中，許多命題是由題設(shè)（或已知條件）、結(jié)論兩部分組成的。題設(shè)是已知事項(xiàng)；結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)3、要判斷一個(gè)命題是真命題，可以用邏輯推理的方法加以論證；而要判斷一個(gè)命題是假命題，只要舉出一個(gè)例子，說(shuō)明該命題不成立，即只要舉出一個(gè)符合該命題題設(shè)而不符合該命題結(jié)論的例子就可以了，在數(shù)學(xué)中，這種方法稱為“舉反例”第二頁(yè)第三頁(yè)，共47頁(yè)。4、數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的，并把它們作為判斷其他命題真假的原始依據(jù)，這樣的真命題叫做公理

,不用證明，也無(wú)法用推理進(jìn)行證明5、數(shù)學(xué)中有些命題可以從公理出發(fā)用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且可以進(jìn)一步作為推斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理

第三頁(yè)第四頁(yè)，共47頁(yè)。6、邊角邊公理：如果兩個(gè)三角形有兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或簡(jiǎn)記為（S.A.S.）7、角邊角公理：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)記為“角邊角”或簡(jiǎn)記為(A.S.A.)。

8、角角邊定理：如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)成：“角角邊”或簡(jiǎn)記為(A.A.S.)。9、邊邊邊公理：如果兩個(gè)三角形的三條邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等．簡(jiǎn)寫(xiě)為“邊邊邊”，或簡(jiǎn)記為（S.S.S.）。第四頁(yè)第五頁(yè)，共47頁(yè)。注意：邊邊角不能判定三角形全等，如：第五頁(yè)第六頁(yè)，共47頁(yè)。邊—邊—角(S.S.A.)——三角形不一定全等邊1邊1邊2邊2角角另一種情況是角不夾在兩邊的中間，形成兩邊一對(duì)角（簡(jiǎn)稱S.S.A.）——不一定全等第六頁(yè)第七頁(yè)，共47頁(yè)。一般來(lái)說(shuō)，在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一命題就叫做它的逆命題．每一個(gè)命題都有逆命題，只要將原命題的題設(shè)改成結(jié)論，并將結(jié)論改成題設(shè)，便可得到原命題的逆命題．但是原命題正確，它的逆命題未必正確．例如真命題“對(duì)頂角相等”的逆命題為“相等的角是對(duì)頂角”，此命題就是假命題．如果一個(gè)定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理

原命題：題設(shè)+結(jié)論互逆命題逆命題：題設(shè)+結(jié)論第七頁(yè)第八頁(yè)，共47頁(yè)。逆定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．（簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊”）性質(zhì)定理：等腰三角形的底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）等腰三角形第八頁(yè)第九頁(yè)，共47頁(yè)。角平分線定理及逆定理

角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

角平分線性質(zhì)定理的逆定理：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上線段的垂直平分線定理及逆定理性質(zhì)定理：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

逆定理：到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．第九頁(yè)第十頁(yè)，共47頁(yè)。注意：判斷就是命題.命題可能正確,也可能錯(cuò)誤.命題一般用陳述句敘述，疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句等不是命題。所有命題都有逆命題，原命題正確，它的逆命題不一定正確；所有定理都是真命題，它的逆命題不一定是真命題。所有定理不一定都有逆定理，只有定理的逆命題是真命題才有逆定理。第十頁(yè)第十一頁(yè)，共47頁(yè)。命題構(gòu)成：1)在數(shù)學(xué)中，許多命題都是由（）（或條件）

和（）兩部分組成.

