獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及初步應(yīng)用

32獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及初步應(yīng)用長(zhǎng)沙市雷鋒學(xué)校湯萬(wàn)國(guó)♂對(duì)于性別變量,其取值為男和女兩種♀這種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別,像這類變量稱為分類變量生活中的分類變量是否吸煙,宗教信仰,國(guó)籍…兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系性別是否喜歡數(shù)學(xué)課程吸煙患肺癌為調(diào)查吸煙是否對(duì)患肺癌有影響,某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人,得到如下結(jié)果單位:人不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965那么吸煙是否對(duì)肺癌有影響吸煙與患肺癌列聯(lián)表列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表,稱為列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙7775427817吸煙2099492148總計(jì)9874919965吸煙者與不吸煙者患肺癌的可能性存在差異等高條形圖從上面數(shù)據(jù)和圖形可以看出吸煙和患肺癌有關(guān)從上面數(shù)據(jù)和圖形可以看出吸煙和患肺癌有關(guān)事實(shí)是否如此我們能夠有多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”？吸煙患肺癌吸煙與患肺癌列聯(lián)表不患肺癌患肺癌總計(jì)不吸煙aba+b吸煙cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d假設(shè)H0：吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系A(chǔ)：不吸煙B：吸煙PAB=PAPBa:事件AB發(fā)生的頻數(shù)ab:事件A發(fā)生的頻數(shù)ac:事件B發(fā)生的頻數(shù)H0成立時(shí)(n=a+b+c+d)(a+b+c+d)a≈(a+b)(a+c)ad－bc≈0|ad-bc|越小吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越弱|ad-bc|越大吸煙與患肺癌之間的關(guān)系越強(qiáng)構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量建立統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)n=abcd若H0成立K2應(yīng)該很小根據(jù)前面數(shù)據(jù)K2的觀察值在“吸煙與患肺癌沒(méi)有關(guān)系”成立的條件下可以估算出k≈56.6326.635遠(yuǎn)大于99%的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)系”利用隨機(jī)變量2來(lái)確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)確認(rèn)“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”成立的可信程度假設(shè)該結(jié)論不成由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算2的觀測(cè)值通過(guò)概率評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度>6635,假設(shè)不合理程度約為99%y1y2總計(jì)x1aba+bx1cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d假設(shè)有兩個(gè)分類變量和Y，它們的值域分別為{1,2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表2×2列聯(lián)表若要推斷的論述為H1:“X與Y有關(guān)系”可以按如下步驟判斷結(jié)論H1成立的可能性1通過(guò)等高條形圖,可以粗略地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系,但是這種判斷無(wú)法精確地給出所得結(jié)論的可靠度2可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來(lái)考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算檢驗(yàn)隨機(jī)變量2的觀察值P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828當(dāng)?shù)玫降挠^測(cè)數(shù)據(jù)a,b,c,d都不于5時(shí),可以通過(guò)查閱下表來(lái)確定其可信程度獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類似反證法）(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即“兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系”.(2)在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量K2

