對(duì)數(shù)省賽一等獎(jiǎng)

第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)43對(duì)數(shù)人教A版2019高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

對(duì)數(shù)的概念①對(duì)數(shù)的定義：通過指數(shù)運(yùn)算，我們能從中算出經(jīng)過t年后B景區(qū)的人數(shù)是2011年的y倍反之，如果想知道多少年后游客人次是2001年的2倍、3倍、…該怎么做？上述問題就是從中分別求出t，即已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)

一般地，如果，那么叫做以為底的對(duì)數(shù)

記作，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)

例如，因?yàn)?2=16，那么2就是以4為底16的對(duì)數(shù)，記作因?yàn)?4=81，所以4就是以3為底81的對(duì)數(shù)，記作

對(duì)數(shù)的概念②兩種特殊對(duì)數(shù)通常，我們把以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并且賦予它特殊的數(shù)學(xué)符號(hào)，即：另外，在科技、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)中經(jīng)常使用以無理數(shù)e=271828…為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，也有它特殊的符號(hào)，即對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)和與指數(shù)的關(guān)系【1】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可以得到對(duì)數(shù)和指數(shù)的關(guān)系：當(dāng)時(shí)，

【2】對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)：①負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)②

③

證明：①由，得當(dāng)時(shí)，

即負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)②設(shè)，，則，即

設(shè)，，則，即

【1】把下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式【解】1

【1】求下列各式的值【解】

對(duì)數(shù)的運(yùn)算【探究】設(shè)，因?yàn)椋?/p>

根據(jù)對(duì)數(shù)和指數(shù)之間的關(guān)系可得：

這樣，我們就得到了對(duì)數(shù)的一個(gè)運(yùn)算性質(zhì)：

同樣的，還有：

前提對(duì)數(shù)的運(yùn)算【對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的理解】【1】逆向應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，可以將幾個(gè)對(duì)數(shù)式化為一個(gè)對(duì)數(shù)式，有利于化簡(jiǎn)【2】對(duì)于每一條運(yùn)算性質(zhì)，都要注意只有當(dāng)式子中所有的對(duì)數(shù)都有意義時(shí)，等式才成立如是存在的，但與均不存在，所以不能寫成

【3】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1可以推廣到若干個(gè)正因數(shù)積的對(duì)數(shù)，即以下式子成立：

對(duì)數(shù)的運(yùn)算【對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的推廣】【1】【2】【3】

【1】求下列函數(shù)的定義域和值域【解】12

【2】利用表示【解】

對(duì)數(shù)換底公式【定義】設(shè)，則，于是有

根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)3有：，即：

這個(gè)式子叫做對(duì)數(shù)的換底公式，簡(jiǎn)稱為換底公式★換底公式的意義：把不同底數(shù)問題轉(zhuǎn)化為同底數(shù)問題，也可以反過來用★換底公式的條件：公式中