（）是已知事項(xiàng)，（）是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．2)命題常寫(xiě)成“如果······那么······”的形式.其中，用“如果”開(kāi)始的部分是題設(shè)，用“那么”開(kāi)始的部分是結(jié)論．題設(shè)結(jié)論題設(shè)結(jié)論第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共47頁(yè)。例1把命題“在一個(gè)三角形中，等角對(duì)等邊”改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，并分別指出命題的題設(shè)與結(jié)論．例題

解這個(gè)命題可以寫(xiě)成：“如果在一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等.”這里的題設(shè)是“在一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等”，結(jié)論是“這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等”.第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共47頁(yè)。請(qǐng)你試試看——命題的改寫(xiě)把下列命題改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式1、正方形的兩條對(duì)角線相等如果一個(gè)四邊形是正方形，那么這個(gè)正方形的兩條對(duì)角線相等2、四個(gè)角相等的菱形是正方形

如果菱形的四個(gè)角相等，那么這個(gè)菱形是正方形3、全等的兩個(gè)三角形，三條對(duì)應(yīng)邊相等如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊相等第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共47頁(yè)。請(qǐng)你試試看——命題與逆命題，定理與逆定理寫(xiě)出下列命題的逆命題并判定真假1、正方形的兩條對(duì)角線相等兩條對(duì)角線相等的四邊形是正方形（）2、兩直線平行，同位角相等

同位角相等，兩直線平行（）3、全等的兩個(gè)三角形，三條對(duì)應(yīng)邊相等三條對(duì)應(yīng)邊相等的兩個(gè)三角形全等（）假命題真命題真命題第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共47頁(yè)。練習(xí)1：指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并說(shuō)出它們的逆命題。1、如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么它的兩個(gè)銳角互余.一個(gè)三角形是直角三角形.結(jié)論：逆命題：題設(shè)：它的兩個(gè)銳角互余.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)銳角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形.第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共47頁(yè)。2、等邊三角形的每個(gè)角都等于60°題設(shè)：一個(gè)三角形是等邊三角形.結(jié)論：它的每個(gè)角都等于60°逆命題：如果一個(gè)三角形的每個(gè)角都等于60°，那么這個(gè)三角形是等邊三角形.3、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.題設(shè)：兩個(gè)三角形是全等三角形.結(jié)論：它們的對(duì)應(yīng)角相等.逆命題：如果兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形全等.第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共47頁(yè)。4、到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上.題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)角的兩邊距離相等.結(jié)論：它在這個(gè)角的平分線上.逆命題：角平分線上一點(diǎn)到角兩邊的距離相等.5、線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上.結(jié)論：它到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.逆命題：到一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共47頁(yè)。6、直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

題設(shè)：直角三角形中，一個(gè)銳角等于30°結(jié)論：30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半逆命題：直角三角形中，如果一個(gè)銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，那么這個(gè)角等于30°第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共47頁(yè)。7、直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方題設(shè)：直角三角形中結(jié)論：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方逆命題：三角形兩邊的平方和等于另一邊的平方，這個(gè)三角形是直角三角形第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共47頁(yè)。知識(shí)回顧對(duì)應(yīng)邊相等①AB=DE②BC=EF③CA=FD對(duì)應(yīng)角④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠FABCDEF1、什么叫全等三角形？能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫

全等三角形。2、全等三角形有什么性質(zhì)？第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共47頁(yè)。想一想：兩個(gè)三角形全等，通常需要3個(gè)條件，其中至少要有1組

對(duì)應(yīng)相等。分為：3、三角形全等的判定條件邊①兩邊一角②兩角一邊③三條邊②三個(gè)角兩個(gè)三角形全等的條件是：應(yīng)該具備三組對(duì)應(yīng)的元素（邊或角）；如果只有一組或者兩組對(duì)應(yīng)的元素（邊或角），這兩個(gè)三角形不一定全等第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共47頁(yè)。知識(shí)點(diǎn)三角形全等的證題思路：第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共47頁(yè)。問(wèn)題：如果要證明兩個(gè)三角形全等，題中只給出兩個(gè)條件，現(xiàn)在又不允許添加條件，你有辦法證明兩個(gè)三角形全等嗎？例：如圖AB=AC，AD=AE,你能指出圖中哪些三角形全等？ABEDC缺什么條件，題中能找到嗎？公共角——∠AABCD例：如圖AB=AC，BD=CD,你能指出圖中哪些三角形全等？公共邊——AD第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共47頁(yè)。例:已知，如圖，ＢＣ＝ＢＤ，∠Ｃ＝∠Ｄ，求證：ＡＣ＝ＡＤ．有一同學(xué)證法如下：