應(yīng)該很小,如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k很大,則在一定可信程度上說(shuō)明不成立.即在一定可信程度上認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；如果k的值很小，則說(shuō)明由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)反對(duì)的充分證據(jù)。3根據(jù)隨機(jī)變量2的含義,可以通過(guò)評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度,由實(shí)際計(jì)算出的的值與臨界值比較,說(shuō)明假設(shè)不合理的程度，即說(shuō)明“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度上面這種利用隨機(jī)變量2來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。例1在某醫(yī)院，因?yàn)榛夹呐K病而住院的665名男性病人中，有214人禿頂；而另外772名不是因?yàn)榛夹呐K病而住院的男性病人中有175人禿頂。分別利用圖形和獨(dú)立性檢驗(yàn)方法判斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)系？你所得的結(jié)論在什么范圍內(nèi)有效？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表：患心臟病不患心臟病總計(jì)禿頂214175389不禿頂4515971048總計(jì)6657721437根據(jù)聯(lián)表1-13中的數(shù)據(jù)，得到所以有99%的把握認(rèn)為“禿頂患心臟病有關(guān)”。P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟0，假設(shè)兩個(gè)分類變量沒(méi)有關(guān)系；2列出2×2列聯(lián)表,并計(jì)算2的觀測(cè)值;0進(jìn)行比較，并作出判斷1當(dāng)2>2706,有_________的把握判定兩個(gè)分類變量有關(guān)系;2當(dāng)2>3841,有_________的把握判定兩個(gè)分類變量有關(guān)系;3當(dāng)2>6635,有_________的把握判定兩個(gè)分類變量有關(guān)系;P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82890%95%99%例2春節(jié)期間,“厲行節(jié)約，反對(duì)浪費(fèi)”之風(fēng)悄然吹開，某市隨機(jī)詢問(wèn)100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動(dòng)，（1）完成如下列聯(lián)表。（2）有多大的把握認(rèn)為居民能否做到“光盤”與性別有關(guān)系？（3）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0010的前提下認(rèn)為居民能否做到“光盤”與性別有關(guān)系？10075總計(jì)15女5545男總計(jì)做到光盤做不到光盤“光盤”與性別列聯(lián)表例題解析：假設(shè)“性別與是否做到光盤之間沒(méi)有關(guān)系”有90%的把握認(rèn)為居民能否做到“光盤”與性別有關(guān)。1002575總計(jì)451530女551045男總計(jì)做到光盤做不到光盤“光盤”與性別列聯(lián)表10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.4550.0010.0050.0100.0250.050.100.150.250.400.50假設(shè)“性別與是否做到光盤之間沒(méi)有關(guān)系”不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0010的前提下認(rèn)為居民能否做到“光盤”與性別有關(guān)系1002575總計(jì)451530女551045男總計(jì)做到光盤做不到光盤“光盤”與性別列聯(lián)表10.8287.8796.6355.0243.8412.7062.0721.3230.7080.4550.0010.0050.0100.0250.050.100.150.250.400.50在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0010的前提下認(rèn)為居民能否做到“光盤”與性別沒(méi)有關(guān)系為考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，在某城市的某校高中生中隨機(jī)抽取300名學(xué)生，得到如下聯(lián)表：喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計(jì)男3785122女35143178總計(jì)72228300練習(xí)：1性別與喜歡數(shù)學(xué)課由表中數(shù)據(jù)計(jì)算2的觀測(cè)值4513在多大程度上可以認(rèn)為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系？為什么？喜歡數(shù)學(xué)課程不喜歡數(shù)學(xué)課程總計(jì)男3785122女35143178總計(jì)72228300練習(xí)：1性別與喜歡數(shù)學(xué)課這就意味著“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”這一結(jié)論錯(cuò)誤的可能性約為005，即有95%的把握認(rèn)為“性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間有關(guān)系”解:假設(shè)高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間沒(méi)關(guān)系由k4.513>3.8412某單位餐廳的固定餐椅經(jīng)常有損壞,于是該單位領(lǐng)導(dǎo)決定在餐廳墻壁上張貼文明標(biāo)語(yǔ),并對(duì)文明標(biāo)語(yǔ)張貼前后餐椅的損壞情況作了一個(gè)統(tǒng)計(jì),具體數(shù)據(jù)如下:損壞餐椅數(shù)未損壞餐椅數(shù)總計(jì)文明標(biāo)語(yǔ)張貼前39157196文明標(biāo)語(yǔ)張貼后29167196總計(jì)68324392由表中數(shù)據(jù)計(jì)算2約等于178你認(rèn)為在餐廳墻壁上張貼文明標(biāo)語(yǔ)對(duì)減少餐椅損壞數(shù)有效果嗎2某單位餐廳的固定餐椅經(jīng)常有損壞,于是該單位領(lǐng)導(dǎo)決定在餐廳墻壁上張貼文明標(biāo)語(yǔ),并對(duì)文明標(biāo)語(yǔ)張貼前后餐椅的損壞情況作了一個(gè)統(tǒng)計(jì),具體數(shù)據(jù)如下:損壞餐椅數(shù)未損壞餐椅數(shù)總計(jì)文明標(biāo)語(yǔ)張貼前39157196文明標(biāo)語(yǔ)張貼后29167196總計(jì)68324392不能練習(xí)4、在吸煙和患肺癌這兩個(gè)分類變量的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是（）A、若2的觀測(cè)值=6635，我們?cè)?/p>