第1節(jié)直線的方程

第1節(jié)直線的方程考試要求1在平面直角坐標系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素；2理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；3掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式點斜式、兩點式及一般式，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系1直線的傾斜角知識梳理1定義：當直線l與軸相交時，我們?nèi)≥S作為基準，軸正向與直線l______方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；2規(guī)定：當直線l與軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為____；3范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是_______向上0[0，π2直線的斜率tanα3直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率_____________與x軸不垂直的直線點斜式過一點、斜率______________兩點式過兩點______________與兩坐標軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距____________不過原點且與兩坐標軸均不垂直的直線一般式

Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線y＝＋by－y0＝－02截距和距離的不同之處“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系：診斷自測1判斷下列結(jié)論正誤在括號內(nèi)打“√”或“×”1直線的傾斜角越大，其斜率就越大2直線的斜率為tanα，則其傾斜角為α3斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等4經(jīng)過任意兩個不同的點P11，y1，P22，y2的直線都可以用方程y－y12－1＝－1y2－y1表示解析1當直線的傾斜角α1＝135°，α2＝45°時，α1＞α2，但其對應(yīng)斜率1＝－1，2＝1，1＜22當直線斜率為tan－45°時，其傾斜角為135°3兩直線的斜率相等，則其傾斜角一定相等答案1×2×3×4√2老教材必修2，6，B1，3m的直線的斜率為12，則直線的方程為________∴直線AB的方程為y－6＝12－2，整理得12－y－18＝0答案12－y－18＝03老教材必修2P101B2改編若方程A＋By＋C＝0表示與兩條坐標軸都相交的直線不與坐標軸重合，則應(yīng)滿足的條件是________ 解析由題意知，直線斜率存在且斜率不為零，所以A≠0且B≠0 答案A≠0且B≠042020·西安調(diào)研直線－y＋1＝0的傾斜角為 A30° B45° C120° D150° 解析由題意得，直線y＝＋1的斜率為1，設(shè)其傾斜角為α，則tanα＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45° 答案B52020·重慶診斷已知直線l經(jīng)過A2，1，B1，m2兩點m∈R，那么直線l的傾斜角的取值范圍是答案B62020·濟南調(diào)研過點－3，4，在軸上的截距為負數(shù)，且在兩坐標軸上的截距之和為12的直線方程為______答案4－y＋16＝0考點一直線的傾斜角與斜率典例遷移法二設(shè)直線l的斜率為，則直線l的方程為y＝－1，即－y－＝0∵A，B兩點在直線l的兩側(cè)或其中一點在直線l上，【遷移1】若將例1中P1，0改為P－1，0，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍 解設(shè)直線l的斜率為，則直線l的方程為 y＝＋1，即－y＋＝0 ∵A，B兩點在直線l的兩側(cè)或其中一點在直線l上，【遷移2】若將例1中的B點坐標改為B2，－1，其他條件不變，求直線l傾斜角的取值范圍 解由例1知直線l的方程－y－＝0， ∵A，B兩點在直線l的兩側(cè)或其中一點在直線l上， ∴2－1－2＋1－≤0， 即－1＋1≤0，解得－1≤≤1【訓(xùn)練1】如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為1，2，3，則 A1<2<3 B3<1<2 C3<2<1 D1<3<2 解析直線l1的傾斜角α1是鈍角，故1<0，直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角且α2>α3，所以0<3<2，因此1<3<2 答案D考點二直線方程的求法2法一①當截距為0時，直線l過點0，0，2，3，所以直線l的方程為＋y－5＝0綜上可知，直線l的方程為3－2y＝0或＋y－5＝0法二由題意可知所求直線斜率存在，則可設(shè)y－3＝－2，且≠0∴直線過點1，1，∵直線的方向向量v＝－3，2，即直線l的方程為3－2y＝0或＋y－5＝0即2＋3y－5＝0規(guī)律方法1在求直線方程時，應(yīng)選擇適當?shù)男问剑⒆⒁飧鞣N形式的適用條件2對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零【訓(xùn)練2】1求經(jīng)過點B3，4，且與兩坐標軸圍成一個等腰直角三角形的直線方程； 2求經(jīng)過點A－5，2，且在軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程 解1由題意可知，所求直線的斜率為±1 又過點3，4，由點斜式得y－4＝±－3 所求直線的方程為－y＋1＝0或＋y－7＝0角度1直線過定點問題【例3－1】已知∈R，寫出以下動直線所過的定點坐標： 1若直線方程為y＝＋3，則直線過定點________； 2若直線方程為y＝＋3，則直線過定點________； 3若直線方程為＝y(tǒng)＋3，則直線過定點________ 解析1當＝0時，y＝3，所以直線過定點0，3 2直線方程可化為y＝＋3，故直線過定點－3，0 3當y＝0時，＝3，所以直線過定點3，0 答案10，32－3，033，0考點三直線方程的綜合應(yīng)用多維探究規(guī)律方法1直線過定點問題，可以根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征，得出直線過的定點坐標2含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，即能夠看出“動中有定”角度2與直線方程有關(guān)的多邊形面積的最值問題【例3－2】已知直線l1：a－2y＝2a－4，l2：2＋a2y＝2a2＋4，當0<a<2時，直線l1，l2與兩坐標軸圍成一個四邊形，當四邊形的面積最小時，實數(shù)a＝________規(guī)律方法1求解與直線方程有關(guān)的面積問題，應(yīng)根據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標或者相關(guān)長度，進而求得多邊形面積2求參數(shù)值或范圍注意點在直線上，則點的坐標適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解【訓(xùn)練3】已知直線l：－y＋1＋2＝0∈R 1證明：直線l過定點； 2若直線不經(jīng)過第四象限，求的取值范圍； 3若直線l交軸負半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面