證：連結(jié)AB在⊿ABC和⊿ABD中

BC=BD∠C=∠D

AB=AB∴⊿ABC≌⊿ABD(S.A.S.)∴AC=AD你認(rèn)為這位同學(xué)的證法對(duì)嗎？如果錯(cuò)誤，錯(cuò)在哪里，應(yīng)怎樣證明？

答：證法錯(cuò)誤。S.A.S.定理應(yīng)用錯(cuò)誤。第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共47頁(yè)?；咀鲌D在幾何里,把限定用直尺和圓規(guī)來(lái)畫(huà)圖,稱為尺規(guī)作圖.最基本,最常用的尺規(guī)作圖,通常稱基本作圖.其中,直尺是沒(méi)有刻度的;一些復(fù)雜的尺規(guī)作圖都是由基本作圖組成的.以前學(xué)過(guò)的”作一條線段等于已知線段”,就是一種基本作圖.下面介紹幾種基本作圖:第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共47頁(yè)。已知三角形的三邊求作三角形設(shè)置疑問(wèn)已知:線段a,b,ca

bc求作:△ABC,使BC＝a,AC＝b,AB＝c作法示范作法(1)做線段BC＝a,

BMAC(2)以C為圓心,b為半徑畫(huà)弧

(3)以B為圓心,C為半徑畫(huà)弧兩弧相交于點(diǎn)A(4)連接AB,AC則△ABC為所求作的三角形示范第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共47頁(yè)。已知底邊及底邊上的高，求作等腰三角形。已知：線段a，h求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=hahBCA第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共47頁(yè)。4、連接AB，ACBCAah作法：1、作線段BC=a2、作BC的垂直平分線MN，垂足為D3、在垂直平分線MN上取一點(diǎn)A，使AD=hD△ABC即為所求作的等腰三角形。MN第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共47頁(yè)。做一做1．已知三角形的兩邊及其夾角，求作這個(gè)三角形．已知：線段a,c,.求作：△ABC，使BC=a

AB=c,∠ABC=.ac第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共47頁(yè)。作法示范（1）作一條線段BC=a；（2）以B為頂點(diǎn)，以BC為一邊，作．BCBCBCBC（3）在射線BD上截取線段BA=c；（4）連接AC．△ABC就是所求作的三角形．ADDA第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共47頁(yè)。做一做2．已知三角形的兩角及其夾邊，求作這個(gè)三角形．已知：，，線段c．c求作：△ABC，使∠A=，∠B=，AB=c.第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共47頁(yè)。請(qǐng)按照給出的作法作出相應(yīng)的圖形．作法示范

（1）作．AF（2）在射線AF上截取線段AB=c；CDBADFABDF（3）以B為頂點(diǎn)，以BA為一邊，作，BE交AD于點(diǎn)C．則△ABC就是所求作的三角形．E第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共47頁(yè)。（1）如圖，∠ACB=90°，AC=CB，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的長(zhǎng)。練習(xí)：解：∵∠BCE=∠ACB-∠ACD=90°-∠ACD∠DAC∠ADC-∠ACD=90°-∠ACD∴∠BCE=∠DAC

又∵AC=CB,∠ADC=∠CEB∴△CEB≌ADC(A.A.S.)∴AD=CE=2.5cm∴

BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共47頁(yè)。（2）如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AO是角平分線,點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上,DE過(guò)點(diǎn)O且DE⊥AB,垂足為E.(1)請(qǐng)你找出圖中一對(duì)相等的線段,并說(shuō)明它們相等的理由;解：∵∠ACB=90°∴BC⊥AC∵AO平分∠BAC

又DE⊥ABBC⊥AC∴OE=OC（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

（2）圖中共有多少對(duì)相等線段，一一把它們找出來(lái)，并說(shuō)明理由ACDOBE第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共47頁(yè)。練習(xí)：3、如圖，∠B=∠C=90度，M是BC的中點(diǎn)，DM平分∠ADC，求證：AM平分∠DABADCBME證明：過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD,∵∠C=90度

∴

ME=MC（角平分線性質(zhì)定理）又∵∠B=90度

MC=MB（M是BC的中點(diǎn)）∴ME=MB（等量代換）∴AM平分∠DAB（角平分線性質(zhì)定理的逆定理）第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共47頁(yè)。求作：以m為邊長(zhǎng)的等邊三角形。試根據(jù)下面的作圖語(yǔ)言完成作圖：

（1）作線段AB=m,

（2）分別以A、B為圓心，m長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在射線AB同側(cè)相交于C;

則△

ABC就是所要求作的等邊三角形。4、已知：線段m.

（3）連接AC、BC；m練習(xí)：第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共47頁(yè)。1805年，拿破侖率領(lǐng)大軍與德軍在萊茵河畔激戰(zhàn)，德俄聯(lián)軍在河的北岸設(shè)防，而法軍則在南岸集結(jié)，中間隔一條很寬的萊茵河，法軍要使炮彈準(zhǔn)確落到對(duì)方陣地，就必須知道河有多寬，當(dāng)時(shí)雙方劍拔弩張，坐船測(cè)量河寬是根本不可能的。拿破侖為解決這個(gè)難題在南岸觀望，一時(shí)束手無(wú)策．忽然，他發(fā)現(xiàn)河水與北岸的邊線，在視野里恰好擦著自己的帽舌邊緣，于是他眉頭一皺計(jì)上心來(lái)，他先一步一步向后退去，一直退到萊茵河與南岸的邊線正好擦著他的帽舌時(shí)，便立定，叫人把這個(gè)地方到萊茵河南岸水邊的距離測(cè)一下．他知道，量得的距離一定等于河的寬度，于是他命令部下根據(jù)量得的距離確定射擊目標(biāo)，向北岸的德俄聯(lián)軍發(fā)起炮擊，果然炮彈像長(zhǎng)了眼睛，每發(fā)都擊中了目標(biāo)．士兵們不僅僅是佩服拿破侖的知識(shí)，更重要的是拿破侖運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力．拿破侖測(cè)萊茵河河寬第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共47頁(yè)。第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共47頁(yè)。試一試已知：A、B兩點(diǎn)之間被一個(gè)池塘隔開(kāi)，無(wú)法直接測(cè)量A、B間的距離，請(qǐng)給出一個(gè)適合可行的方案，畫(huà)出設(shè)計(jì)圖，說(shuō)明依據(jù)。第三十九頁(yè)第四十頁(yè)，共47頁(yè)。ECDCDCD第四十頁(yè)第四十一頁(yè)，共47頁(yè)。試一試,你準(zhǔn)行

已知：AB=AC，EB=EC，AE的延長(zhǎng)線交BC于D，試說(shuō)明：BD=CDABDCE解：在△ABE和△ACE中AB=AC，EB=EC，AE=AE∴△ABE≌△ACE(S.S.S.)∴∠BAE＝∠CAE在△ABD和△ACD中∵AB=AC∠BAE=∠CAEAD=AD∴△ABD≌△ACD(S.A.S.)∴BD=CD第四十一頁(yè)第四十二頁(yè)，共47頁(yè)。做一做

1、如圖，要識(shí)別△ABC≌△ADE，除公共角∠A外，把還需要的兩個(gè)條件及其根據(jù)寫(xiě)在橫線上。ABCED（1）

，

（）（2）

，

（）（3）